1、 5.3 平面向量的数量积平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量 数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运 算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数 量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及 判断两个平面向量的平行与垂直关系一般 以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解 答题中出现，属于中档题. 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 就
2、是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角 的范围是0， 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b| cos 叫做 a 与 b 的数 量积，记作 a b 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角则 (1)e aa e|a|cos . (2)aba b0. (3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|
3、； 当 a 与 b 反向时，a b|a|b|. 特别地，a a|a|2或|a| a a. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律 (1)a bb a； (2)(a) b(a b)a (b)( 为实数)； (3)(ab) ca cb c. 5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2，由此得到 (1)若 a(x，y)，则|a|2x2y2或|a| x2y2. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|AB | x 2x1 2y 2y1 2. (3)
4、设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20. (4)若 a，b 都是非零向量， 是 a 与 b 的夹角，则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22 . 知识拓展 1两个向量 a，b 的夹角为锐角a b0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a bB，则 B 4， 由余弦定理得(4 2)252c225c 3 5 ， 解得 c1. 故向量BA 在BC方向上的投影为 |BA |cos Bccos B12 2 2 2 . 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题
5、思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得 到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路 是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 跟踪训练 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量 m 2 2 ， 2 2 ， n(sin x， cos x)， x 0， 2 . (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3，求 x 的值 解 (1)因为 m 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)，mn. 所以 m n0，即 2 2
6、sin x 2 2 cos x0， 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m|n|1，所以 m ncos 3 1 2， 即 2 2 sin x 2 2 cos x1 2，所以 sin x 4 1 2， 因为 0x 2，所以 4x 4 4， 所以 x 4 6，即 x 5 12. 利用数量积求向量夹角 典例 已知直线 y2x 上一点 P 的横坐标为 a， 直线外有两个点 A(1,1)， B(3,3) 求使向量PA 与PB 夹角为钝角的充要条件 错解展示： 现场纠错 解 错解中，cos 0 包含了 ， 即PA ，PB反向的情况，此时 a1， 故PA ，PB夹角为钝角的充要条件是 0a2 且 a1. 纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.