1、第第 2 课时课时 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 题型一题型一 三角函数式的化简三角函数式的化简 1(2017 湖南长沙一模)化简：2sinsin 2 cos2 2 . 答案 4sin 解析 2sinsin 2 cos2 2 2sin 2sin cos 1 21cos 2sin 1cos 1 21cos 4sin . 2化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4x sin 2 4x . 答案 1 2cos 2x 解析 原式 1 24cos 4x4cos2x1 2 sin 4x cos 4x cos2 4x 2cos2x12 4sin 4x cos 4x cos22x 2sin
2、 22x cos22x 2cos 2x 1 2cos 2x. 3(2018 聊城模拟)已知 cos 4 10 10 ， 0， 2 ，则 sin 2 3 . 答案 43 3 10 解析 由题意可得，cos2 4 1cos 2 2 2 1 10，cos 2 2 sin 24 5，即 sin 2 4 5. 因为 cos 4 10 10 0， 0， 2 ， 所以 00. 又 (，2)， 3 2 ，2 ， 7 4 . (2)已知 ，(0，)，且 tan()1 2，tan 1 7，则 2 的值为 答案 3 4 解析 tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 3
3、0， 00， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 引申探究 本例(1)中，若 ， 为锐角，sin 5 5 ，cos 3 10 10 ，则 . 答案 4 解析 ， 为锐角，cos 2 5 5 ，sin 10 10 ， cos()cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又 00， 2sin 3cos ，又 sin2cos21， cos 2 13，sin 3 13， sin 4 sin 2cos 21 2 2 sin cos sin c
4、os 2cos2sin2 2 4cos 26 8 . (2)(2017 昆明模拟)计算： 3 cos 10 1 sin 170 . 答案 4 解析 原式 3sin 170 cos 10 cos 10 sin 170 3sin 10 cos 10 cos 10 sin 10 2sin10 30 1 2sin 20 4. (3)定义运算 a b c d adbc.若 cos 1 7， sin sin cos cos 3 3 14 ，0 2，则 . 答案 3 解析 由题意有 sin cos cos sin sin()3 3 14 ，又 0 2，0 2， 故 cos() 1sin213 14， 而 c
5、os 1 7，sin 4 3 7 ， 于是 sin sin() sin cos()cos sin() 4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 . 又 0 2，故 3. 题型三题型三 三角恒等变换的应用三角恒等变换的应用 典例 (2017 浙江)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR) (1)求 f 2 3 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 (1)由 sin2 3 3 2 ，cos2 3 1 2，得 f 2 3 3 2 2 1 2 22 3 3 2 1 2 2. (2)由 cos 2xcos2xsin2x 与 sin 2x2s
6、in xcos x，得 f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 . 所以 f(x)的最小正周期是 . 由正弦函数的性质，得 22k2x 6 3 2 2k，kZ， 解得 6kx 2 3 k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间为 6k， 2 3 k (kZ) 思维升华 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式 的逆用和变形使用 (2)把形如 yasin xbcos x 化为 y a2b2sin(x)， 可进一步研究函数的周期性、 单调性、 最值与对称性 跟踪训练 (1)函数 f(x)sin(x)2sin cos
7、x 的最大值为 (2)函数 f(x)sin 2x 4 2 2sin2x 的最小正周期是 答案 (1)1 (2) 解析 (1)因为 f(x)sin(x)2sin cos x sin xcos cos xsin sin(x)， 又1sin(x)1， 所以 f(x)的最大值为 1. (2)f(x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 2(1cos 2x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 2 sin 2x 4 2， 所以 T2 2 . 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例 (12 分)(2016 天津)已知函数 f(x)4tan x sin 2x cos x 3 3. (
8、1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性 思想方法指导 (1)讨论形如 yasin xbcos x 型函数的性质， 一律化成 y a2b2sin(x )型的函数 (2)研究 yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将 x 视为一个整体，换元后结合 y sin x 的图象解决 规范解答 解 (1)f(x)的定义域为 x x 2k，kZ . f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin 2x 3 .5 分 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 .6 分 (2)因为 x 4， 4 ，所以 2x 3 5 6 ， 6 ，8 分 由 ysin x 的图象可知，当 2x 3 5 6 ， 2 ， 即 x 4， 12 时，f(x)单调递减； 当 2x 3 2， 6 ，即 x 12， 4 时，f(x)单调递增10 分 所以当x 4， 4 时， f(x)在区间 12， 4 上单调递增， 在区间 4， 12 上单调递减 12 分