1、 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x cos2x1，sin x cos xtan x.2.能利用单位圆中 的三角函数线推导出 2 ， 的正弦、余 弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、 诱导公式解 决条件求值问题， 常与三角恒等变换相结合起到 化简三角函数关系的作用， 强调利用三角公式进 行恒等变形的技能以及基本的运算能力 题型为 选择题和填空题，低档难度. 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan ( 2k，
2、kZ) 2三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ) 2 2 正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 知识拓展 1同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )21 2sin cos ； sin tan cos . 2诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名 称的变化 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若 ，
3、 为锐角，则 sin2cos21.( ) (2)若 R，则 tan sin cos 恒成立( ) (3)sin()sin 成立的条件是 为锐角( ) (4)若 sin(k)1 3(kZ)，则 sin 1 3.( ) 题组二 教材改编 2P19 例 6若 sin 5 5 ， 2，则 tan . 答案 1 2 解析 2， cos 1sin22 5 5 ， tan sin cos 1 2. 3P22B 组 T3已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为 答案 3 解析 原式tan 1 tan 1 21 213. 4P28T7化简 cos 2 sin 5 2 sin() cos(2)的
4、结果为 答案 sin2 解析 原式sin cos (sin ) cos sin 2. 题组三 易错自纠 5(2017 贵阳模拟)已知 sin cos 1 8，且 5 4 sin ， cos sin 0. 又(cos sin )212sin cos 121 8 3 4， cos sin 3 2 . 6已知 sin()log81 4，且 2，0 ，则 tan(2)的值为( ) A2 5 5 B.2 5 5 C 2 5 5 D. 5 2 答案 B 解析 sin()sin log81 4 2 3， 又 2，0 ，得 cos 1sin 2 5 3 ， tan(2)tan()tan sin cos 2 5
5、 5 . 7(2017 枣庄模拟)已知 cos 1 5， 20，则 cos 2 tancostan 的值为 答案 6 12 解析 20， sin 1 1 5 22 5 6， tan 2 6. 则 cos 2 tancostan sin tan cos tan 1 tan 1 2 6 6 12. 题型一题型一 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 1(2017 长沙模拟)已知 是第四象限角，sin 12 13，则 tan 等于( ) A 5 13 B. 5 13 C 12 5 D.12 5 答案 C 解析 因为 是第四象限角，sin 12 13， 所以 cos 1sin2 5 13，
6、 故 tan sin cos 12 5 . 2(2017 安徽江南十校联考)已知 tan 3 4，则 sin (sin cos )等于( ) A.21 25 B. 25 21 C. 4 5 D. 5 4 答案 A 解析 sin (sin cos )sin2sin cos sin 2sin cos sin2cos2 tan 2tan tan21 ， 将 tan 3 4代入， 得原式 3 4 2 3 4 3 4 21 21 25. 3(2018 贵州七校联考)已知 sin cos 2，则 tan cos sin 的值为( ) A1 B2 C.1 2 D2 答案 D 解析 sin cos 2，(si
7、n cos )22， sin cos 1 2. tan cos sin sin cos cos sin 1 sin cos 2. 思维升华 (1)利用 sin2cos21 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角 所在象限确 定符号；利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子， 利用(sin cos )21 2sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 题型二题型二 诱导公式的应用诱导公式的应用 典例 (
8、1)(2017 聊城模拟)已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 3xy0 上，则 sin 3 2 2cos sin 2 sin . 答案 3 2 解析 由已知得 tan 3， sin 3 2 2cos sin 2 sin cos 2cos cos sin 3 1tan 3 2. (2)已知 cos 6 a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是 答案 0 解析 cos 5 6 cos 5 6 a， sin 2 3 sin 2 6 a， cos 5 6 sin 2 3 aa0. 引申探究 若本例(1)中原题条件不变，求 cos 2 sin cos 11 2 sin
9、9 2 的值 解 原式sin sin sin cos 2tan tan 13. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简：统一角，统一名，同角名少为终了 (2)含 2 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算 跟踪训练 (1)(2018 太原质检)化简： tancos2sin 3 2 cos3sin3 . 答案 1 解析 原式 tan cos sin 2 2 cos3sin3 tan cos sin 2 cos sin tan cos cos cos sin tan cos sin sin cos cos sin
10、1. (2)已知角 终边上一点 P(4,3)，则 cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 的值为 答案 3 4 解析 原式sin sin sin cos tan ， 根据三角函数的定义得 tan 3 4. 题型三题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 典例 (1)(2017 福建四地六校联考)已知 为锐角，且 2tan()3cos 2 50，tan( )6sin()10，则 sin 的值是( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案 C 解析 由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin
11、 10， 解得 tan 3， 又 为锐角， 故 sin 3 10 10 . (2)已知x0，sin(x)cos x1 5. 求 sin xcos x 的值； 求sin 2x2sin 2x 1tan x 的值 解 由已知，得 sin xcos x1 5， 两边平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 1 25， 整理得 2sin xcos x24 25. (sin xcos x)212sin xcos x49 25， 由x0 知，sin x0， 又 sin xcos x12 250，sin xcos x0， 故 sin xcos x7 5. sin 2x2sin 2x 1tan x 2
12、sin xcos xsin x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175. 引申探究 本例(2)中若将条件“x0”改为“0x”，求 sin xcos x 的值 解 若 0x0，cos x0，故 sin xcos x7 5. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形 (2)注意角的范围对三角函数符号的影响 跟踪训练 (1)(2018 唐山模拟)已知角 的终边在第三象限，tan 22 2，则 sin2sin(3 )cos(2) 2co
13、s2 等于( ) A 2 6 B. 2 6 C2 3 D. 2 3 答案 D 解析 由 tan 22 2可得 tan 2 2tan 1tan22 2， 即 2tan2tan 20， 解得 tan 2或 tan 2 2 . 又角 的终边在第三象限，故 tan 2， 故 sin2sin(3)cos(2) 2cos2 sin2sin cos 2cos2 sin 2sin cos 2cos2 sin2cos2 tan 2tan 2 tan21 2 2 2 2 221 2 3. (2)(2017 西安模拟)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 017)的值为 ( )
14、 A1 B1 C3 D3 答案 D 解析 f(4)asin(4)bcos(4) asin bcos 3， f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017) asin()bcos() asin bcos 3. 分类讨论思想在三角函数中的应用 思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方 结果进行讨论 (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论 典例 (1)已知 Asink sin cosk cos (kZ)，则 A 的值构成的集合是( ) A1，1,2，2 B1,1 C2，2 D1，1,0,2，2 (2)已知 sin 2 5
15、 5 ，则 tan() sin 5 2 cos 5 2 . 答案 (1)C (2)5 2或 5 2 解析 (1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2； 当 k 为奇数时，Asin sin cos cos 2. 所以 A 的值构成的集合是2，2 (2)sin 2 5 5 0， 为第一或第二象限角 tan() sin 5 2 cos 5 2 tan cos sin sin cos cos sin 1 sin cos . 当 是第一象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2； 当 是第二象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2. 综合知，原式5 2或 5 2.