1、 2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特 征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决 问题的能力，常与函数图象、单调性、 最值及方程、不等式交汇命题，题型以 解答题为主，中高档难度. 1几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模型 f(x)k xb(k，b 为常数且 k0) 二次函数模型 f(
2、x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 幂函数模型 f(x)axnb (a，b 为常数，a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时
3、，有 logax0 时，x a时取最小值 2 a， 当 x0)的增长 速度( ) (5)“指数爆炸”是指数型函数 ya bxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比 喻( ) 题组二 教材改编 2P102 例 3某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误 的是( ) A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案 D 解析 由题图可知， 收入最高值为 90 万元， 收入最低值为 30 万元， 其比是 31， 故 A 正确； 由题
4、图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)，故 B 正确；由题图可知，1 至 2 月 份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的 平均收入为1 6(406030305060)45(万元)，故 D 错误 3P104 例 5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)1 2x 22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该 企业一个月应生产该商品数量为_万件 答案 18 解析 利润 L(x)20xC(x)1 2(x18) 2142， 当 x18 时，L(x)有最大
5、值 4 P107A 组 T4用长度为 24 的材料围一矩形场地， 中间加两道隔墙， 要使矩形的面积最大， 则隔墙的长度为_ 答案 3 解析 设隔墙的长度为 x(02.3， x 为整数，3x6，xZ. 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x115400， 则总利润最大时，该门面经营 的天数是_ 答案 300 解析 由题意，总利润 y 400x1 2x 2100x20 000，0x400， 60 000100x，x400， 当 0x400 时，y1 2(x300) 225 000， 所以当 x300 时，ymax25 000； 当 x4
6、00 时，y60 000100x20 000， 综上，当门面经营的天数为 300 时，总利润最大为 25 000 元 函数应用问题 典例 (12 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万 部还需另投入 16 万美元 设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完， 每万部的销售 收入为 R(x)万美元，且 R(x) 4006x，040. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 思维点拨 根据题意， 要利用分段函数求最大利润 列出解析式后，
7、比较二次函数和“对勾” 函数的最值的结论 规范解答 解 (1)当 040 时，WxR(x)(16x40) 40 000 x 16x7 360. 所以 W 6x2384x40，040. 4 分 (2)当 040 时，W40 000 x 16x7 360， 由于40 000 x 16x2 40 000 x 16x1 600， 当且仅当40 000 x 16x，即 x50(40，)时，取等号， 所以此时 W 的最大值为 5 760.10 分 综合知， 当 x32 时，W 取得最大值 6 104 万美元12 分 解函数应用题的一般步骤 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性