1、 2.8 函数与方程函数与方程 最新考纲 考情考向分析 结合二次函数的图象， 了解函数的零点与 方程根的联系， 判断一元二次方程根的存 在性及根的个数. 利用函数零点的存在性定理或函数的图象， 对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方 程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高 考的热点，题型以选择、填空为主，也可和 导数等知识交汇出现解答题，中高档难度. 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点 (2)三个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (
2、3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0) 的图象 与 x 轴的交点 (x1 ,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 知识拓展 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图
3、象与 x 轴的交点( ) (2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)0，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1)1 e30， 因此函数 f(x)有且只有一个零点 4P92A 组 T4函数 f(x) 1 2 x 1 2 x的零点个数为_ 答案 1 解析 作函数 y1 1 2 x和 y2 1 2 x的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)有 1 个零点 题组三 易错自纠 5已知函数 f(x)x x(x0)，g(x)xex，h(x)xln x 的零点分别为 x1，x2，x3，则( ) Ax11 时，由 f(x)1log2x0，解得 x1 2，又因
4、为 x1，所以此时方程无解综上函数 f(x) 只有 1 个零点 7函数 f(x)ax12a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1 3，1 解析 函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(1)f(1)0 的零点个数是_ 答案 2 解析 当 x0 时，令 x220，解得 x 2(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点； 当 x0 时，f(x)21 x0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数 又因为 f(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x) 的零点个数为 2. (2)函数 f(x)4cos2x 2 cos 2x 2sin
5、x|ln(x1)|的零点个数为_ 答案 2 解析 f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，x1， 函数 f(x)的零点个数即为函数 y1sin 2x(x1)与 y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数 分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则 f(x)有两个零点 思维升华 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点； (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数； (3)利用函数图象的交点个数判断 跟踪训练 (1)已知函数 f(x) x22x，x0， |lg x|，x0， 则函数 g(x)f(1x)1 的零点个数为(
6、) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 g(x)f(1x)1 1x221x1，1x0， |lg1x|1，1x0 x24x2，x1， |lg1x|1，x0， 解得 a9. 又由图象得 a0，00 的大致图象(图略) 观察它与直线 ym 的交点，得知当 m0 或 m1 时，有交点，即函数 g(x)f(x)xm 有零 点 命题点 3 根据零点的范围求参数 典例 若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是_ 答案 1 4， 1 2 解析 依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足 m2， f1 f01， 由基本不等式，得(t1) 2 t12 2， 当且仅当 t 21 时取等号，故 a22 2. 答案 (1)(1,0) (2)(，22 2