1、 2.6 对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲 考情考向分析 1.理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底 公式将一般对数转化成自然对数或常用对 数；了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念及其单调性， 掌握对数 函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 1 2， 1 3的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型 4.了解指数函数 yax(a0， 且 a1)与对数函 数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数. 以比较对数函数值大小的形式考查函 数的单调性； 以复合函数的形式考查对 数函数的图象与性质，题型一般为选 择、填空题，中低档难度. 1对数的概念 一般
2、地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 _a_叫做对数的底数，_N_叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)logaMlogaN； logaM NlogaMlogaN； logaMnnlogaM (nR) (2)对数的性质 logaN a_N_；logaaN_N_(a0，且 a1) (3)对数的换底公式 logablogcb logca(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 3对数函数的图象与性质 ylogax a1 00； 当 00 且 a1)与对数函数
3、 ylogax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于 直线 yx 对称 知识拓展 1换底公式的两个重要结论 (1)logab 1 logba； (2)log m n a b n mlogab. 其中 a0 且 a1，b0 且 b1，m，nR. 2对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 00 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (3)函数 yln1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)， 1 a，1 ，函数图象只在第 一、
4、四象限( ) 题组二 教材改编 2P68T4log29 log34 log45 log52_. 答案 2 3P82A 组 T6已知 a 1 3 2 ，blog21 3，c 1 2 1 log 3 ，则 a，b，c 的大小关系为_ 答案 cab 解析 0ab. 4P74A 组 T7函数 y 2 3 log (21)x的定义域是_ 答案 1 2，1 解析 由 2 3 log (21)x0，得 00，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 ( ) Aa1，c1 Ba1,00 且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 答案 B 解析 由题意 ylogax(a0 且 a1)的图象过(3,1)
5、点，可解得 a3.选项 A 中，y3 x 1 3 x， 显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项 C 中，y(x)3x3， 显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称，显然 不符，故选 B. (2)当 01 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点 题型三题型三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用 命题点 1 对数函数的单调性 典例 (1)(2018 届河南信阳高中大考)设 alog412，blog515，clog618，则( ) Aabc Bbca Cacb Dcba 答案 A 解析 a1log43
6、，b1log53，c1log63， log43log53log63，abc. (2)(2017 江西九江七校联考)若函数 f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则 实数 a 的取值范围是( ) A(，4) B(4,4 C(，4)2，) D4,4) 答案 D 解析 由题意得 x2ax3a0 在区间(，2上恒成立且函数 yx2ax3a 在(， 2上单调递减，则a 22 且(2) 2(2)a3a0，解得实数 a 的取值范围是4,4)， 故选 D. 命题点 2 和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数 f(x)loga(3ax)(a0 且 a1) (1)当 x0,2时，函数 f(x)
7、恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存 在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解 (1)a0 且 a1，设 t(x)3ax， 则 t(x)3ax 为减函数， x0,2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0,2时，f(x)恒有意义， 即 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0.a0 且 a1，a 的取值范围为(0,1) 1，3 2 . (2)假设存在这样的实数 a. t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数， a1，x1,2时，t(
8、x)的最小值为 32a，f(x)的最大值为 f(1)loga(3a)， 32a0， loga3a1， 即 acb Bbca Ccba Dcab 答案 D 解析 alog32b， 所以 cab. (2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1,2上恒成立，则实数 a 的取 值范围是_ 答案 1，8 3 解析 当 a1 时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由 f(x)1 在区间1,2上恒成立， 则 f(x)minloga(82a)1，且 82a0， 解得 11，且 82a0. a4，且 abc Bacb Cbac Dbca 答案 A 解析 因为 alog3log331，blog23b，又b c 1 2log23 1 2log32 (log23)21， c0，所以 bc，故 abc. (2)(2017 新乡二模)设 a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aac.故选 B. (3)若实数 a，b，c 满足 loga2c Bbac Ccab Dacb 答案 B 解析 易知 yf(x)是偶函数当 x(0，)时，f(x)f 1 x |log2x|，且当 x1，)时， f(x)log2x 单调递增，又 af(3)f(3)，bf 1 4 f(4)，所以 bac.