1、 2.5 指数与指数函数指数与指数函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通 过的特殊点，会画底数为 2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 直接考查指数函数的图象与 性质； 以指数函数为载体， 考 查函数与方程、 不等式等交汇 问题， 题型一般为选择、 填空 题，中档难度. 1分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 m n anam(a0，m，nN*，且 n1)于是，在条 件 a0，m，nN*，
2、且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的 意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 m n a 1 m n a (a0，m，nN*，且 n1).0 的正分数 指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质：arasar s，(ar)sars，(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ. 2指数函数的图象与性质 yax a1 01； 当 xd1ab0.由此我们可得到以下规律： 在第一象限内， 指数函数yax(a0， a1) 的图象越高，底数越大 3指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与 0a 1
3、来研究 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)nan(na)na(nN*)( ) (2)分数指数幂 m n a可以理解为m n个 a 相乘( ) (3)函数 y3 2x与 y2x 1都不是指数函数( ) (4)若 aman(a0，且 a1)，则 mn.( ) (5)函数 y2 x 在 R 上为单调减函数( ) 题组二 教材改编 2P59A 组 T4化简416x8y4(x0，y0)_. 答案 2x2y 3P56 例 6若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过点 P 2，1 2 ，则 f(1)_. 答案 2 解析 由题意知1 2a 2，所以 a 2 2
4、， 所以 f(x) 2 2 x，所以 f(1) 2 2 1 2. 4P59A 组 T7已知 a 1 3 3 ( ) 5 ，b 1 4 3 ( ) 5 ，c 3 4 3 ( ) 2 ，则 a，b，c 的大小关系是_ 答案 c 3 5 0， 即 ab1， 又 c 3 4 3 ( ) 2 0，b0)_. 答案 8 5 解析 原式2 33 3 22 33 22 2 10 ab ab 21 31018 5. 2计算： 2 3 27 () 8 1 2 0.002 10( 52) 10_. 答案 167 9 解析 原式 3 2 2 1 2 500 10 52 52 521， 4 910 510 5201 1
5、67 9 . 3(2017 兰州模拟)化简： 41 232 3 33 3 22 53 3 33 82 () 42 aa bbaa a a aa baba _.( a0) 答案 a2 解析 原式 1111121 33 3333332 1111111 22 3333352 ()(2) 2() ()(2)(2)() aababa a a aabbaa 5 111 6 333 111 336 (2) 2 aa aab aba a2. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算， 还应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加； 运算的先后顺序 (2)当底数是负数时
6、，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 题型二题型二 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用 典例 (1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是( ) 答案 A 解析 f(x)1e|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，又 e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有 A. (2)已知函数 f(x)|2x1|，abc 且 f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 C2 a2c D2a2c2 答案 D 解析 作出函数 f(x)|2x1|的图象，如图， abc 且 f(a)f(c)f
7、(b)，结合图象知， 0f(a)1，a0，c0，02a1. f(a)|2a1|12a1， f(c)1，0c1. 12c2，f(c)|2c1|2c1， 又f(a)f(c)，12a2c1， 2a2c2，故选 D. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点， 若不满足则排除 (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别 地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 跟踪训练 (1)已知实数 a，b 满足等式 2 018a2 019b，下列五个关系式： 01，函数 f(t)at在1,0上为增函数， at 1 a，1 ，b 2 2xx a b1 a，b1 ， 依题意得 b1 a 5 2， b13， 解得 a2， b2. 若 0a1，函数 f(t)at在1,0上为减函数， at 1，1 a ，b 2 2xx a b1，b1 a ， 依题意得 b1 a3， b15 2， 解得 a2 3， b3 2. 综上知，a2，b2 或 a2 3，b 3 2. 纠错心得 在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论.