1、 2.4 幂函数与二次函数幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解幂函数的概念 2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1 x，y 1 2 x 的图象，了解它们的变化情况 3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质 4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解 决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与 指数函数、对数函数交汇命题；以二次函 数的图象与性质的应用为主，常与方程、 不等式等知识交汇命题，着重考查函数与 方程，转化与化归及数形结合思想，题型 一般为选择、填空题，中档难度. 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 (
2、2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 yx yx2 yx3 y 1 2 x yx 1 定义域 R R R 0，) x|xR，且 x0 值域 R 0，) R 0，) y|yR，且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0) 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n) 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为 f(x)的零点 (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0， 0，当 ac
3、且 abc0，则它的图象可能是( ) 答案 D 解析 由 abc0 和 abc 知，a0，c 1 2 2 (1)mm ，则实数 m 的取值范围是( ) A. ， 51 2 B. 51 2 ， C(1,2) D. 51 2 ，2 答案 D 解析 因为函数 y 1 2 x的定义域为0，)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于 2m10， m2m10， 2m1m2m1. 解 2m10，得 m1 2； 解 m2m10，得 m 51 2 或 m 51 2 . 解 2m1m2m1，得12xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0， 令 g(x)x23x1m， 要使 g(x)x23x1m0 在1
4、,1上恒成立， 只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1,1上单调递减， g(x)ming(1)m1. 由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) (2)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 ，1 2 解析 2ax22x30 在1,1上恒成立 当 x0 时，30，成立； 当 x0 时，a3 2 1 x 1 3 21 6，因为 1 x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值 1 2， a1 2. 综上，实数 a 的取值范围是 ，1 2 . 思维升华
5、解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草 图)，再“定量”(看图求解) (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值 域 跟踪训练 (1)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) 答案 D 解析 由 A，C，D 知，f(0)c0， 从而由 abc0，所以 ab0，所以对称轴 x b 2a0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f(
6、0)c0， 所以 ab0，所以 x b 2a0，B 错误 (2)已知函数 f(x)x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，)，则 a 的值为_ 答案 1 或 3 解析 由于函数 f(x)的值域为1，)， 所以 f(x)min1.又 f(x)(xa)2a22a4， 当 xR 时，f(x)minf(a)a22a41， 即 a22a30，解得 a3 或 a1. (3)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 1 2， 解析 由题意得 a2 x 2 x2对 1x4 恒成立， 又2 x 2 x22 1 x 1 2 21 2， 1 4 1 x1， 2 x 2
7、x2 max1 2，a 1 2. 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12 分)设函数 f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数 f(x)的最小值 思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要 明确参数对图象的影响，进行分类讨论 规范解答 解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为 x1.2 分 当 t11，即 t0 时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为 f(t1)t21；5 分 当 t1t1，即 0t1 时，函数图象如图(2)所示，在对称轴 x1 处取得最小值，最小值 为 f(1)1；8 分 当 t1 时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为 f(t)t22t2.11 分 综上可知，f(x)min t21，t0， 1，0t1， t22t2，t1. 12 分