1、1第 9级上 优秀 A 版教师版 第 12 讲 漫画释义漫画释义 四年级秋季 等差数列进阶 四年级春季 统筹与最优化 五年级暑假 分组与配对 五年级秋季 几何计数进阶 五年级春季 从反面情况考虑 高斯求和；分组配对思想；计算，数论，计数等问题中的分 组与配对 知识站牌知识站牌 第十二讲第十二讲 分组与配对分组与配对 2第 9级上优秀 A 版教师版 我国历史上有许多以弱胜强的著名战例,齐魏马陵之战就是其中之一 公元前 344 年,魏国大举进 攻韩国,齐王派田忌和孙膑率兵救援韩国孙膑并不直接出兵韩国,却采取了“围魏救赵”的策略,驱 军直逼魏国的都城魏将庞涓不得不回师迎战齐军魏军一路追击齐军,庞涓看
2、见齐军宿营地的灶一 天天在减少,根据灶的数目可以推算出齐军的数目,断定齐军已经严重减员 便轻骑冒进,猛打穷追 殊 不知这原来是孙膑的“增兵减灶”之计,结果庞涓中了齐军的埋伏,全军覆灭 如果不是孙膑制造假象设下陷阱,庞涓的思想是正确的例如若一口灶供 10 人造饭,齐军有 3万 灶,便可推知齐军有 30 万人生活中,我们习惯将牙刷与牙膏放在一起、将菜刀和砧板放在一起、将 茶具和茶叶放在一起,当我们要使用这些东西的时候就会非常方便； 而在数学中,我们习惯把 1和 9加 到一起,把 3 和 7 加到一起,把 2 和 5 先相乘,那么计算起来也会非常便捷其实上面这些例子体现了 我们数学中一个非常重要的思
3、想分组与配对 之前学习等差数列的时候,我们曾经介绍过高斯将 1 至 100 按照（1,100）,（2,99）,（50,51） 分成 50组,每组相加都为101,再通过50101=5050来得出 12100 的和,高斯其实就是利用了 分组配对的思想快速解决了复杂的计算 1.掌握分组与配对的思想 2.灵活运用分组与配对,解决计算,计数,应用题等问题 1. 计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算 的速度以及准确度 2. 在一些数论或者组合问题中,将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰 模块模块 1：例例 1- 3：计算中的分组配对计算中的
4、分组配对 模块模块 2：例例 4：计数中的分组配对计数中的分组配对 模块模块 3：例例 5：应用题中的分组配对应用题中的分组配对 例 1 例题思路例题思路 经典精讲经典精讲 教学目标教学目标 课堂引入课堂引入 3第 9级上 优秀 A 版教师版 第 12 讲 (1) 计算计算：(1+3+5+7+21)- (2+4+6+20) ( (2) )计算计算：20+19- 18- 17+16+15- 14- 13+4+3- 2- 1 ( (学案对应学案对应：学案学案1) ) 【分析分析】(1)法 1：原式= 2 (121) 11(220) 10 1111 1011 (11 10)11 22 法 2：原式=
5、1+(3- 2)+(5- 4)+(7- 6)+(21- 20)=111=11 (2)法 1：原式=(20+19- 18- 17)+(16+15- 14- 13)+(4+3- 2- 1)= 54=20 法 2：原式=20+(19- 18- 17+16)+(15- 14- 13+12)+4）+(3- 2- 1+0)=20+0+0+0=20 想想练练想想练练：13467910121366676970 【分析分析】可以把这个数列拆分为两个数列14710136770 和369126669 , 对它们分别求和：原式1702423692321680 （）（）. 【铺垫铺垫】用等差数列的求和公式会计算下面各题
6、吗用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？ (1)3456767778 (2)13579799 (3)471013404346 【分析分析】算式中的等差数列一共有 76 项,所以： 34567677783787623078 （） 算式中的等差数列一共有 50 项,所以：13579799(199)5022500 算式中的等差数列一共有 15 项,所以： 471013404346446152375 （） 【巩固巩固】计算计算：100+99+98+51- 50- - 3- 2- 1 【分析分析】原式=(100- 50)+(99- 49)+(98- 48)+(51- 1)=5050=2500 下列数阵中
7、有下列数阵中有 100 个数个数,它们的和是多少它们的和是多少？ 1112131920 1213142021 1314152122 2021222829 ( (学案对应学案对应：学案学案2) ) 【分析分析】法 1：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的和相加 （比 较慢,这里不再写具体过程） 法 2：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列, 利用等差数列求和计算 首项11 12201120102155 （）, 末项2021292029102245 （）或者15510110245 （）这 100 个数 之和1552451022000 （）按列算同上 法 3：从右上到
8、左下的对角线上的数都是 20,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是 40, 所以这 100 个数的平均数是 20,这 100 个数之和20 1002000 【拓展拓展】如下图所示的表中有如下图所示的表中有 55 个数个数,那么它们的和等于多少那么它们的和等于多少？ 例 2 4第 9级上优秀 A 版教师版 17131925313743495561 28142026323844505662 39152127333945515763 410162228344046525864 511 172329354147535965 【分析分析】法 1：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然
9、后把所得的和相加 （比 较慢,这里不写具体过程） 法 2：先算出 1到 65 的自然数和,再减去数列 6,12,18,60 的和： 16565266010221453301815 （）（） 法 3：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列,利用等差数列和中间项项数 第 6 列作为中间项,求和再乘以项数：3132333435111815 （） 第 3 行为中间数列,求和再乘以项数： 3915212733394551576351815 （） 法 4： 分组与配对 (1,65),(2,64),(32,34),(33),每组的平均数均为 33,因此和33551815 将自然数将自然数1,2,3,100依
10、次无间隔地写成一个多位数依次无间隔地写成一个多位数： 1234599100,求这个多位数的所有数字之和求这个多位数的所有数字之和 ( (学案对应学案对应：学案学案3) ) 【分析分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法分组如下： (1,98),(2,97),(3,96),(49,50),(99),(100) 这样前 50 组每组的数字和均为 18,最后一组和 为 1,数字之和为 5018+1=901 【拓展拓展】将自然数将自然数 1,2,3,2013 依次无间隔地写成一个多位数依次无间隔地写成一个多位数：1234520122013,求这个多位数的求这个多位数的 所有数字之和所有数字之和. .
11、【分析分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法此题中可将数分成两部分,1- 1999 和 2000- 2013. 1- 1999 分组如下：(1,1998),(2,1997),(3,1996),(999,1000),(1999)数字和为 28 1000=28000 2000- 2013可枚举或分组计算：数字和为142+1+2+3+9+1+2+3+4=83. 综上,所有数字和为28000+83=28083 例 3 高斯的恩人 在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希 （Friederich） 。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就
12、。他 发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开 发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成 才之重要。当舅舅去世后，高斯不无伤感地说: “舅舅去世使我们失去了一位天才”。正是由 于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或 者泥瓦匠。 5第 9级上 优秀 A 版教师版 第 12 讲 从从 1,2,3,4,5,6 这这 6 个不同的数中选出个不同的数中选出 1 个或若干个数个或若干个数,使选出的所有数的和为使选出的所有数的和为 3 的倍数的倍数共有多少种共有多少种 不同的选法不
13、同的选法 【分析分析】1+2+3+4+5+6=21,21 是 3 的倍数因此选出和为 3 的方法与选出和为18 的方法相同；和为 6 的方法与和为 15 的方法相同；和为9 的选法与和为 12 的方法相同 (1)和为 3的选法有 1+2,3 共 2 种； (2)和为 6的选法有 1+2+3,1+5,2+4,6 共 4 种； (3)和为 9的选法有 1+2+6,1+3+5,2+3+4,3+6,4+5 共 5 种； (4)和为 21 的选法有1 种 共 2(2+4+5)+1=23 种不同的选法 【铺垫铺垫】用用 30 枚枚 2 分的硬币和分的硬币和 8 枚枚 5分硬币不能构成的分硬币不能构成的 1
14、 分到分到 1 元之间的币值有多少种元之间的币值有多少种？ 【分析分析】302+85=100 分最多能构成 100 分的在 1 到 100 中,若不能构成 a 分,则同样不能构 成(100- a)分因此只需要考虑 50 以内不能构成的币值即可 显然 1,3 两种币值不能构成50 以内的偶数均可构成而这些数加 5 后可构成 5,7,9,49 中间的所有奇数 因此50以内不能构成的币值为1,3分 50以上不能构成的币值为100- 1=99 和 100- 3=97 分 共有 4 种不能构成的币值 想想练练想想练练：从从 1,2,3,4,5,6 中选取若干个数中选取若干个数（可以只选取一个可以只选取一
15、个）,使得它们的和是使得它们的和是 3 的倍数的倍数,但不是但不是 5的的 倍数倍数那么共有那么共有种不同的选取方法种不同的选取方法 【分析分析】1+2+3+4+5+6=21,21 是 3 的倍数因此选出和为 3 的方法与选出和为18 的方法相同；和为 6 的方法与和为 15 的方法相同；和为9 的选法与和为 12 的方法相同 (1)和为 3的选法有 1+2,3 共 2 种； (2)和为 6的选法有 1+2+3,1+5,2+4,6 共 4 种； (3)和为 9的选法有 1+2+6,1+3+5,2+3+4,3+6,4+5 共 5 种； (4)和为 21 的选法有1 种 但要求不是 5 的倍数 因
16、此共 2(2+5)+4+1=19 种不同的选法 鸡鸡,兔共有脚兔共有脚 44只只,若将鸡若将鸡,兔互换兔互换,则共有脚则共有脚 52 只只,问鸡问鸡,兔各有多少只兔各有多少只？ ( (学案对应学案对应：学案学案 4) ) 【分析分析】由题意得： 44 只 52 只 上下两行中鸡的只数等于兔的只数,因此若将上下对应的鸡和兔当成一组,这样就成了每组 中有 6 只脚,而总数为 44+52=96 只脚因此共有 966=16 组,即原来鸡兔共 16 只之后可 以用鸡兔同笼算出鸡有 10 只,兔有 6只 例 5 例 4 6第 9级上优秀 A 版教师版 想想练练想想练练：100 个个人人刚好刚好种种 300
17、 棵树棵树,1 个大个大人种人种 10 棵树棵树,4 个小个小孩种孩种 5 棵树棵树,那么大那么大人有多少个人有多少个,小小孩孩 有多少个有多少个？ 【分析分析】100 人种300棵树,平均每人种3 棵 将 1个大人和4个小孩当成一组,这样5人种15 棵树,100 5=20 组,因此大人有 201=20 人,小孩有 100- 20=80 人 分母为分母为 1996的所有最简真分数之和是多少的所有最简真分数之和是多少？ 【分析分析】当 1996 a 为最简分数时,1996 1996 a 也是最简分数而这两个数之和为 1.因此此题变为先求出 分子与 1996 互质的数有多少个,再除以 2 即可19
18、96 含有的质因数有 2 和 499.与 1996 互 质的数为奇数,且不能是 499 和 4993,因此共有 19962- 2=996 个所以此题结果为 996 2=498. 1.计算计算： ( (1) )1000999- 998- 997996995- 994- 993108107 - 106- 105104103- 102- 101 ( (2) )1351989 -2461988 （） （） ( (3) ) 222222222222 100999897969594934321 附加题附加题 杯赛提高杯赛提高 高斯智断瓶中线高斯智断瓶中线 卡尔弗利德里希高斯（17771855 年）是德国
19、19 世纪著名的数学家、物理学家。 高斯不到 20 岁时，在许多学科上就已取得了不小的成就。对于高斯接二连三的成功，邻居 的几个小伙子很不服气，决心要为难他一下。一个阳光明媚的中午，小伙子们聚到一起冥 思苦想，终于想出了一道难题。他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄 的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。准备 好以后，他们小心翼翼地捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道， “你一天到晚 捧着书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子， 不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？”你知道高斯是怎么弄到瓶中线吗？ 答案：高
20、斯无意地看到明媚的阳光，又望了望那个瓶子，从口袋里拿出一面放大镜， 对着瓶子里的棉线照着，一分钟、两分钟.人们好奇地睁大了眼，随着钱币“铛”的一声掉 落瓶底，大家发现棉线被烧断了。 7第 9级上 优秀 A 版教师版 第 12 讲 ( (4) ) 22222222 1005099 - 49984851 - 1 【分析分析】 (1)原式= 1000999- 998- 997996995- 994- 993104103- 102- 101900 （）（）（） (2)1351989 -2461988 （） （） 13- 25- 41989- 1988 1 11989- 12 1994 995 （）（）
21、（） （） (3)原式= 222222222222 100999897969594934321 = 100999897969594934321 =425=100 (4)法 1：直接配公式 原式= 2222222222 10099985150491250491 =100 101 201 5051 101 2 66 =338350- 85850=252500 法 2：配对思想 原式= 22222222 1005099 - 49984851 - 1 =100505099+495098485051 150 =(10099981)50505050252500 法 3：配对思想 原式= 222222222
22、2 10099198 - 297351 - 4950 = 2 10098 10096 10094 1002 1002500 =(1009896942) 1002500 =255000- 2500=252500 2.计算计算： 222222 10099989721 【分析分析】原式= 222222 (10099 )(9897 )(21 ) =(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21) =100+99+98+97+2+1 =5050 3.定义如下运算定义如下运算：,= baba a ba b baba ,那么那么 (1 2)(3 4)(5 6)(2011 2012)(1
23、2)(3 4)(5 6)(2011 2012) =_ 【分析分析】由题中定义的运算我们可以得到()()1 baba a ba b baba ,那么根据乘法可以交换顺 序,我们将所要求的算式中形如()a b,()a b的配成一对,先相乘,可以得到 原 式 =(1 2)(1 2)(3 4)(3 4)(5 6)(5 6)(2011 2012)(2011 2012) 每个中括号中的结果都是 1,那么原式的结果也为 1 4.由数字由数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成一切可能的没有重复数字的四位数组成一切可能的没有重复数字的四位数,这些四位数的和是多少这些四位数的和是多少？ 【分析分析】9 个
24、数字共可构成 9876=3024 个不同的四位数当存在符合条件的四位数abcd时, 也一定存在另一符合条件的四位数(10)(10)(10)(10)abcd,而这两个数之和为 11110, 因此所有符合条件的数之和为 3024211110=16798320 8第 9级上优秀 A 版教师版 5.有四人的体重都是整千克数有四人的体重都是整千克数,他们两两合称体重他们两两合称体重,共称了五次共称了五次,称得的千克数分别称得的千克数分别 99、113、125、 130、144.其中有两人没有一起称过其中有两人没有一起称过,那么这两人中较重的那个人的体重是多少千克那么这两人中较重的那个人的体重是多少千克？
25、 【分析分析】本题考查配对思想.设四个人的体重为, , ,a b c d不妨设abcd , 则()()()()()()abcdacbdadbc 注意到99144113130243,由于四人两两称重最多称出 6 个体重（前提是 4 人体重两 两不同）,于是第六次称重的结果为243125118 144 130 113 99 ab ac bd cd , 还剩ad与bc的取值,由前面的方程组得,31ad 为奇数 ,所以 125ad ,解得78,47ad,从而66,52bc,两人没一起称过,显然是和为 118 的两人, 这只能是, b c,所以,这两人中较重的那人的体重是 66 千克. 6.将自然数将自
26、然数 1,2,3,369 依次无间隔地写成一个多位数依次无间隔地写成一个多位数：12345368369,求这个多位数的所有数字求这个多位数的所有数字 之和之和. . 【分析分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法此题中可将数分成两部分,129 单独计算,分组如下 (1,28),(2,27),(3,26),(14,15),(29)； 30- - 369 分组如下：(30,369),(31,368),(32,367),(199,200). 这样所有数字之和为 1511+21170=3735 1. 计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算 的速度以及准确度 2
27、. 在一些数论或者组合问题中,将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰 1.计算计算：1+2- 3+4+5- 6+7+8- 9+16+17- 18 【分析分析】原式=(1+2- 3)+(4+5- 6)+( 7+8- 9)+(16+17- 18)=0+3+6+9+12+15=45 2.下列数阵中有下列数阵中有 25 个数个数,它们的和是多少它们的和是多少？ 246810 4681012 68101214 810121416 1012141618 【分析分析】从右上到左下的对角线上的数都是 10,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是20,所以这 25 个数的平均数是 10,这
28、100 个数之和1025250 家庭作业家庭作业 知识点总结知识点总结 9第 9级上 优秀 A 版教师版 第 12 讲 3.将自然数将自然数 1,2,3,1000 依次无间隔地写成一个多位数依次无间隔地写成一个多位数：123459991000,求这个多位数的所有数求这个多位数的所有数 字之和字之和 【分析分析】求 数 字 和 时 , 凑“9 ”是 个 关 键 的 想 法 分 组 如 下 ： (1,998),(2,997),(3,996),(499,500),(999),(1000)这样前 500 组每组的数字和均为 27, 最后一组和为 1,数字之和为 50027+1=13501. 4.从从
29、1,2,3,4,5,6,7 这这 7 个不同的数个不同的数中选中选出出 1 个或若干个数个或若干个数,使使选出的所有数选出的所有数的和为的和为 7的倍数的倍数 共有多共有多 少种不同的选法少种不同的选法 【分析分析】1+2+3+4+5+6+7=28,28 是 7 的倍数因此若选出 a 个数是 7 的倍数,则剩下的7- a 个数也必 为 7 的倍数可以从选出的数的个数考虑： 1(或 6)个数：7,共 1 种； 2(或 5)个数：1+6,2+5,3+4,共 3 种； 3(或 4)个数：1+2+4,1+6+7,2+5+7,3+4+7,3+5+6,共 5 种； 7 个数：1+2+3+4+5+6+7,共
30、 1 种 因此共 2(1+3+5)+1=19 种 注：也可从和为 7(21)当一组和为14 当一组和为 28 当一组 5.一个中学生一顿可以吃一个中学生一顿可以吃 3个馒头个馒头,三个幼儿一顿吃三个幼儿一顿吃 1个馒头个馒头,现有中学生和幼儿共现有中学生和幼儿共 100 人人,一顿正好一顿正好 吃了吃了 100 个馒头个馒头.问幼儿有几人问幼儿有几人? ? 【分析分析】由一个中学生一顿可以吃 3 个馒头,三个幼儿一顿吃 1 个馒头可以得出： 4 人(一个中学生和 三个幼儿)共吃 4 个馒头.把 4 个人看作一组,1004=25(组),每组里有一个中学生、三个幼 儿,所以中学生有 25 人,幼儿
31、有 253=75 人. 6.100 个连续自然数的和是个连续自然数的和是 8450,取其中第取其中第 1 个个,第第 3 个个,第第 5 个个,第第 99 个个( (按从小到大的顺序取按从小到大的顺序取) ), 再把这再把这 50 个数相加个数相加,和是多少和是多少？ 【分析分析】连续自然数中相邻两数差为 1,100 个数可以分成 50 组,第 2,4,6,100 个数之和比第 1,3,5,99 个数之和大 50,由和差问题可知,第奇数个数之和为(8450- 50)2=4200 【学案学案 1】(1) 计算计算：(1+3+5+7+101)- (2+4+6+100) ( (2) )计算计算：10
32、0+99- 98- 97+96+95- 94- 93+4+3- 2- 1 【分析分析】 (1)法 1：原式= 2 (1 101)51(2100)50 5151 5051 (5150)51 22 法 2：原式=1+(3- 2)+(5- 4)+(7- 6)+(101- 100)=511=51 (2)法 1：原式=(100+99- 98- 97)+(96+95- 94- 93)+(4+3- 2- 1)=254=100 法 2：原式=100+(99- 98- 97+96)+(95- 94- 93+92)+4）+(3- 2- 1+0)=100+0+0+0=100 【学案学案 2】下列数阵中有下列数阵中有
33、 100 个数个数,它们的和是多少它们的和是多少？ 123910 2341011 34511 12 1011 121819 【分析分析】从右上到左下的对角线上的数都是 10,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是20,所以这 A A 版学案版学案 10第 9级上优秀 A 版教师版 100 个数的平均数是 10,这 100 个数之和10 1001000 【学案学案 3】 将自然数将自然数 1,2,3,80 依次无间隔地写成一个多位数依次无间隔地写成一个多位数： 123457980,求这个多位数的所有数求这个多位数的所有数 字之和字之和 【分析分析】此题可凑 79.分组如下：(1,78),(2,77),(3,76),(39,40),(79),( 80). 所有数字之和为 1640+8=648 【学案学案 4】 一百个和尚刚好喝一百碗粥一百个和尚刚好喝一百碗粥,一个大和尚喝一个大和尚喝 4碗粥碗粥,四四个小和尚喝个小和尚喝 1 碗粥碗粥,那么大和尚有多少那么大和尚有多少 个个,小和尚有多少个小和尚有多少个？ 【分析分析】100 人喝100 碗粥,平均每人喝 1 碗将 1 个大和尚和 4 个小和尚当成一组,这样5 人喝 5 碗 粥,1005=20 组,因此大和尚有 201=20 人,小和尚有 100- 20=80 人