1、第 1 页 共 11 页 中考中考冲刺冲刺：代数综合问题代数综合问题知识讲解（知识讲解（提高提高） 【中考展望】【中考展望】 初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元 二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的 关键在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的 方法找到解决问题的突破口通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领 悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力 【方法点拨】【方法点拨】 (1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的
2、基础； (2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心 * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式) * 由已知，想可知(联想知识)； 由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合； * 观察挖掘题目结构特征； 联想联系相关知识网络； 突破抓往关键实现突破； 寻求学会寻求解题思路 (5)准确计算，严密推理是解综合题的保证 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、函数函数综合综合 1已知函数 2 y x 和 ykx+1(k0) (1)若这两个函数的图
3、象都经过点(1，a)，求 a 和 k 的值； (2)当 k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 【思路点拨】 本题是一次函数，反比例函数的综合题本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象 交点个数 【答案与解析】 解：(1)两函数的图象都经过点(1，a)， 2 , 1 1. a ak 解得 2, 1. a k (2)将 2 y x 代入 ykx+1，消去 y，得 2 20kxx 第 2 页 共 11 页 k0， 要使得两函数的图象总有公共点，只要0 即可 1+8k 1+8k0，解得 k 1 8 k 1 8 且 k0 时这两个函数的图象总有公共点 【总结升华】 两图象交点的个数常常通
4、过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断若 0，两图象有两个公共点；若0，两图象有一个公共点；若0，两图象没有公共点 举一反三：举一反三： 【变式变式】 如图， 一元二次方程032 2 xx的两根 1 x， 2 x（ 1 x 2 x） 是抛物线)0( 2 acbxaxy 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点 A（3，6） (1)求此二次函数的解析式； (2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标； (3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标 【答案】 解：(1)解方程032 2 xx，得 1 x=-3， 2 x=1
5、. 抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0） ，B（1，0）. 将 A（3，6） ，B（1，0） ，C（-3，0）代入抛物线的解析式，得 . 039 , 0 , 639 cba cba cba 解这个方程组，得 . 2 3 , 1 , 2 1 c b a 抛物线解析式为 2 3 2 1 2 xxy. (2)由2) 1( 2 1 2 3 2 1 22 xxxy，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2） ，对称轴为直线x=-1. 设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6） ，C（-3，0）代入,得 . 03 , 63 bk bk 解这个方程组，得 . 1 , 3 k b 第 3 页 共
6、11 页 直线AC的函数关系式为y=x+3. 由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点， 故解方程组 . 3 , 1 xy x 得 . 2 , 1 y x 点Q坐标为（-1，2）. (3)作A点关于x轴的对称点)6, 3( / A，连接QA/，QA/与x轴交点M即为所求的点. 设直线QA/的函数关系式为y=kx+b. . 2 , 63 bk bk 解这个方程组，得 . 2 , 0 k b 直线QA/的函数关系式为y=-2x. 令x=0，则y=0. 点M的坐标为（0，0）. 类型二、类型二、函数与方程综合函数与方程综合 2已知关于 x 的二次函数 2 2 1 2 m yxmx 与 2 2 2 2
7、 m yxmx ，这两个二次函数的图象 中的一条与 x 轴交于 A，B 两个不同的点 (1)试判断哪个二次函数的图象经过 A，B 两点； (2)若 A 点坐标为(-1，0)，试求 B 点坐标； (3)在(2)的条件下，对于经过 A，B 两点的二次函数，当 x 取何值时，y 的值随 x 值的增大而减小? 【思路点拨】 本题是二次函数与一元二次方程的综合题本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数 图象，与 x 轴的交点个数及二次函数的性质 【答案与解析】 解：(1)对于关于 x 的二次函数 2 2 1 2 m yxmx ， 由于(-m) 241 2 2 1 20 2 m m ， 所以此函数
8、的图象与 x 轴没有交点 第 4 页 共 11 页 对于关于 x 的二次函数 2 2 2 2 m yxmx ， 由于 2 22 2 ()4 1340 2 m mm ， 所以此函数的图象与 x 轴有两个不同的交点 故图象经过 A，B 两点的二次函数为 2 2 2 0 2 m yxmx (2)将 A(-1，0)代入 2 2 2 2 m yxmx ，得 2 2 10 2 m m 整理，得 2 20mm 解之，得 m0，或 m2 当 m0 时， 2 1yx令 y0，得 2 10x 解这个方程，得 1 1x ， 2 1x 此时，B 点的坐标是 B(1，0) 当 m2 时， 2 23yxx令 y0，得 2
9、 230xx 解这个方程，得 x3-1，x43 此时，B 点的坐标是 B(3，0) (3)当 m0 时，二次函数为 2 1yx，此函数的图象开口向上，对称轴为 x0，所以当 x0 时， 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 m2 时，二次函数为 22 23(1)4yxxx ，此函数的图象开口向上，对称轴为 x1， 所以当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小 【总结升华】 从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用 常量来求解 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：关于 x 的一元二次方程： 22 240xmxm. （1）求证：这个方程有两个
10、不相等的实数根； （2）当抛物线 22 24yxmxm与 x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛 物线的解析式； （3）将（2）中的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图形 C1,将图形 C1向 右平移一个单位,得到图形 C2，当直线y=xb(b0)与图形 C2恰有两个公共点时，写出 b 的取值 范围. 第 5 页 共 11 页 【答案】 （1）证明016)4(4)2( 22 mm 该方程总有两个不相等的实数根 （2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴， 02 m，解得0m 此抛物线的解析式为4 2 xy （3）-3b0 类型三、以代数为主的综合题类型
11、三、以代数为主的综合题 3如图所示，在直角坐标系中，点 A 的坐标为(-2，0)，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120得 到线段 OB (1)求点 B 的坐标； (2)求经过 A，O，B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若 不存在，请说明理由 (4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求 出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 【思路点拨】 (1)由AOB120可得 OB 与 x 轴正半轴的夹角为 60，利用 OB2
12、及三角函数可求得点 B 的坐标； (2)利用待定系数法可求出解析式； (3)OB 为定值，即求 BC+CO 最小利用二次函数的对称性可知点 C 为直线 AB 与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出 PAB S关于点 P 的横坐标 x 的函数关系式求解 【答案与解析】 解：(1)B(1，3) (2)设抛物线的解析式为(2)yax x，代入点 B(1，3)，得 3 3 a 所以 2 32 3 33 yxx (3)如图所示，抛物线的对称轴是直线 x-1，因为 A，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点 C 位 于对称轴与线段 AB 的交点时，BOC 的周长最小 第 6 页 共 11 页 设直线 A
13、B 的解析式为(0)ykxb k，则 3, 20. kb kb 解得 3 , 3 2 3 . 3 k b 因此直线 AB 的解析式为 32 3 33 yx 当1x时， 3 3 y 因此点 C 的坐标为 3 1, 3 (4)如图所示，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D，设其交 x 轴于 E，交过点 B 与 x 轴平行的直线于 F 设点 P 的横坐标为 x 则 PABPADPBD SSS 11 22 PDAEPDBF 1 () 2 PDAEBF 1 ()() 2 DPBA yyxx 2 132 332 3 3 23333 xxx 2 2 33319 3 3 22228 xxx 第 7 页
14、共 11 页 当 1 2 x 时，PAB 的面积的最大值为 9 3 8 ，此时 13 , 24 【总结升华】 本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法因为线 段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上 边点的纵坐标减下边点的纵坐标” ，从而不用加绝对值号，本题中线段 PD 的长为 DP yy就是利用了这 一规律 4如图所示，已知抛物线 C1与坐标轴的交点依次是 A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8) (1)求抛物线 C1关于原点对称的抛物线 C2的解析式； (2)设抛物线 C1的顶点为 M，抛物线 C2
15、与 x 轴分别交于 C，D 两点(点 C 在点 D 的左侧)，顶点为 N， 四边形 MDNA 的面积为 S若点 A，D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时， 点 M，N 同时以每秒 2 个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点 A 与点 D 重合为止求出 四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出自变量 t 的取值范围； (3)当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，并求出此最大值； (4)在运动过程中，四边形 MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由 【思路点拨】 此题一题多问，分别考查
16、对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函 数最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力 【答案与解析】 解：(1)点 A(-4，0)，点 B(-2，0)，点 E(0，8) 关于原点的对称点分别为 D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8) 设抛物线 C2的解析式是 2 (0)yaxbxc a， 则 1640 420, 8. abc abc c 解得 1, 6, 8. a b c 所求抛物线的解析式是 2 68yxx . (2)由(1)可计算得点 M(-3，-1)，N(3，1) 过点 N 作 NHAD，垂足为 H 当运动到时刻 t 时，AD2OD8-2t
17、，NH1+2t 根据中心对称的性质 OAOD，OMON， 四边形 MDNA 是平行四边形 第 8 页 共 11 页 2 ADN SS 四边形 MDNA 的面积 2 (82 )(1 2 )4148Stttt 运动至点 A 与点 D 重合为止，据题意可知 0t4， 所求关系式是 2 4148Stt （0t4） (3) 2 781 4 44 St (0t4) 7 4 t 时，S 有最大值 81 4 . (4)在运动过程中四边形 MDNA 能形成矩形 由(1)知四边形 MDNA 是平行四边形，对角线是 AD、MN， 当 ADMN 时四边形 MDNA 是矩形 ODON OD 2ON2OH2+NH2 2
18、420tt 解得 1 62t ， 2 62t (不合题意，舍去) 在运动过程中四边形 MDNA 可以形成矩形，此时62t 【总结升华】 直角坐标系中，坐标与线段长的关系；用等量关系列方程以形为背景给出的题干信息中有等腰梯 形，等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想 解决问题的有效信息 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，抛物线 2 3yaxbx与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点， 1 tan 3 OCA， 6 ABC S (1)求点 B 的坐标； (2)求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若 E 点在 x 轴上，F 点在抛
19、物线上，如果 A，C，E，F 构成平行四边形，直接写出点 E 的坐标 【答案】 第 9 页 共 11 页 解：(1) 2 3yaxbx，C(0，3) 又 1 tan 3 OCA，A(1，0) 又6 ABC S ， 1 36 2 AB ， AB4。 B(-3，0) (2)把 A(1，0)，B(-3，0)代入 2 3yaxbx得： 03, 0933. ab ab a-1，b-2， 2 23yxx 2 (1)4yx 顶点坐标(-1，4) (3)如图 1 和图 2 当 AC 为平行四边形的一边时， 1 E (-1，0)，E2(27 ，0)，E3(27 ，0) 当 AC 为平行四边形的对角线时，E4(3
20、，0) 5已知函数 y1x，y2x 2+bx+c，为方程 12 0yy的两个根，点 M(t，T)在函数 y2的图象 上 (1)若 1 3 ， 1 2 ，求函数 y2的解析式； 第 10 页 共 11 页 (2)在(1)的条件下， 若函数 y1与 y2的图象的两个交点为 A， B， 当ABM 的面积为 3 1 12 时， 求 t 的值； (3)若 01，当 0tl 时，试确定 T，三者之间的大小关系，并说明理由 【思路点拨】 第(1)问由 12 0yy得 2 (1)0xbxc的两根为，利用根的定义代入得到 b，c 的方程 组可求出 b，c 值； 第(2)问分别求出 A，B 两点坐标，利用直线 y
21、x 与 x 轴夹角为 45得到关于 t 的方程； 第(3)问利用求差法比较 T，的大小，注意对 t 的范围进行分类讨论来的确定相应 T， 的大小关系 【答案与解析】 解 (1)y1x，y2x 2+bx+c，y 1y20， 2 (1)0xbxc 将 1 3 ， 1 2 分别代入 2 (1)0xbxc，得 2 11 (1)0 33 bc 2 11 (1)0 22 bc 解得 1 6 b ， 1 6 c 函数 y2的解析式为 2 2 11 66 yxx (2)由已知，y1与 y2的图象的两个交点的坐标分别为 1 1 , 2 2 ， 1 1 , 3 3 得 2 6 AB ， 设 ABM 中 AB 边上
22、的高为 h， 则 3 121 21212 ABM SABhh ，即 1 2 144 h 由直线 y1x 与 x 轴的夹角为 45可得|2tTh 由 2 11 66 Ttt，得 2 511 66144 tt 当 2 511 66144 tt 时，解得 12 5 12 tt； 当 2 511 66144 tt 时，解得 3 52 12 t ， 4 52 12 t t 的值为 5 12 ， 52 12 ， 52 12 第 11 页 共 11 页 (3)由已知，得 2 bc， 2 bc， 2 Ttbtc ()()Tttb， ()()Tttb， 22 ()()bcbc， 化简得()(1)0b 01，得0， 10b 有 a+b10，+b10 又 0t1 时，t+b0，t+b0 当 0t时，T； 当t时，T； 当1 时，T 【总结升华】 本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广