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北京四中数学中考冲刺:代几综合问题--巩固练习(基础)

1、 第 1 页 共 13 页 中考冲刺:代几综合问题中考冲刺:代几综合问题巩固训练(基础)巩固训练(基础) 【巩固练习巩固练习】 一、一、 选择题选择题 1.如图,点 G、D、C 在直线 a 上,点 E、F、A、B 在直线 b 上,若abRtGEF , 从如图所示的位置 出发,沿直线 b 向右匀速运动,直到 EG 与 BC 重合运动过程中GEF与矩形ABCD重合部分 的面积 (S)随时间(t)变化的图象大致是( ) 2.如图,在半径为 1 的O 中,直径 AB 把O 分成上、下两个半圆,点 C 是上半圆上一个动点(C 与点 A、B 不重合) ,过点 C 作弦 CDAB,垂足为 E,OCD 的平分

2、线交O 于点 P,设 CE=x,AP=y,下列图象 中,最能刻画 y 与 x 的函数关系的图象是( ) 二、二、填空题填空题 3. 将抛物线 y12x 2向右平移 2 个单位,得到抛物线 的图象如图所示,P 是抛物线 y2对称轴上的一个 动点,直线 xt 平行于 y 轴,分别与直线 yx、抛物线 y2交于点 A、B若ABP 是以点 A 或点 B 为 直角顶点的等腰直角三角形,求满足的条件的 t 的值,则 t 4.如图所示, 在平面直角坐标系中, 一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数 y= 9 x 的图象在第一象限相交 于点 A,过点 A 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为点 B、C如果

3、四边形 OBAC 是正方形,求一次函数的 关系式_. s t O A s t O B C s t O D s t O 第 2 页 共 13 页 三、解答题三、解答题 5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点(算第一层) 、第二层每边有两个点,第三层每边有三个 点依次类推. (1)试写出第 n 层所对应的点数; (2)试写出 n 层六边形点阵的总点数; (3)如果一个六边形点阵共有 169 个点,那么它一共有几层? 6.如图,RtABC 中,B=90,AC=10cm,BC=6cm,现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发, 其中点 P 以 2cm/s 的速度,沿 AB 向终点 B

4、 移动;点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动,其中一点 到终点,另一点也随之停止连接 PQ设动点运动时间为 x 秒 (1)用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度; (2)当 x 为何值时,PBQ 为等腰三角形; (3)是否存在 x 的值,使得四边形 APQC 的面积等于 20cm 2?若存在,请求出此时 x 的值;若不存在, 请说明理由 7.阅读理解:对于任意正实数 a、b, 2 ()0,ab 20,2,aabbabab ab只有当时,等号成立。 第 3 页 共 13 页 结论:在 a+b2ab(a、b 均为正实数)中,若 ab 为定值 p,则 a+b2p ,只有当 a

5、=b 时, a+b 有最小值 2p 根据上述内容,回答下列问题: (1)若 m0,只有当 m=_时, 1 m 有最小值,最小值为_; (2)探究应用:已知 A(-3,0) 、B(0,-4) ,点 P 为双曲线12 x ()上的任一点,过点 P 作 PC轴于点 C,PD轴于点 D,求四边形 ABCD 面积的最小值,并说明此时四边形 ABCD 的 形状 8. 如图,在直角坐标系中,梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直线 CB 的表达 式为 416 33 yx ,点 A、D 的坐标分别为(4,0) , (0,4). 动点 P 从 A 点出发,在 AB

6、边上 匀速运动. 动点 Q 从点 B 出发,在折线 BCD 上匀速运动,速度均为每秒 1 个单位长度. 当其中一个 动点到达终点时,另一动点也停止运动. 设点 P 运动 t(秒)时,OPQ 的面积为 S(不能构成OPQ 的动点除外). (1)求出点 C 的坐标; (2)求 S 随 t 变化的函数关系式; (3)当 t 为何值时,S 有最大值?并求出这个最大值 O x y A B C D P Q 第 4 页 共 13 页 9.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 y 轴和 x 轴的正半 轴上,抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A、B

7、 和 D(4, 3 2 ) (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上找到点 M,使得 M 到 D、B 的距离之和最小,求出点 M 的坐标; (3)如果点 P 由点 A 出发沿线段 AB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动,同时点 Q 由点 B 出发沿线段 BC 以 1cm/s 的速度向点 C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动设 S=PQ 2(cm2) 求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围; 当 S= 5 4 时,在抛物线上存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形, 求出点 R 的坐标 y B A Ox1 2 2 1

8、 -1 -1 C 10已知:抛物线 yx 22xm-2 交 y 轴于点 A(0,2m-7) 与直线 y 2x 交于点 B、C(B 在右、C 在左) (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 E,在抛物线的对称轴上是否存在一点 F,使得BFECFE,若存在, 求出点 F 的坐标,若不存在,说明理由; (3)射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发,分别以每秒5个单位长度、每秒 25个单位长 度的速度沿射线 OC 运动,以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ(直角边分别平行于坐 标轴) ,设运动时间为 t 秒,若PMQ 与抛物线 yx 22xm-2 有公共点,求

9、t 的取值范围 11. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线4 2 bxaxy经过 A(3,0) 、B(4,0)两点,且与 y 轴交 于点 C,点 D 在 x 轴的负半轴上,且 BDBC,有一动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度 的速度向点 B 移动,同时另一个动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动. (1)求该抛物线的解析式; (2)若经过 t 秒的移动,线段 PQ 被 CD 垂直平分,求此时 t 的值; (3)该抛物线的对称轴上是否存在一点 M,使 MQMA 的值最小?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 第 5 页 共 13

10、 页 【答案与解析】【答案与解析】 一、选择题一、选择题 1 【答案】【答案】; 【解析】解:根据题意可得:F、A 重合之前没有重叠面积, F、A 重叠之后,设 EF 变重叠部分的长度为 x,则重叠部分面积为 s= 2 11 tantan 22 x xEFGxEFG, 是二次函数图象, EFG 完全进入且 F 与 B 重合之前,重叠部分的面积是三角形的面积,不变, F 与 B 重合之后,重叠部分的面积等于 SEFG- 2 1 tan 2 xEFG,符合二次函数图象,直至最后重 叠部分的面积为 0 综上所述,只有 B 选项图形符合 故选 B 2 【答案】【答案】 A 【解析】解:连接 OP, O

11、C=OP, OCP=OPC OCP=DCP,CDAB, OPC=DCP OPCD POAB OA=OP=1, AP=y=2(0x1) 故选 A 二、填空题二、填空题 3.【答案】1 或 3 或 5555 22 或; 【解析】解:抛物线 y1=2x 2向右平移 2 个单位, 抛物线 y2的函数解析式为 y=2(x-2) 2=2x2-8x+8, 抛物线 y2的对称轴为直线 x=2, 直线 x=t 与直线 y=x、抛物线 y2交于点 A、B, 点 A 的坐标为(t,t) ,点 B 的坐标为(t,2t 2-8t+8) , AB=|2t 2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|, AP=|t-2|, A

12、PB 是以点 A 或 B 为直角顶点的等腰三角形, |2t 2-9t+8|=|t-2|, 2t 2-9t+8=t-2 2t 2-9t+8=-(t-2) , 整理得,t 2-5t+5=0, 第 6 页 共 13 页 解得 12 5555 , 22 tt 整理得,t 2-4t+3=0, 解得 t1=1,t2=3, 综上所述,满足条件的 t 值为:1 或 3 或 5555 22 或 故答案为:1 或 3 或 5555 22 或 4.【答案】y= 2 3 x+1 【解析】S正方形 OBAC=OB 2=9, OB=AB=3, 点 A 的坐标为(3,3) 点 A 在一次函数 y=kx+1 的图象上, 3k

13、+1=3, 2 3 k , 一次函数的解析式为:y= 2 3 x+1 三、解答题三、解答题 5.【答案与解析】 解: (1)第 n 层上的点数为 6(n1) (n2) (2)n 层六边形点阵的总点数为1612186(n1)1 2 ) 1)(1(66nn 3n(n1) 1 (3)令 3n(n1)1169,得 n8.所以,它一共是有 8 层 6.【答案与解析】 解: (1)B=90,AC=10,BC=6, AB=8 BQ=x,PB=8-2x; (2)由题意,得 8-2x=x, x= 8 3 . 当 x= 8 3 时,PBQ 为等腰三角形; (3)假设存在 x 的值,使得四边形 APQC 的面积等于

14、 20cm 2, 则1 1 22 (), 第 7 页 共 13 页 解得 x1=x2=2 假设成立,所以当 x=2 时,四边形 APQC 面积的面积等于 20cm 2 7.【答案与解析】 解: (),; ()探索应用:设 P(,12 x ) ,则 C(,0) ,D(0,12 x ) , CA,DB=12 x +4, S四边形 ABCD= 1 2 CADB= 1 2 (x+3) (12 x +4), 化简得:S=2(x+ 9 x )+12, x0, 9 x 0,x+ 9 x 2 9 x x =6,只有当 x= 9 x 时,即 x=3,等号成立. S26+12=24, S四边形 ABCD有最小值是

15、 24. 此时,P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5, 四边形是菱形. 8.【答案与解析】 解: (1)把 y=4 代入 y=-14 16 33 x,得 x=1 C 点的坐标为(1,4) (2)作 CMAB 于 M,则 CM=4,BM=3 BC= 2222 345CMBM sinABC= 4 5 CM BC 0t4 时,作 QNOB 于 N, 则 QN=BQsinABC= 4 5 t S= 2 11428 (4) 22555 OP QNtttt (0t4) 当 4t5 时, (如图 1) , 连接 QO,QP,作 QNOB 于 N 同理可得 QN= 4 5 t,

16、 S= 2 11428 (4) 22555 OP QNtttt (4t5) 第 8 页 共 13 页 当 5t6 时, (如图 2) , 连接 QO,QP S= 11 (4) 428 22 OP ODtt (5t6) (3)在 0t4 时, 当 8 5 2 2 () 5 t 2 时, S最大= 8 5 在 4t5 时,对于抛物线 S 2 8 28 5 ,2 2 55 2 5 ttt 当时, 2 288 =22. 555 S 最小值 抛物线 2 28 = 55 Stt的顶点为(2, 8 5 ) 在 4t5 时,S 随 t 的增大而增大 当 t=5 时,S最大= 2 28 =55=2. 55 S

17、最大值 在 5t6 时, 在 S=2t-8 中, k=20, S 随 t 的增大而增大 当 t=6 时,S最大=26-8=4 综合以上三种情况,当 t=6 时,S 取得最大值,最大值是 4 第 9 页 共 13 页 9.【答案与解析】 解: (1)据题意可知:A(0,2) ,B(2,2) ,C(2,0) 抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A、B 和 D(4, ) , , , y= x 2+ x+2; (2)点 B 关于抛物线的对称轴 x=1 的对称点为 A连接 AD,与对称轴的交点即为 M A(0,2) 、D(4, ) , 直线 AD 的解析式为:y= x+2, 当 x=1 时,y= ,

18、 则 M(1, ) ; (3)由图象知:PB=22t,BQ=t,AP=2t, 在 RtPBQ 中,B=90, S=PQ 2=PB2+BQ2, =(22t) 2+t2, 即 S=5t 28t+4(0t1) 当 S= 5 4 时, 5 4 =5t 28t+4 即 20t 232t+11=0, 第 10 页 共 13 页 解得:t= ,t=1(舍) P(1,2) ,Q(2, ) PB=1 若 R 点存在,分情况讨论: (i)假设 R 在 BQ 的右边,如图所示,这时 QR=PB, RQPB, 则 R 的横坐标为 3,R 的纵坐标为 ,即 R(3, ) ,代入 y= x 2+ x+2,左右两边相等,

19、故这时存在 R(3, )满足题意; (ii)假设 R 在 PB 的左边时,这时 PR=QB,PRQB, 则 R(1, )代入 y= x 2+ x+2,左右两边不相等, 则 R 不在抛物线上 综上所述,存点一点 R,以点 P、B、Q、R 为顶点的四边形只能是口PQRB 则 R(3, ) 此时,点 R(3, )在抛物线=- x 2+ x+2 上 10.【答案与解析】 解: (1)点 A(0,2m7)代入 y=x 2+2x+m2, m2=2m7, 解得:m=5 故抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3; (2)如图 1,由, 得, B(,2) ,C(,2) B(,2) ,关于抛物线对称轴 x=1 的

20、对称点为 B(2,2) , 将 B,C 代入 y=kx+b,得: , 第 11 页 共 13 页 解得:, 可得直线 BC 的解析式为:, 由,可得, 故当 F(1,6)使得BFE=CFE; (3)如图 2,当 t 秒时,P 点横坐标为t,则纵坐标为2t,则 M(2t,2t)在抛物线上时, 可得(2t) 24t+3=2t,整理得出:4t2+2t3=0, 解得:, 当 P(t,2t)在抛物线上时,可得t 22t+3=2t,整理得出:t2=3, 解得:,舍去负值, 所以若PMQ 与抛物线 y=x 2+2x+m2 有公共点 t 的取值范围是 11 【答案与解析】 解: (1)抛物线 y=ax 2+b

21、x+4 经过 A(3,0) ,B(4,0)两点, 第 12 页 共 13 页 ,解得, 所求抛物线的解析式为:y= x 2+ x+4; (2)如图 1,依题意知 AP=t,连接 DQ, A(3,0) ,B(4,0) ,C(0,4) , AC=5,BC=4,AB=7 BD=BC, AD=ABBD=74, CD 垂直平分 PQ, QD=DP,CDQ=CDP BD=BC, DCB=CDB CDQ=DCB DQBC ADQABC =, =, =, 解得 DP=4, AP=AD+DP= 线段 PQ 被 CD 垂直平分时,t 的值为; (3)如图 2,设抛物线 y= x 2+ x+4 的对称轴 x= 与 x 轴交于点 E点 A、B 关于对称轴 x= 对称, 连接 BQ 交该对称轴于点 M 则 MQ+MA=MQ+MB,即 MQ+MA=BQ, 第 13 页 共 13 页 当 BQAC 时,BQ 最小,此时,EBM=ACO, tanEBM=tanACO= , = , = ,解 ME= M( ,) ,即在抛物线 y= x 2+ x+4 的对称轴上存在一点 M( , ) ,使得 MQ+MA 的值最小