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北京四中数学中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

1、第 1 页 共 12 页 中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算中考总复习:正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解(基础)知识讲解(基础) 【考纲要求】【考纲要求】 1了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆 锥的侧面积及全面积; 2结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达 能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点点一一、正多边形和圆、正多边形和圆 1 1、正多边形的、正多边形的有关有关概念:概念

2、: (1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心. (3)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径. (4)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径) (5)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2 2、正多边形与圆的关系:、正多边形与圆的关系: (1)将一个圆 n(n3)等分(可以借助量角器), 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多 边形. (2)这个圆是这个正多边形的外接圆. (3)把圆分成 n(n3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正

3、 n 边形.这个圆叫做正 n 边形的内切圆. (4)任何正 n 边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆. 3 3、正多边形性质:、正多边形性质: (1)任何正多边形都有一个外接圆. (2) 正多边形都是轴对称图形, 一个正n边形共有n条对称轴, 每条对称轴都通过正n边形的中心 当 边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心. 第 2 页 共 12 页 (3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于 相似比的平方 (4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆. 要点诠释:要点诠释: (1) 正n边形的有n个相等的

4、外角, 而正n边形的外角和为360度, 所以正n边形每个外角的度数是 360 n ; 所以正 n 边形的中心角等于它的外角. (2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长 (或半径、边心距)平方的比. 考点二考点二、圆中有关计算圆中有关计算 1 1圆中有关计算圆中有关计算 圆的面积公式:,周长. 圆心角为、半径为 R 的弧长. 圆心角为,半径为 R,弧长为 的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为 R,母线长为 的圆柱的体积为,侧面积为,全 面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为

5、 R,母线长为 ,高为的圆锥的侧面积为,全面积为 ,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释:要点诠释: (1)对 于 扇形 面 积公 式 , 关键 要 理解 圆心 角 是 1 的 扇形 面积 是 圆 面积 的, 即 ; (2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角,知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式, 可根据题目条件灵活选择使用, 它与三角形面积公式有点 类似,可类比记忆; 第 3 页 共 12 页 (4)扇形两个面积公式之间的联系:. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、正多边形有关计算正多边形有关计算 1 (2015镇江

6、)图是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形正八边形 (1)如图,AE 是O 的直径,用直尺和圆规作O 的内接正八边形 ABCDEFGH(不写作法,保留作图 痕迹) ; (2)在(1)的前提下,连接 OD,已知 OA=5,若扇形 OAD(AOD180)是一个圆锥的侧面,则这个 圆锥底面圆的半径等于 【思路点拨】 (1)作 AE 的垂直平分线交O 于 C,G,作AOG,EOG 的角平分线,分别交O 于 H,F,反向延长 FO, HO,分别交O 于 D,B 顺次连接 A,B,C,D,E,F,G,H,八边形 ABCDEFGH 即为所求; (2)由八边形 ABCDEFGH 是正八边形,求

7、得AOD=3=135得到的长=,设这 个圆锥底面圆的半径为 R,根据圆的周长的公式即可求得结论 【答案与解析】 (1)如图所示,八边形 ABCDEFGH 即为所求, (2)八边形 ABCDEFGH 是正八边形, AOD=3=135, OA=5, 的长=, 设这个圆锥底面圆的半径为 R, 2R=, R=,即这个圆锥底面圆的半径为 故答案为: 第 4 页 共 12 页 【总结升华】 本题考查了尺规作图,圆内接八边形的性质,弧长的计算,圆的周长公式的应用,会求八边形的内角的 度数是解题的关键 举一反三:举一反三: 【变式变式 1 1】如图是三根外径均为 1 米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地

8、面的距离是_米 【答案】 3 1 2 . 解析:如图,以三个圆心为顶点等边三角形 O1O2O3的高 O1C 3 2 , 所以 ABAO1+O1C+BC 1313 1 2222 【变式变式 2 2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是_. 【答案】321: : 【变式变式 3 3】 (2015广西自主招生) 一张圆心角为 45的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形, 边长都为 2,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是( ) 第 5 页 共 12 页 A5:4 B5:2 C:2 D: 【答案】A. 【解析】解:如图 1,连接 OD, 四边形 ABCD 是正方形, DCB=ABO=9

9、0,AB=BC=CD=2, AOB=45, OB=AB=2, 由勾股定理得:OD=2, 扇形的面积是= ; 如图 2,连接 MB、MC, 四边形 ABCD 是M 的内接四边形,四边形 ABCD 是正方形, BMC=90,MB=MC, MCB=MBC=45, BC=2, MC=MB=, M 的面积是 ()2=2, 扇形和圆形纸板的面积比是 (2)= 故选:A 第 6 页 共 12 页 类型二、类型二、正多边形与圆有关面积的计算正多边形与圆有关面积的计算 2(1)如图(a),扇形 OAB 的圆心角为 90,分别以 OA,OB 为直径在扇形内作半圆,P 和 Q 分别表示阴影部分的面积,那么 P 和

10、Q 的大小关系是( ) APQ BPQ CPQ D无法确定 (2)如图(b),ABC 为等腰直角三角形,AC3,以 BC 为直径的半圆与斜边 AB 交于点 D,则图中阴 影部分的面积是_ (3)如图(c),AOB 中,OA3cm,OB1cm,将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90到AOB,求 AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积(结果保留 ) 【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时,可采用和差法、转化法、方程法等,有时 也需要运用变换的观点来解决问题 【答案与解析】 解:(1)阴影部分的面积直接求出十分困难,可利用几个图形面积的和差进行计算: 2 OABOCA PSSQ 扇形半圆

11、 22 11 () 42 RRQQ; (2)(转化法 “凑整”)利用 BmDCnD SS 弓形弓形 ,则阴影部分的面积可转化为ACD 的面积, 等于ABC 面积的一半,答案为 9 4 ; (3)(旋转法)将图形 ABM 绕点 O 逆时针旋转到 ABM位置,则 A OAMOM SSS 阴影扇形扇形 22 11 2 44 OAOM 【总结升华】 求阴影面积的几种常用方 (1)公式法;(2)割补法; (3)旋转法;(4)拼凑法;(5)等积变形法;(6) 构造方程法 举一反三:举一反三: 【变式变式】如图,在ABC 中,ABAC,AB8,BC12,分别以 AB、AC 为直径作半圆,则图中阴 第 7 页

12、 共 12 页 影部分的面积是( ) A64 12 7 B16 32 C1624 7 D16 12 7 【答案】 解:如图,由 AB,AC 为直径可得 ADBC,则 BDDC6 在 RtABD 中, 22 862 7AD, 2 11 246 2 71612 7 22 S 阴影 答案选 D. 3如图所示,A 是半径为 2 的O 外一点,OA4,AB 是O 的切线,B 为切点,弦 BCOA, 连 AC,求阴影部分的面积 【思路点拨】 图中的阴影是不规则图形,不易直接求出,如果连接 OB、OC,由 BCOA,根据同底等高的三角形 面积相等,于是所求阴影可化为扇形 OBC 去求解 【答案与解析】 解:

13、如图所示,连 OB、OC BCOA OBC 和ABC 同底等高, SABCSOBC, AB 为O 的切线, OBAB OA4,OB2, AOB60 第 8 页 共 12 页 BCOA, AOBOBC60 OBOC, OBC 为正三角形 COB60, 2 6022 3603 OBC SS 阴影扇形 【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中可根据平移、旋转或轴对称等图 形变换;可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化 举一反三:举一反三: 【变式变式】如图所示,半圆的直径 AB10,P 为 AB 上一点,点 C,D 为半圆的三等分点,则阴影部分的面 积等于_ 【答

14、案】 解:连接 OC、OD、CD C、D 为半圆的三等分点, AOCCODDOB18060 3 又 OCOD, OCDODC60, DCAB, PCDOCD SS , 2 60525 3606 SS 阴影扇形OCD 第 9 页 共 12 页 4 (2015 秋江都市期中)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于点 E (1)求弧 BE 所对的圆心角的度数 (2)求图中阴影部分的面积(结果保留 ) 【思路点拨】 (1)连接 OE,由条件可求得EAB=45,利用圆周角定理可知弧 BE 所对的圆心角EOB=2 EAB=90; (2)利用条件可求得扇形 A

15、OE 的面积,进一步求得弓形的面积,利用 RtADC 的面积减去弓的面积可 求得阴影部分的面积 【答案与解析】 解: (1)连接 OE, 四边形 ABCD 为正方形, EAB=45, EOB=2EAB=90; (2)由(1)EOB=90, 且 AB=4,则 OA=2, S扇形 AOE=,SAOE= OA 2=2, S弓形=S扇形 AOESAOE=2, 又SACD= ADCD= 44=8, S阴影=8(2)=10 【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质,掌握扇形的面积公式是解题的关键,注意 弓形面积的计算方法 5将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,重叠部分(阴影)的量角器圆弧

16、(AB)对应 的中心角(AOB)为 120,AO 的长为 4cm,求图中阴影部分的面积. 第 10 页 共 12 页 【思路点拨】 看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形,经过怎样的拼凑、割补、 叠合而成,这是解决这类题的关键 【答案与解析】 阴影部分的面积可看成是由一个扇形 AOB 和一个 RtBOC 组成, 其中扇形 AOB 的中心角是120,AO 的长为 4,RtBOC 中,OBOA4,BOC60, 可求得 BC 长和 OC 长,从而可求得面积, 阴影部分面积扇形 AOB 面积+BOC 面积 2 16 2 3 cm 3 【总结升华】 本题是求简单组合图形的面积问

17、题,解答时,常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求 面积的、规则的图形”组合而成. 举一反三:举一反三: 【变式变式】如图,矩形 ABCD 中,AB1,2AD以 AD 的长为半径的A 交 BC 于点 E,则图中阴影部 分的面积为_ 【答案】 1 2 24 . 解析:连接 AE,易证 ABBE1,BAE45,所以EAD45, 所以 2 111 2( 2)2 2824 ABEABCDDAE SSSS 阴影矩形扇形 6如图,AB 是O 的直径,点 P 是 AB 延长线上一点,PC 切O 于点 C,连接 AC,过点 O 作 AC 的 垂线交 AC 于点 D,交O 于点 E已知 AB8,P=30

18、(1)求线段 PC 的长; (2)求阴影部分的面积 第 11 页 共 12 页 【思路点拨】 (1)连接 OC,由 PC 为圆 O 的切线,根据切线的性质得到 OC 与 PC 垂直,可得三角形 OCP 为直角三 角形,同时由直径 AB 的长求出半径 OC 的长,根据锐角三角函数定义得到 tanP 为P 的对边 OC 与邻边 PC 的比值,根据P 的度数,利用特殊角的三角函数值求出 tanP 的值,由 tanP 及 OC 的值,可得出 PC 的长; (2)由直角三角形中P 的度数,根据直角三角形的两个锐角互余求出AOC 的度数,进而得出 BOC 的度数,由 OD 与 BC 垂直,且 OC=OB,

19、利用等腰三角形的三线合一得到 OD 为BOC 的平分线,可求 出COD 度数为 60,再根据直角三角形中两锐角互余求出OCD 度数为 30,根据 30角所对的直角 边等于斜边的一半,由斜边 OC 的长求出 OD 的长,先由COD 的度数及半径 OC 的长,利用扇形的面积公 式求出扇形 COE 的面积,再由 OD 与 CD 的长,利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形 COD 的面积,用扇形 COE 的面积减去三角形 COD 的面积,即可求出阴影部分的面积 【答案与解析】 解:(1)连接 OC, PC 切O 于点 C,OCPC, AB=8,OC= 1 2 AB=4, 又在直角三角形 OC

20、P 中,P=30, tanP=tan30= OC PC ,即 PC= 4 3 3 =43; (2)OCP=90,P=30, COP=60,AOC=120, 又 ACOE,OA=OC,OD 为AOC 的平分线, COE= 1 2 AOC=60,又半径 OC=4, S扇形 OCE= 2 6048 = 3603 , 在 RtOCD 中,COD=60, OCD=30,OD= 1 2 OC=2, 根据勾股定理得:CD= 22 OC -OD =2 3, 第 12 页 共 12 页 SOCD= 1 2 DCOD= 1 2 232=23, 则 S阴影=S扇形 OCE-SOCD= 8 -2 3 3 【总结升华】 此题考查了切线的性质,含 30角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义, 以及扇形的面积公式,遇到已知切线的类型题时,常常连接圆心与切点,利用切线的性质得出垂直,利 用直角三角形的性质来解决问题