1、第 1 页 共 8 页 中考总复习：中考总复习：整式与因式分解整式与因式分解知识讲解（提高知识讲解（提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简 中进行考查. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 第 2 页 共 8 页 考点考点一、整式一、整式 1.1.单项式单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来 说只含有乘法的运算，不含有加减运算在含有除法运算时，除
2、数(分母)只能是一个具体的数，可以看 成分数因数单独一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数 （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2.2.多项式多项式 几个单项式的代数和叫做多项式也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的 要点诠释：要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项 （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 （3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式 （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降 幂排列另外，把
3、一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母升幂排列 3.3.整式整式 单项式和多项式统称整式 4.4.同类项同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项 5.5.整式的加减整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类 项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是 负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减
4、，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.6.整式的乘除整式的乘除 幂的运算性质： 单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相 加用式子表达： 多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 第 3 页 共 8 页 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里 的各项都不变符号；如
5、果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加 要点诠释：要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 mnpm np aaaa （,m np都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂
6、的指数。即 m nmn aaa （,m n都是正整数）. （4）公式() m nmn aa的推广：() ) m npmnp aa (0a，, ,m n p均为正整数) （5）逆用公式： nm mnmn aaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. （6）公式() nnn abab的推广：() nnnn abcabc (n为正整数). （7）逆用公式： n nn a bab逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 1010 10 11 221. 22 （8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多
7、项式的项数 之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘， 2 xaxbxab xab. 考点考点二、因式分解二、因式分解 1.1.因式分解因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2.2.因式分解因式分解常用常用的方法的方法 （1）提取公因式法：)(cbammcmbma （2）运用公式法： 平方差公式：)( 22 bababa；完全平方公式： 222 )(2bababa 第 4 页 共 8 页 （3）十字相乘法：)()( 2 bxaxabxbax （4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.
8、（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于 提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. （6）运用求根公式法：若)0(0 2 acbxax的两个根是 1 x、 2 x，则有： )( 21 2 xxxxacbxax . 3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释：要点诠释：
9、 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止 （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则 提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. （5）分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组 分解 法 四项 二项、二项 按字母分组按系数分组 符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【典型例
10、题】【典型例题】 类型一、整式的有关概念及运算类型一、整式的有关概念及运算 1若多项式 x 2+ax+8 和多项式 x 2-3x+b 相乘的积中不含x 2、x3 项，求（a-b） 3-（a3-b3）的值 【思路点拨】 多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为 0，建立关于 a、b 等式，求出 a、b 后再求代 数式值 【答案与解析】 第 5 页 共 8 页 解：（x 2+ax+8） （x2-3x+b）=x4+（a-3）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b， 又不含 x 2、x3 项， a-
11、3=0，b-3a+8=0， 解得 a=3，b=1， （a-b） 3-（a3-b3）=（3-1）3-（33-13）=8-26=-18 【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一 项就是这一项的系数等于 0 再通过解方程（组）求解 2设m 2m20，求 m 33m22012 的值 【思路点拨】可以把m 33m22012 及 m 2m20 变形 【答案与解析】 由m 2m20，得 m 22m，m2m2， 原式m 2m3m22012 （2m） m3m 22012 2mm 23m22012 2（m 2m）2012 222012 2016 【总结升华】要多探
12、索方法，寻求新颖简捷的方法 3已知 2 5 m x，求 6 1 5 5 m x的值 【答案与解析】 2 5 m x， 6233 111 5()55520 555 mm xx 【点评】 （1）逆用幂的乘方法则：()() mnmnnm aaa （2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知2 a x ，3 b x 求 32ab x 的值 【答案】 32323232 ()()238 972 ababab xxxxx 类型类型二二、因式分解因式分解 第 6 页 共 8 页 4多项式 22 2225xxyyy的最小值是_. 【答案】4； 【解析】 22 22 222
13、514xxyyyxyy，所以最小值为 4. 【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值. 5把3443axbyaybx分解因式 【答案与解析】 解法一：3443(34)(44)axbyaybxaxaybxby (34 )(34 )(34 )()axybxyxyab 解法二：3443(33)(44)axbyaybcaxbxayby 3 ()4 ()()(34 )x aby ababxy 【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组， 如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式a和b，并且另一个因式都是 (34xy)，因此
14、可继续分解把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各 组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可 以用分组法来分解因式 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】分解因式： 222 44ababc 【答案】原式 2 2222 (44)222aabbcabcabcabc. 【变式变式 2 2】(1)16x 2(x24)2； (2) . 4 4 1 2 x 【答案】 (1)原式(4x) 2(x24)2 4x(x 24)4x(x24) (x 24x4)(x24x4) (x2) 2(x2)2 (2)原式)16( 4 1 2 x ).4)(4( 4
15、1 xx 类型类型三三、因式分解与其他知识的综合运用因式分解与其他知识的综合运用 第 7 页 共 8 页 6若a、b、c为三角形的三边边长，试判断 222 222 ()4abca b的正负状况 【思路点拨】 将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符 号. 【答案与解析】 222 222222222 ()4(2)(2)abca babcab abcab 2222 ()()abcabc ()()()()abc abc abc abc 依三角形两边之和大于第三边，知0ab c ，0a bc ，0a b c ， 故 222 222 ()40abca b 【点
16、评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的 正负. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】若ABC 的三边长分别为a、b、c,且满足 222 166100abcabbc， 求证：2acb . 【答案】 222 16610abcabbc 2222 22 692510 35 aabbbbcc abbc 所以 22 350abbc 22 35abbc 所以3(5)abbc 所以28acbbca 或 因为ABC 的三边长分别为a、b、c，cab， 所以8bcab ，矛盾，舍去. 所以2acb . 【变式变式 2 2】已知32 1 x x，求 4 4 1 x x 的值 【答案】2) 1 ( 1 2 2 2 4 4 x x x x 第 8 页 共 8 页 22 22 1 ()22 (2 3)22 x x 10 22 98