1、第 1 页 共 10 页 中考中考冲刺冲刺：几何综合几何综合问问题题巩固练习巩固练习（基础基础） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1.如图（单位：cm）边长为 10cm 的等边ABC 以 1cm/s 的速度沿直线 L 向边长为 10cm 的正方形 CDEF 的 方向移动，直到点 B 与点 F 重合，ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积 S 关于平移时间 t 的函数图象可 能是（ ） A B C D 2.如图， 将直角三角形 ABC 沿着斜边 AC 的方向平移到DEF 的位置 （A、 D、 C、 F 四点在同一条直线上） 直 角边 DE 交 BC 于点 G如果 BG=4，EF=
2、12，BEG 的面积等于 4，那么梯形 ABGD 的面积是（ ） A.16 B.20 C.24 D.28 二、填空题二、填空题 3.（2012 北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置， 设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm， 测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，则树高 AB=_m 4.如图，线段 AB=8cm，点 C 是 AB 上任意一点（不与点 A、B 重合） ，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧 作等腰直角三角形 （AMC 和CNB）
3、 ， 则当 BC=_cm 时， 两个等腰直角三角形的面积和最小 三、解答题三、解答题 第 2 页 共 10 页 5.有一根直尺的短边长 2cm， 长边长 10cm， 还有一块锐角为 45的直角三角形纸板， 它的斜边长 12cm 如 图，将直尺的短边 DE 与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D 与点 A 重合； 将直尺沿 AB 方向平 移（如图） ，设平移的长度为 xcm（ 0x0 ） ，直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的 面积为 Scm 2 （1）当 x=0 时（如图） ，S=_； （2）当 0x4 时（如图） ，求 S 关于 x 的函数关系式； （3）当 4x6 时，求 S
4、 关于 x 的函数关系式； （4）直接写出 S 的最大值 6. 问题情境：如图，在ABD 与CAE 中，BD=AE，DBA=EAC，AB=AC，易证：ABDCAE （不 需要证明） 特例探究：如图，在等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且 BD=AE，AD 与 CE 交于点 F求证： ABDCAE 归纳证明：如图，在等边ABC 中，点 D、E 分别在边 CB、BA 的延长线上，且 BD=AEABD 与CAE 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由 拓展应用：如图，在等腰三角形中，AB=AC，点 O 是 AB 边的垂直平分线与 AC 的交点，点 D、E 分别在 OB
5、、BA 的延长线上若 BD=AE，BAC=50，AEC=32，求BAD 的度数 7.如图正三角形 ABC 的边长为 63cm,O 的半径为 rcm，当圆心 O 从点 A 出发，沿着线路 ABBCCA 运动，回到点 A 时，O 随着点 O 的运动而移动. 第 3 页 共 10 页 若 r=3cm,求O 首次与 BC 边相切时，AO 的长； 在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下 r 的取值范围及 相应的切点的个数； 设O 在整个移动过程中，在ABC 内部，O 未经过的部分面积为 S，在 S0 时，求关于 r 的函数 解析式，并写出自变量 r 的取值范围. 8.
6、如图：已知，四边形 ABCD 中，AD/BC， DCBC，已知 AB=5，BC=6，cosB= 3 5 点 O 为 BC 边上的一 个动点，连结 OD，以 O 为圆心，BO 为半径的O 分别交边 AB 于点 P，交线段 OD 于点 M，交射线 BC 于点 N，连结 MN （1）当 BO=AD 时，求 BP 的长； （2）点 O 运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？若存在，请求出当 BO 为多长时 BP=MN；若不存在， 请说明理由； （3）在点 O 运动的过程中，以点 C 为圆心，CN 为半径作C，请直接写出当C 存在时，O 与C 的 位置关系，以及相应的C 半径 CN 的取值范围。
7、9.如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点 P 是线段 AB 上一 个动点.设 BP 为 x cm，PCD 的面积为 y cm 2 (1)求 AD 的长； (2)求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ (3)在线段 AB 上是否存在点 P，使得PCD 是直角三角形？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理 A(O) O B C A B C D O P M N A B C D （备用图） 第 4 页 共 10 页 由. 10.如图，平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，A
8、=60，点 P 从点 A 出发沿边线 ABBC 以每秒 1 个单 位长的速度向点 C 运动，当 P 与 C 重合时停下运动，过点 P 作 AB 的垂线 PQ 交 AD 或 DC 于 Q.设 P 运动时 间为 t 秒，直线 PQ 扫过平行四边形 ABCD 的面积为 S.求 S 关于 t 的函数解析式. 【答案与解析答案与解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】B. 2.【答案】B. 二、填空题二、填空题 3.【答案】5.5m. 4.【答案】4. 三、解答题三、解答题 5.【答案与解析】 （1）由题意可知： 当 x=0 时， ABC 是等腰直角三角形， AE=EF=2， 则阴影部分的面积为：S=
9、 1 2 22=2； 故答案为：2； （2）在 RtADG 中，A=45， DG=AD=x，同理 EF=AE=x+2， 第 5 页 共 10 页 S梯形 DEFG= 1 2 （x+x+2）2=2x+2 S=2x+2； （3）当 4x6 时（图 1） ， GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x， 则 SADG= 1 2 ADDG= 1 2 x 2， SBEF= 1 2 （10-x） 2， 而 SABC= 1 2 126=36， SBEF= 1 2 （10-x） 2， S=36- 1 2 x 2-1 2 （10-x） 2=-x2+10x-14， S=-x 2+10x-14=-（x-
10、5）2+11， 当 x=5， （4x6）时，S最大值=11 （4）S最大值=11 6.【答案与解析】 特例探究： 证明：ABC 是等边三角形， AB=AC，DBA=EAC=60， 在ABD 与CAE 中， ABCA DBAEAC BDAE ， ABDCAE（SAS） ； 归纳证明：ABD 与CAE 全等理由如下： 在等边ABC 中，AB=AC，ABC=BAC=60， DBA=EAC=120 在ABD 与CAE 中， ABCA DBAEAC BDAE ， ABDCAE（SAS） ； 第 6 页 共 10 页 拓展应用：点 O 在 AB 的垂直平分线上， OA=OB， OBA=BAC=50， EA
11、C=DBC 在ABD 与CAE 中， ABCA DBAEAC BDAE ， ABDCAE（SAS） ， BDA=AEC=32， BAD=OBA-BDA=18 7.【答案与解析】 (1).设O 首次与 BC 相切于点 D，则有 ODBC 且 OD=r=3 在直角三角形 BDO 中， OBD=60， OB= 0 3 sin60 =2 AO=AB-OB=6-2=4（厘米） ； （2）由正三角形的边长为 6 厘米可得出它的一边上的高为 33厘米 当O 的半径 r=33厘米时，O 在移动中与ABC 的边共相切三次，即切点个数为 3； 当 0r33时，O 在移动中与ABC 的边相切六次，即切点个数为 6；
12、 当 r33时，O 与ABC 不能相切，即切点个数为 0 （3）如图，易知在 S0 时，O 在移动中，在ABC 内部为经过的部分为正三角形 记作ABC，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于 r 连接 AA，并延长 AA，分别交 BC，BC 于 E，F 两点 则 AFBC，AEBC，且 EF=r 又过点 A作 AGAB 于 G，则 AG=r GAA=30， AA=2x 第 7 页 共 10 页 ABC的高 AE=AF-3r=9-3r， BC= 2 3 3 AE=23（3-r） ABC的面积 S= 1 2 BCAE=33 （3-r） 2 所求的解析式为 S=33（3-r
13、） 2（0r3） 8.【答案与解析】 （1）过点 A 作 AEBC,在 RtABE 中，由 AB=5，cosB= 3 5 得 BE=3 CDBC，AD/BC，BC=6， AD=EC=BCBE=3 当 BO=AD=3 时， 在O 中，过点 O 作 OHAB,则 BH=HP cos BH B BO ,BH= 39 3 55 BP=18 5 （2）不存在 BP=MN 的情况. 假设 BP=MN 成立， BP 和 MN 为O 的弦，则必有BOP=DOC. 过 P 作 PQBC，过点 O 作 OHAB, CDBC，则有PQODOC 设 BO=x，则 PO=x,由 3 cos 5 BH B x ，得 BH
14、= 3 5 x, BP=2BH= 6 5 x. BQ=BPcosB= 18 25 x，PQ= 24 25 x OQ= 187 2525 xxx PQODOC， PQDC OQOC 即 24 4 25 7 6 25 x x x ，得 29 6 x 当 29 6 x 时，BP= 6 5 x= 29 5 5=AB，与点 P 应在边 AB 上不符， 不存在 BP=MN 的情况. （3）情况一：O 与C 相外切，此时，0CN6； A B C D O P M N Q H 第 8 页 共 10 页 情况二：O 与C 相内切，此时，0CN 7 3 . 9.【答案与解析】 (1)如图 1，作 DEBC 于点 E
15、 据题意知，四边形 ABED 是矩形，AB=DE，AD=BE. 在 RtDEC 中，DEC=90，DE=12，CD=13， EC=5 AD=BE=BC-EC=4 (2)若 BP 为 x，则 AP=12-x. SBPC=BPBC=x. SAPD=APAD=24-2x. SPCD=S梯形 ABCD-SBPC-SAPD=78-x-24+2x=-x+54. 即 y=-x+54，0x12. 当 x=0 时，y 取得最大值为 54 cm 2. (3)若PCD 是直角三角形，BCP90，PCD90 分两种情况讨论，如图 2. 当DPC=90时 APD+BPC=90，BPC+PCB=90， APD=PCB.
16、APDBCP. .即.解得 x=6. APD=BPC=45的情况不存在，不考虑. 当P1DC=90时， 在 RtP1BC 中，P1C 2=BP 1 2+BC2=x2+92， 在 RtP1AD 中，P1D 2=P 1A 2+AD2=(12-x)2+42， 第 9 页 共 10 页 P1DC=90，CD 2+P 1D 2=P 1C 2. 即 13 2+(12-x)2+42=x2+92.解得 . 综上，当 x=6 或，PCD 是直角三角形. 10.【答案与解析】 当 Q 点与 D 点重合时，AQ=AD=6，此时 AP=AQ=3=t 当 P 与 B 点重合时，t=10， 当 P 点运动到 C 时，t=16， 分三类情况讨论 (1)当 0t3 时，如图： AP=t，PQ=t， S=APPQ=t 2 (2)当 3t10 时，示意图： 过 D 作 DHAB 于 H，AD=t， 则 DH=ADsinA=6=3，AH=ADcosA=3 DQ=PH=AP-AH=t-3 S=(AP+DQ)DH =(t+t-3)3=3t- (3)当 10t16 时，如图： 第 10 页 共 10 页 AB+BP=t CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t CQ=CP=8- QP=CQ=8-t S=SABCD-SCPQ =ABh-CQPQ =103-(8-)(8-) =30-(64-8t+) = 综上，.