1、第 1 页 共 7 页 中考中考冲刺冲刺：方案设计与决策型问题方案设计与决策型问题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望中考展望】 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量 方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型 主要包括： 1根据实际问题拼接或分割图形； 2利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等 方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题， 这类问题既考查动手操作的实
2、践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视 【方法点拨】【方法点拨】 解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到 适合题意的最佳方案 解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所 建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、利用方程（组）进行方案设计利用方程（组）进行方案设计 1学校 6 名教师和 234 名学生集体外出活动，准备租用 45 座大车或 30 座小车若租用 1 辆大车 2 辆小车共需租车费 1000 元；若租用 2 辆大车 1 辆小车共需租车费 1100
3、元 (1)求大、小车每辆的租车费各是多少元； (2)若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过 2300 元，求最省钱的租车方案 【思路点拨】 (1)设大小车辆租车费用分别是x，y元，由题意，列出方程组，求解即可； (2)首先由题分析得出租车总数为 6 辆，再列方程组解出取值范围，分析即可得解 【答案与解析】 (1)设大、小车每辆的租车费分别是x、y元 则 21000 21100 xy yx 解得 400 300 x y 即大、小车每辆的租车费分别是 400 元、300 元 (2)240 名师生都有座位，租车总辆数6，每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数6，故租车总 数为 6 辆 设大车辆
4、数是x辆，则租小车(6x)辆， 则可列方程组 4530(6)240 400300(6)2300 xx xx 解得 4x5. x是正整数，x4 或 5. 于是有两种租车方案，方案一：大车 4 辆，小车 2 辆，总租车费用为 2200 元；方案二：大车 5 辆， 小车 1 辆，总租车费用为 2300 元故最省钱的租车方案是租大车 4 辆，小车 2 辆 【总结升华】考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用. 第 2 页 共 7 页 举一反三：举一反三： 【变式变式】某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 65. (1)求出该班男生与女生的人数； (2)学校要从该班选出 20 人参加学校的
5、合唱团，要求：男生人数不少于 7 人；女生人数超过男 生人数 2 人以上请问男、女生人数有几种选择方案？ 【答案】 解：(1)设男生有 6x人，则女生有 5x人 依题意得：6x5x55， x5， 6x30,5x25. 答：该班男生有 30 人，女生有 25 人 (2)设选出男生y人，则选出的女生为(20y)人 由题意得： 202 7 yy y ， 解得：7y12x30 时，解得x50. 综上所述，当购买奖品等于 10 件但少于 50 件时，买文具盒省钱； 当购买奖品等于 50 件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过 50 件时，买钢笔省钱 类型类型四四、利用函数利用函数知识知识进行方
6、案设计进行方案设计 4深圳某科技公司在甲、乙两地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备，全部运往大运 赛场A、B两馆，其中运往A馆 18 台、运往B馆 14 台运往A、B两馆的运费如下表： 出发地 目的地 甲地 乙地 A馆 800 元/台 700 元/台 B馆 500 元/台 600 元/台 (1)设甲地运往A馆的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式； 出发地 目的地 甲地 乙地 A馆 x(台) _(台) B馆 _(台) _(台) (2)要使总运费不高于 20200 元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； (3)当x为多少时，总运费最小，
7、最小值是多少？ 【思路点拨】 （1）根据甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场 A、B 两馆， 其中运往 A 馆 18 台、运往 B 馆 14 台，得出它们之间的等量关系； （2）根据要使总运费不高于 20200 元，得出 200x+1930020200，即可得出答案； （3）根据一次函数的增减性得出一次函数的最值 【答案与解析】 解：(1) 出发地目的地 甲地 乙地 A馆 x台 (18x)台 B馆 (17x)台 (x3)台 依题意，得y800x700(18x)500(17x)600(x3)， 第 6 页 共 7 页 即y200x19300(3x17)
8、(2)要使总运费不高于 20200 元， 200x1930020200，解得x9 2. 3x17，且设备台数x只能取正整数， x只能取 3 或 4. 该公司的调配方案共有 2 种，具体方案如下： 出发地目的地 甲地 乙地 A馆 3 台 15 台 B馆 14 台 0 台 出发地目的地 甲地 乙地 A馆 4 台 14 台 B馆 13 台 1 台 (3)由(1)和(2)可知，总运费y200x19300(x3 或x4) 由一次函数的性质可知， 当x3 时，总运费最小，最小值为 ymin20031930019900(元) 【总结升华】 此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根
9、据题意用 x 表示出运 往各地的台数是解决问题的关键 类型类型五五、利用几何知识进行方案设计、利用几何知识进行方案设计 5某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形 ABCD 是矩形，分别以 AB、BC、CD、 DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为 628 米，矩形的边长 AB=y 米,BC=x 米.(注：取 =3.14) (1)试用含 x 的代数式表示 y； (2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域 上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为 400 元； 设该工程的总造价为 W 元，求 W 关于 x 的函数关
10、系式； 若该工程政府投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说 明理由. 若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增加企业募捐资金 64.82 万元，但要求矩形的边 BC 的长 不超过 AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请 列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由. 【思路点拨】 （1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可； （2）利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即 可解答； 第 7 页 共 7 页 利用配方法求得最小值进行验证即可得出
11、结论； 建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题 【答案与解析】 解： （1）由题意得， y+x=628， 3.14y+3.14x=628， y+x=200 则 y=200x； （2）W=428xy+400 2 ( ) 2 y +400 2 ( ) 2 x ， =428x（200x）+4003.14 2 (200) 4 x +4003.14 2 4 x ， =200x 240000x+12560000； 仅靠政府投入的 1 千万不能完成该工程的建设任务理由如下， 由知 W=200（x100） 2+1.056107107， 所以不能； 由题意可知：x 2 3 y 即 x 2 3 （200x）解之得 x80， 0x80， 又题意得：W=200（x100） 2+1.056107=107+6.482105， 整理得（x100） 2=441， 解得 x1=79，x2=121（不合题意舍去） ， 只能取 x=79，则 y=20079=121； 所以设计方案是：AB 长为 121 米，BC 长为 79 米，再分别以各边为直径向外作半圆 【总结升华】 此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式 与一元二次方程解决实际问题