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北京四中数学中考总复习:二次函数--知识讲解(基础)

1、第 1 页 共 12 页 中考总复习:中考总复习:二次函数二次函数知识讲解(基础)知识讲解(基础) 【考纲要求】【考纲要求】 1二次函数的概念常为中档题主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等; 2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点; 3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题 一般较难,在解答题中出现 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、二次函数的定义二次函数的定义 一般地,如果 2 yaxbxc(a、b、c 是常数,a0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数 要点诠释:要点诠释:

2、 二次函数 2 yaxbxc(a0)的结构特征是:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次 式,x 的最高次数是 2(2)二次项系数 a0 考考点二、二次函数的点二、二次函数的图象图象及性质及性质 1.二次函数 2 yaxbxc(a0)的图象是一条抛物线,顶点为 2 4 , 24 bacb aa 2.当 a0 时,抛物线的开口向上;当 a0 时,抛物线的开口向下 3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大 c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置c0 时,抛物线过原点;c0 时,抛物线与 y 轴交于正半 轴;c0 时,抛物线与 y

3、轴交于负半轴 ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置当 ab0 时,对称轴为 y 轴;当 ab0 时,对称轴在 y 轴 第 2 页 共 12 页 左侧;当 ab0 时,对称轴在 y 轴的右侧 4.抛物线 2 ()ya xhk的图象,可以由 2 yax的图象移动而得到 将 2 yax向上移动 k 个单位得: 2 yaxk 将 2 yax向左移动 h 个单位得: 2 ()ya xh 将 2 yax先向上移动 k(k0)个单位, 再向右移动 h(h0)个单位, 即得函数 2 ()ya xhk的 图象 要点诠释:要点诠释: 求抛物线 2 yaxbxc(a0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式

4、法、代入法, 这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用 考考点三、点三、二次函数的解析式二次函数的解析式 1.1.一般式一般式: 2+ yaxbxc(a0) 若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为 2 yaxbxc,将已知条件代入,求出 a、 b、c 的值 2.2.交点式交点式(双根式)(双根式) : 12 ()()(0)ya xxxxa 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为 12 ()()ya xxxx,将第三点(m,n)的坐标(其中 m、n 为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系 数,最后将解析式化为一般形式 3.

5、3.顶点式顶点式: 2 ()(0)ya xhk a 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为 2 ()ya xhk,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式 4.4.对称点对称点式式: 12 ()()(0)ya xxxxm a 若已知二次函数图象上两对称点(x1,m),(x2,m),则可设所求二次函数为 12 ()()(0)ya xxxxm a,将已知条件代入,求得待定系数,最后将解析式化为一般形式 要点诠释:要点诠释: 已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数)

6、.已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式: (a0).(由此得根与系数的关系:). 第 3 页 共 12 页 考考点四、二次函数点四、二次函数 2 yaxbxc(a(a0) 0) 的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a a、b b、c c 的关系的关系 1.开口方向:a0 时,开口向上,否则开口向下 2.对称轴:0 2 b a 时,对称轴在 y 轴的右侧;当0 2 b a 时,对称轴在 y 轴的左侧 3.与 x 轴交点: 2 40bac时,有两个交点; 2 40bac时,有一个交点; 2 40bac时,没有交 点 要点诠释:要点诠释: 当 x1 时,函数 ya+b+c; 当 x-1 时,函

7、数 ya-b+c; 当 a+b+c0 时,x1 与函数图象的交点在 x 轴上方,否则在下方; 当 a-b+c0 时,x-1 与函数图象的交点在 x 轴的上方,否则在下方 考考点五、点五、二次函数的最值二次函数的最值 1.当 a0 时,抛物线 2 yaxbxc有最低点,函数有最小值,当 2 b x a 时, 2 4 4 acb y a 最小 2.当 a0 时,抛物线 2 yaxbxc有最高点,函数有最大值,当 2 b x a 时, 2 4 4 acb y a 最大 要点诠释:要点诠释: 在求应用问题的最值时,除求二次函数 2 yaxbxc的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值 范围 【典型例题】

8、【典型例题】 类型一、类型一、应用二次函数的定义求值应用二次函数的定义求值 1二次函数 y=x 2-2(k+1)x+k+3 有最小值-4,且图象的对称轴在 y 轴的右侧,则 k 的值 是 【思路点拨】 因为图象的对称轴在 y 轴的右侧, 所以对称轴 x=k+10, 即 k-1; 又因为二次函数 y=x 2-2 (k+1) x+k+3 有最小值-4,所以 y最小值= 4 4 2 (k+3)-( 2k+2) =-4,可以求出 k 的值 【答案与解析】 解:图象的对称轴在 y 轴的右侧, 对称轴 x=k+10, 解得 k-1, 二次函数 y=x 2-2(k+1)x+k+3 有最小值-4, 第 4 页

9、 共 12 页 y最小值= 4 4 2 (k+3)-( 2k+2) =k+3-(k+1) 2=-k2-k+2=-4, 整理得 k 2+k-6=0, 解得 k=2 或 k=-3, k=-3-1,不合题意舍去, k=2 【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法, 第三种是公式法 举一反三:举一反三: 【变式变式】已知 2 4 (3) kk ykx 是二次函数,求 k 的值 【答案】 2 4 (3) kk ykx 是二次函数,则 2 42, 30 kk k , 由 2 42kk得 2 60kk, 即(3)(2)0kk,得 1 3k , 2 2k 显然,当

10、 k-3 时, 原函数为 y0,不是二次函数 k2 即为所求 类型二、类型二、二次函数的图象及性质的应用二次函数的图象及性质的应用 2把抛物线 2 yx 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的解析式 为( ) A 2 (1)3yx B 2 (1)3yx C 2 (1)3yx D 2 (1)3yx 【思路点拨】 抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线 y=-x 2顶点坐标为(0,0) ,向左平移 1 个单位,然 后向上平移 3 个单位后,顶点坐标为(-1,3) ,根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式 【答案】 D; 【解析】根据抛物线的平移规律可知: 2

11、yx 向左平移 1 个单位可变成 2 (1)yx , 再向上平移 3 个单位后可变成 2 (1)3yx 【总结升华】(1) 2 yax图象向左或向右平移|h|个单位,可得 2 ()ya xh的图象(h0 时向左,h0 第 5 页 共 12 页 时向右) (2) 2 yax的图象向上或向下平移|k|个单位,可得 2 yaxk的图象(k0 时向上,k0 时向下) 举一反三:举一反三: 【变式变式】将二次函数 2 yx的图象向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后,所得图象的函 数表达式是( ) A 2 (1)2yx B 2 (1)2yx C 2 (1)2yx D 2 (1)2yx 【

12、答案】按照平移规律“上加下减,左加右减”得 2 (1)2yx故选 A. 类型三、求二次函数的解析式类型三、求二次函数的解析式 3已知二次函数 2 yaxbxc的图象经过点(1,0),(-5,0),顶点纵坐标为 9 2 ,求这个二次 函数的解析式 【思路点拨】 将点(1,0),(-5,0)代入二次函数 y=ax 2+bx+c,再由 4 9 42 ac a 2 -b ,从而求得 a,b,c 的值, 即得这个二次函数的解析式 【答案与解析】 解法一:由题意得 0, 2550, 9 42, 2 abc abc abc 解得 1 , 2 2, 5 . 2 a b c 所以二次函数的解析式为 2 15 2

13、 22 yxx 解法二:由题意得 (1)(5)ya xx 把2x 9 2 y 代入,得 9 ( 2 1) ( 25) 2 a ,解得 1 2 a 所以二次函数的解析式为 1 (1)(5) 2 yxx , 即 2 15 2 22 yxx 解法三:因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为(1,0),(-5,0),由其对称性知, 第 6 页 共 12 页 对称轴是直线2x所以,抛物线的顶点是 9 2, 2 可设函数解析式为 2 9 (2) 2 ya x即 2 15 2 22 yxx 【总结升华】根据题目的条件,有多种方法求二次函数的解析式 举一反三:举一反三: 【变式变式】已知:抛物线 2 (1)yx

14、bxc经过点( 12 )Pb, (1)求bc的值; (2)若3b,求这条抛物线的顶点坐标; (3)若3b,过点P作直线PAy轴,交y轴于点A,交抛物线于另一点B,且2BPPA,求这 条抛物线所对应的二次函数关系式 (提示:请画示意图思考) 【答案】 解: (1)依题意得: 2 ( 1)(1)( 1)2bcb , 2bc (2)当3b时,5c, 22 25(1)6yxxx 抛物线的顶点坐标是( 16), (3)解法 1:当3b时,抛物线对称轴 1 1 2 b x , 对称轴在点P的左侧 因为抛物线是轴对称图形,( 12 )Pb,且2BPPA ( 32 )Bb, 1 2 2 b y x O B P

15、 A 第 7 页 共 12 页 5b 又2bc ,7c 抛物线所对应的二次函数关系式 2 47yxx 解法 2:当3b时, 1 1 2 b x , 对称轴在点P的左侧因为抛物线是轴对称图形, ( 12 )Pb,且2( 32 )BPPABb, 2 ( 3)3(2)2bcb 又2bc ,解得:57bc, 这条抛物线对应的二次函数关系式是 2 47yxx 解法 3:2bc ,2cb , 2 (1)2yxbxb BPx轴, 2 (1)22xbxbb 即: 2 (1)20xbxb 解得: 12 1(2)xxb ,即(2) B xb 由2BPPA,1 (2)2 1b 57bc , 这条抛物线对应的二次函数

16、关系式 2 47yxx. 类型四、二次函数图象的位置与类型四、二次函数图象的位置与 a a、b b、c c 的关系的关系 4如图所示是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过 A 点(3,0),对称轴为 x=1,给出四 个结论:b 2-4ac0;2a+b=0;a+b+c=0;当 x=-1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0把正确结论 的序号填在横线上 【思路点拨】 第 8 页 共 12 页 根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0,且抛物线与 x 轴交于两个点,得出根的判别式大于 0, 即选项正确;对称轴为 x=1,利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式,整理

17、后得到 2a+b=0,选项 正确;由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0,将 x=1 代入抛物线解析式得出 a+b+c 大于 0,故选项 错误;由抛物线与 x 轴的一个交点为 A(3,0),根据对称轴为 x=1,利用对称性得出另一个交点的横 坐标为-1,从而得到 x=-1 或 x=3 时,函数值 y=0,选项正确,即可得出正确的选项序号 【答案与解析】 解:由图象可知:抛物线开口向下,对称轴在 y 轴右侧,对称轴为 x=1, 与 y 轴交点在正半轴,与 x 轴有两个交点, a0,b0,c0,b 2-4ac0,选项正确; 当 x=1 时,y=a+b+c0,选项错误; 图象过 A 点(3,0)

18、,对称轴为 x=1, 另一个交点的横坐标为-1,即坐标为(-1,0), 又1 2 b a ,2a+b=0,选项正确; 当 x=-1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0,选项正确, 则正确的序号有 故答案为:. 【总结升华】 此题考查了抛物线图象与系数的关系,其中 a 由抛物线的开口方向决定,a 与 b 同号对称轴在 y 轴 左边;a 与 b 异号对称轴在 y 轴右边,c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有关;抛物线 与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负,此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来 进行判断 举一反三:举一反三: 【变式变式】 如图所示是二次函数

19、 2 yaxbxc图象的一部分, 图象经过点 A(-3, 0), 对称轴为1x 给 出四个结论: 2 4bac;20ab;0a bc ;5ab其中正确结论是( ) A B C D 【答案】 本例是利用二次函数图象的位置与 a、 b、 c 的和、 差、 积的符号问题, 其中利用直线1x ,1x 第 9 页 共 12 页 交抛物线的位置来判断abc ,a bc 的符号问题应注意理解和掌握 由图象开口向下,可知 a0,图象与 x 轴有两个交点,所以 2 40bac, 2 4bac, 确对称轴为1 2 b x a ,所以2ba,又由 a0,b2a,可得 5ab,正确 故选 B. 类型类型五五、求二次函

20、数的最值求二次函数的最值 5某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的售 价每上涨 1 元, 则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元) 设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数), 每个月的销售利润为)y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上的结论,请你直接写出售 价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元? 【思路点拨】 (1)每件商品

21、的售价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件,当每件商品的售价上涨 x 元时,每个月可卖出 (210-10x)件,每件商品的利润为 x+50-40=10+x; (2) 每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积, 即 (210-10x) (10+x) , 当每个月的利润恰为 2200 元时得到方程(210-10x) (10+x)=2200求此方程中 x 的值 【答案与解析】 (1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x 2+110x+2100(0x15 且 x 为整数) (2)y-10(x-5.5) 2+2402.5 a-100, 当 x5.5 时,y 有最大值 2402.5 00)

22、,同时将直线l:3yx沿y轴正方向平移 t个单位.平移后的直线为 l,移动后A、B的对应点分别为A、B.当t为何值时,在直线 l 上存在点P,使得A B P为以BA为直角边的等腰直角三角形? 【答案】 (1)证明:令0y ,则 2 (2)20xaxa. = 22 )2(8)2(aaa 0a, 02a 0. 方程 2 (2)20xaxa有两个不相等的实数根. 抛物线与x轴有两个交点. (2)令0y ,则 2 (2)20xaxa, 解方程,得 12 2,xxa . 第 12 页 共 12 页 A在B左侧,且0a, 抛物线与x轴的两个交点为A(,0)a,B(2,0). 抛物线与y轴的交点为C, (0

23、, 2 )Ca. ,2AOa COa. 在 RtAOC中, 222 (2 5)AOCO, 22 (2 )20aa 可得 2a 0a, 2a 抛物线的解析式为 2 4yx. 依题意,可得直线 l的解析式为3yxt, A(2,0)t ,B(2,0)t ,4A BAB. A B P为以BA为直角边的等腰直角三角形, 当90PA B时,点P的坐标为(2,4)t 或(2, 4)t . 3(2)4tt. 解得 5 2 t 或 1 2 t . 当90PB A时,点P的坐标为(2,4)t 或(2, 4)t . 3(2)4tt. 解得 5 2 t 或 1 2 t (不合题意,舍去). 综上所述, 5 2 t 或 1 2 t .