1、第 1 页 共 11 页 中考总复习：中考总复习：勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理（提高（提高） 【考纲要求】考纲要求】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题以体现代数与几何之间的内在联系 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 知识点一、知识点一、勾股定理勾股定理 1.1.勾股定理：勾股定理： 直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方（即： 222 abc）. 【要点诠释】【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达
2、哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三， 股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平 方和等于斜边的平方. 2.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是: 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变; 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3 3. .勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之
3、一， 其主要应用是： 已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC中，90C，则 22 cab， 22 bca， 22 acb; 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系; 可运用勾股定理解决一些实际问题. 知识点二、勾股定理的逆定理知识点二、勾股定理的逆定理 1.1.原命题与逆命题原命题与逆命题 第 2 页 共 11 页 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果 把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长abc、 、，满足 222 abc，那么这个三角形
4、是直角三角形. 【要点诠释】【要点诠释】勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 22 ab与较长边的平方 2 c 作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若 222 abc，时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 222 abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及 222 abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b， c满足 222 acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边； 勾股
5、定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三 角形是直角三角形. 3.3.勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222 abc中，a，b，c为正整数时，称 a，b，c为一组勾股数; 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等; 用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2 ,1nn n（2,nn为正整数） ； 22 21,22 ,221nnnnn（n为正整数） 2222 ,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数） 知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系知识点三、勾
6、股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 1.1.区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角 形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角 形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造 直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解； 而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角 形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平 方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 2.2.联
7、系联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 在解决 一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直 角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、勾股定理及其逆定理的勾股定理及其逆定理的应用应用 1我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如 图 1） 图 2 由弦图变化得到， 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形 ABCD， 正方形 EFGH， 第 3 页 共 11 页 正方形 MNKT 的面
8、积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2的值是_ 【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出 答案 【答案与解析】图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3， CG=NG，CF=DG=NF， S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CGDG，=GF 2+2CGDG， S2=GF 2， S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NGNF， S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF，=3GF 2， S2=10 3 【总结升
9、华】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出 S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+ NF 2-2NGNF=3GF 2是解决问题的关键 【变式变式】若ABC 三边 a、b、c 满足 a b c 338=10a+24b+26c，ABC 是直角三角形吗？ 为什么？ 【答案】a b c 338=10a+24b+26c a b c 33810a24b26c =0 （a 10a+25）（b 24b+144）（c 26c+169）=0 即 a=5，b=12，c=13 又a b =c =169， ABC 是直角三角形. 2 （2014 秋黄梅县校级期中）如图，AB=AC，AE=
10、AF，BAC=EAF=90，BE、CF 交于 M，连 AM （1）求证：BE=CF； （2）求证：BECF； 第 4 页 共 11 页 （3）求AMC 的度数 【思路点拨】 （1）求出BAE=CAF，根据 SAS 推出CAFBAE 即可； （2）根据全等得出ABE=ACF，求出ABO+BOA=COM+ACF=90，求出CMO=90即可； （3）作 AGBE 于 G，AHCF 于 H，证全等得出 AG=AH，得出正方形，求出AMG，即可求出答案 【答案与解析】 证明： （1）BAC=EAF=90， BAC+CAE=FAE+CAE， BAE=CAF， 在CAF 和BAE 中 CAFBAE， BE=
11、CF （2）证明：CAFBAE， ABE=ACF， BAC=90， ABO+BOA=90， BOA=COM， COM+ACF=90， CMO=18090=90， BECF （3）解：过点 A 分别作 AGBE 于 G，AHCF 于 H， 则AGB=AHC=90， 在AGB 和AHC 中 AGBAHC， AG=AH， AGBE，AHFC，BECF， AGM=GMH=AHM=90， 四边形 AHMG 是正方形， GMH=90，AMG= HMG=45， AMC=90+45=135 第 5 页 共 11 页 【总结升华】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理 能
12、力 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，ABC 中，有一点 P 在 AC 上移动若 AB=AC=5，BC=6，则 AP+BP+CP 的最小值为（ ） A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10 【答案】C. 类型二、类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用 3. （2015 春沛县期中） （1）如图，正方形 ABCD中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，EFA=45， 延长 CD 到点 C，使 DG=BE，连结 EF、AG，求证：EF=FG； （2）如图，在ABC 中，BAC=90，点 M、N 在边 BC 上，且MAN=45，若 BM=
13、2，AB=AC，CN=3， 求 MN 的长 【思路点拨】 （1）欲证明 EF=FG，只需证得FAEGAF，利用该全等三角形的对应边相等证得结论； （2）过点 C 作 CEBC，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM连接 AE、EN通过证明ABMACE（SAS） 推知全等三角形的对应边 AM=AE、对应角BAM=CAE；然后由等腰直角三角形的性质和MAN=45得到 MAN=EAN=45，所以MANEAN（SAS） ，故全等三角形的对应边 MN=EN；最后由勾股定理得到 EN 2=EC2+NC2即 MN2=BM2+NC2 【答案与解析】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ABE=ADG，AD=
14、AB，在ABE 和ADG 中， 第 6 页 共 11 页 ， ABEADG（SAS） ， BAE=DAG，AE=AG， EAG=90， 在FAE 和GAF 中， ， FAEGAF（SAS） ， EF=FG； （2）解：如图，过点 C 作 CEBC，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM连接 AE、EN AB=AC，BAC=90，B=ACB=45 CEBC，ACE=B=45 在ABM 和ACE 中， ， ABMACE（SAS） AM=AE，BAM=CAE BAC=90，MAN=45，BAM+CAN=45 于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45 在MAN 和EAN 中， ， MANEAN
15、（SAS） MN=EN 在 RtENC 中，由勾股定理，得 EN 2=EC2+NC2 MN 2=BM2+NC2 BM=1，CN=3， MN 2=12+32， MN= 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的 综合性较强，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形 第 7 页 共 11 页 4.（2011 黑龙江大庆）如图，ABCD 是一张边 AB 长为 2，边 AD 长为 1 的矩形纸片，沿过点 B 的折 痕将 A 角翻折，使得点 A 落在边 CD 上的点 A处，折痕交边 AD 于点 E （1）求DAE 的大小； （2）求ABE 的面积 【思路
16、点拨】 （1）先根据图形翻折变换的性质得出 RtABERtABE，再根据直角三角形的性质可得出DAE 的度数； （2） 设AE=x， 则ED=1x， AE=x， 在RtADE中， 利用sinDAE=可求出x的值， 在根据RtABE 中，AB=AB，利用三角形的面积公式即可求解 【答案与解析】 （1）ABE 是ABE 翻折而成， RtABERtABE， 在 RtABC 中，AB=2，BC=1 得，BAC=30， 又BAE=90， DAE=60； （2）解法 1：设 AE=x，则 ED=1-x，AE=x，在 RtADE 中，sinDAE=， 即=，得 x=4-23， 在 RtABE 中，AE=42
17、3，AB=AB=2， SABE= 2（423）=4-23； 解法 2：在 RtABC 中，AB=2，BC=1，得 AC=3， AD=2-3， 设 AE=x，则 ED=1-x，AE=x， 第 8 页 共 11 页 在 RtADE 中，AD 2+DE2=AE2， 即（2-3） 2+（1x）2=x2，得 x=4-2 3， 在 RtABE 中，AE=4-23，AB=AB=2， SABE= 2（4-23）=4-23 【总结升华】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换， 它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 举一反
18、三：举一反三： 【变式变式】如图，在ABC 中，已知C=90，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c是在ABC 内部的矩形， 它们的一个顶点在 AB 上，一组对边分别在 AC 上或与 AC 平行，另一组对边分别在 BC 上或与 BC 平行若 各矩形在 AC 上的边长相等，矩形 a 的一边长是 72cm，则这样的矩形 a、b、c的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D. 5 .如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设 拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 P
19、N 方向行驶时，学校是 否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为 多少秒？ 【思路点拨】 （1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m， 小 于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度.（2）要求出学校受影响的时 间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响过程中所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响 学校，行至哪一点后结束影响学校. 【答案与解析】作 ABMN，垂足为 B 在 RtABP 中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80
20、（直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m， 第 9 页 共 11 页 这所中学会受到噪声的影响. 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处时学校开始受到影响，那么 AC100(m)， 由勾股定理得： BC 210028023600， BC60m 同理，假设拖拉机行驶到点 D 处时学校开始不受影响，那么 AD100(m)，BD60(m)， CD120(m). 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s 答： 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时， 学校会受到噪声影响， 学校受影响的时间为
21、24 秒 . 【总结升华】勾股定理是求线段长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法， 构造直角三角形，以便利用勾股定理. 6如图（1） ， （2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2动点 M、N 分别 从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上） ，当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得FMN， 过FMN 三边的中点作PWQ设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒试
22、解 答下列问题： （1）说明FMNQWP； （2）设 0x4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段） 试问 x 为何值时，PWQ 为直角三角形？当 x 在何 范围时，PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值 【思路点拨】解决图形运动的问题，由于运动过程中图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想. 【答案与解析】 （1）由题意可知 P、W、Q 分别是FMN 三边的中点， PW 是FMN 的中位线，即 PWMN FMNQWP （2）由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x， 由勾股定理分别得 2 FM= 2 4x， 第 10 页 共 1
23、1 页 2 MN= 2 )4(x+ 2 )6(x 2 FN= 2 )4(x+16 当 2 MN= 2 FM+ 2 FN时， 2 )4(x+ 2 )6(x= 2 4x+ 2 )4(x+16 解得 3 4 x; 当 2 FN= 2 FM+ 2 MN时， 2 )4(x+16= 2 4x+ 2 )4(x+ 2 )6(x 此方程无实数根; 2 FM= 2 MN+ 2 FN时， 2 4x= 2 )4(x+ 2 )6(x+ 2 )4(x+16 解得 10 1 x（不合题意，舍去） ，4 2 x; 综上，当 3 4 x或4x时，PQW 为直角三角形； 当 0x 3 4 或 3 4 x4 时，PQW 不为直角三
24、角形. （3）当 0x4，即 M 从 D 到 A 运动时，只有当 x=4 时，MN 的值最小，等于 2； 当 4x6 时， 2 MN= 2 AM+ 2 AN= 2 )4( x+ 2 )6(x=2)5(2 2 x 当 x=5 时， 2 MN取得最小值 2， 当 x=5 时，线段 MN 最短，MN=2 【总结升华】题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线 定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识 举一反三：举一反三： 【变式变式】在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三 角形采用拼图的
25、方式验证了勾股定理的正确性 问题 1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究 S1+S2与 S3的关系（如图 1） 问题 2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究 S+S与 S 的关系（如图 2） 问题 3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究 S1+S2与 S3的关系（如图 3） 第 11 页 共 11 页 【答案】问题 1：由等边三角形的性质知：S1= 3 4 a 2，S 2= 3 4 b 2，S 3= 3 4 c 2， 则 S1+S2= 3 4 （a 2+b2） ，因为 a2+b2=c2，所以 S 1+S2=S3 问题 2：由等腰直角三角形的性质知：S= 1 4 a 2，S=1 4 b 2，S=1 4 c 2 则 S+S= 1 4 （a 2+b2） ，因为 a2+b2=c2，所以 S+S=S 问题 3：由圆的面积计算公式知：S1= 1 8 a 2，S 2= 1 8 b 2，S 3= 1 8 c 2 则 S1+S2= 1 8 （a 2+b2） ，因此 a2+b2=c2，所以 S 1+S2=S3