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江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题(含答案解析)

1、2020 年高考模拟高考数学一模试卷年高考模拟高考数学一模试卷 一、填空题 1集合 A0,ex,B1,0,1,若 ABB,则 x 2已知复数 z(i 是虚数单位)则 z 的虚部是 3log24+log42 4执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 5在ABC 中,a4,b5,c6,则 6已知函数,0若 f(x)是奇函数,则 的值为 7已知 f(x)|log3x|,若 a,b 满足 f(a1)f(2b1),且 a2b,则 a+b 的最小值 为 8将黑白 2 个小球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则黑白两球均不在 1 号盒子的 概率为 9若抛物线 x24y 的焦点到双曲线 C:(a0,

2、b0)的渐近线距离等于, 则双曲线 C 的离心率为 10设 m,n 为空间两条不同的直线, 为空间两个不同的平面,给出下列命题: 若 m,m,则 ; 若 m,m,则 ; 若 m,mn,则 n; 若 m,则 m 其中的正确命题序号是 11 设 x0, y0, 向量 (1x, 4) , (x, y) , 若 , 则 x+y 的最小值为 12在ABC 中,点 P 是边 AB 的中点,已知| ,| |4,ACB,则 13已知正数 a,b,c 满足 b2+2(a+c)bac0,则的最大值为 14若(m0)对一切 x4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 二、解答题:共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定

3、区域内作答.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 15如图,四棱锥 PABCD 的底面为矩形,AB,BC1,E,F 分别是 AB,PC 的中 点,DEPA ()求证:EF平面 PAD; ()求证:平面 PAC平面 PDE 16在三角形 ABC 中,已知, (1)求角 A 的值; (2)若ABC 的面积为,求边 BC 的长 17建造一个容积为 8m3、深为 2m 的无盖长方体形的水池,已知池底和池壁的造价分别为 120 元/m2和 80 元/m2 (1)求总造价 y(单位:元)关于底边一边长 x(单位:m)的函数解析式,并指出函数 的定义域; (2)如果要求总造价不超过 2080 元,求

4、x 的取值范围; (3)求总造价 y 的最小值 18在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆1,若圆 O:x2+y2R2(RO)的一条切线 与椭圆 C 有两个交点 A,B,且0 (1)求圆 O 的方程; (2)已知椭圆 C 的上顶点为 M,点 N 在圆 O 上,直线 MN 与椭圆 C 相交于另一点 Q, 且2,求直线 MN 的方程 19已知函数 (1)若曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜率为 2,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,e)上有零点,求实数 a 的取值范围 20 已知数列an、 bn、 cn, 对于给定的正整数 k, 记 bnanan+k, cnan+an

5、+k(nN*) 若 对任意的正整数 n 满足:bnbn+1,且cn是等差数列,则称数列an为“H(k)”数列 (1)若数列an的前 n 项和为 Snn2,证明:an为 H(k)数列; (2)若数列an为 H(1)数列,且 a11,b11,c25,求数列an的通项公式; (3)若数列an为 H(2)数列,证明:an是等差数列 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若 多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-2: 矩阵与变换 21已知矩阵 A,B,且 ABBA (1)求实数 a; (2)求矩阵 B 的特征值 选修 4-4

6、:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线为参数)现以坐标原点 O 为极 点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆 C 的极坐标方程为 2cos,直线 l 与 圆 C 交于 A,B 两点,求弦 AB 的长 选修 4-5:不等式选讲 23已知 x1,x2,x3(0,+),且满足 x1+x2+x33x1x2x3,证明:x1x2+x2x3+x3x13 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24如图,在四棱锥 PABCD 中,已知棱 AB,AD,AP 两两垂直,长度分别为 1,2,

7、2若 ,且向量与夹角的余弦值为 (1)求实数 的值; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 25已知(1+x)2n+1a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1,nN*记 Tn (2k+1)ank (1)求 T2的值; (2)化简 Tn的表达式,并证明:对任意的 nN*,Tn都能被 4n+2 整除 参考答案 一、填空题:共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1集合 A0,ex,B1,0,1,若 ABB,则 x 0 【分析】推导出 AB,ex0,从而 ex1,由此能求出结果 解:因为集合 A0,ex,B1,0,1,ABB, 所以 AB,又

8、 ex0,所以 ex1,所以 x0 故答案为:0 2已知复数 z(i 是虚数单位)则 z 的虚部是 1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:z, 复数 z的虚部是1 故答案为:1 3log24+log42 【分析】利用对数运算性质即可得出 解:原式2+2+ 故答案为: 4执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 解:模拟程序的运行过程,可得: 第一次运行:k1 时, 第二次运行:k2 时, 第三次运行:此时 k3 满足 k3,退出循

9、环,输出, 故答案为: 5在ABC 中,a4,b5,c6,则 1 【分析】利用余弦定理求出 cosC,cosA,即可得出结论 解:ABC 中,a4,b5,c6, cosC,cosA sinC,sinA, 1 故答案为:1 6已知函数,0若 f(x)是奇函数,则 的值为 1 【分析】利用两角和的正弦公式化简 f(x)的解析式,再根据三角函数的奇偶性,求出 的值,可得函数的解析式,从而求得的值 解:函数2sin(x+),0,若 f(x) 是奇函数,则 , f(x)2sin(x+)2sinx,则2sin1, 故答案为:1 7已知 f(x)|log3x|,若 a,b 满足 f(a1)f(2b1),且

10、a2b,则 a+b 的最小值 为 【分析】若 a,b 满足 f(a1)f(2b1),且 a2b,则(a1)(2b1)1,则 b且 a1,即 a+b ,构造函数,利用导数法,可得函数的最小值 解:f(x)|log3x|,若 a,b 满足 f(a1)f(2b1),且 a2b, 则(a1)(2b1)1, 则 b且 a10,即 a1 即 a+ba+, 由令 g(a),则 g(a), 令 g(a)0,则 a1, 当 a(1,1+)时,g(a)0, 当 a(1+,+)时,g(a)0, 故当 a1+时,g(a)取最小值 , 故答案为: 8将黑白 2 个小球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则黑白两球

11、均不在 1 号盒子的 概率为 【分析】 基本事件总数 n339, 黑白两球均不在 1 号盒子包含的基本事件总数 m2 24,由此能求出黑白两球均不在 1 号盒子的概率 解:将黑白 2 个小球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中, 基本事件总数 n339, 黑白两球均不在 1 号盒子包含的基本事件总数 m224, 黑白两球均不在 1 号盒子的概率为 p 故答案为: 9若抛物线 x24y 的焦点到双曲线 C:(a0,b0)的渐近线距离等于, 则双曲线 C 的离心率为 3 【分析】先求出抛物线 x24y 的焦点坐标为(0,1),和双曲线的一条渐近线方程为 y x,根据点到直线的距离公式和离心率公

12、式即可求出 解:抛物线 x24y 的焦点坐标为(0,1),双曲线 C: (a0,b0)的一 条渐近线方程为 yx, , e3, 故答案为:3 10设 m,n 为空间两条不同的直线, 为空间两个不同的平面,给出下列命题: 若 m,m,则 ; 若 m,m,则 ; 若 m,mn,则 n; 若 m,则 m 其中的正确命题序号是 【分析】在中, 与 相交或平行;在中,由面面垂直的判断定理得 ;在 中,n 或 n;在中,由线面垂直的判定定理得 m 解:由 m,n 为空间两条不同的直线, 为空间两个不同的平面,知: 在中,若 m,m,则 与 相交或平行,故错误; 在中,若 m,m,则由面面垂直的判断定理得

13、,故正确; 在中,若 m,mn,则 n 或 n,故错误; 在中,若 m,则由线面垂直的判定定理得 m,故正确 故答案为: 11设 x0,y0,向量 (1x,4), (x,y),若 ,则 x+y 的最小值为 9 【分析】先根据向量平行得到+1,再利用基本不等式即可求出最值 解:因为 , 所以 4x+(1x)y0, 又 x0,y0, 所以+1, 故 x+y(+)(x+y)5+9 当,+1 同时成立,即 x3,y6 时,等号成立 (x+y)min9 故答案为:9 12在ABC 中,点 P 是边 AB 的中点,已知| ,| |4,ACB,则 6 【分析】用表示出,根据 CP计算 CB,再计算的值 解:

14、点 P 是边 AB 的中点, +, +, 34+cos +|2, | |2, 42cos4, (+)+6 故答案为:6 13已知正数 a,b,c 满足 b2+2(a+c)bac0,则的最大值为 【分析】由 b2+2(a+c)bac0 得(b+a+c)2ac+(a+c)2 +(a+c)2 (a+c)2再解关于 b 的不等式即可 解:由 b2+2(a+c)bac0 得(b+a+c) 2ac+(a+c)2 +(a+c) 2 (a+c) 2, b+a+c(a+c),b(a+c), ,当且仅当 ac 时取等 故答案为 14 若(m0) 对一切 x4 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 (, ) 【分析】

15、等价于(m2x1)(mx+1)0,m 分1m0,及 m1 两类 讨论,利用函数的单调性即可求得答案 解:等价于(m2x1)(mx+1)0, x1,x2, 若(m0)对一切 x4 恒成立,则 m0, 当1m0 时,则4,解得1m, 当 m1 时,则4,解得 m1 故答案为:(,) 二、解答题:共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 15如图,四棱锥 PABCD 的底面为矩形,AB,BC1,E,F 分别是 AB,PC 的中 点,DEPA ()求证:EF平面 PAD; ()求证:平面 PAC平面 PDE 【分析】()连接 EC,并延长与 DA

16、的延长线交于 N,则 E 是 AC 的中点,可得 EF PA,即可证明 EF平面 PAD; ()证明 DE平面 PAC,再证明平面 PAC平面 PDE 【解答】证明:()连接 EC,并延长与 DA 的延长线交于 N,则 E 是 AB 的中点, 因为 F 是 PC 的中点, 所以 EFPN, 又 EF平面 PAD,PN平面 PAD, 故 EF平面 PAD ()设 ACDEG,由AEGCDG 及 E 为 AB 中点得, 又因为 AB,BC1,所以 AC,AGAC 所以, 又BAC 为公共角,所以GAEBAC 所以AGEABC90,即 DEAC 又 DEPA,PAACA, 所以 DE平面 PAC 又

17、 DE平面 PDE,所以平面 PAC面 PDE 16在三角形 ABC 中,已知, (1)求角 A 的值; (2)若ABC 的面积为,求边 BC 的长 【分析】(1)先根据已知条件求出 tanC,再由 tanAtan(B+C)求出 tanA,从而求 出角 A; (2)设 BCa,利用正弦定理得求出 AB,再利用 tanB求出 sinB,所以ABC 的面 积为:S,所以 a1,即 BC1 解:(1)在ABC 中,tanB,cosC,C(,), sinC,故 tanC3, 所以, 0A,所以 A; (2)由(1)知 A450,设 BCa, 利用正弦定理: 得:AB, 又,解得 sinB, 所以ABC

18、 的面积为:S, 所以 a1,即 BC1 17建造一个容积为 8m3、深为 2m 的无盖长方体形的水池,已知池底和池壁的造价分别为 120 元/m2和 80 元/m2 (1)求总造价 y(单位:元)关于底边一边长 x(单位:m)的函数解析式,并指出函数 的定义域; (2)如果要求总造价不超过 2080 元,求 x 的取值范围; (3)求总造价 y 的最小值 【分析】 (1)底边一边长 x,则另一边长为,由题意可知 y320(x+)+480 (x 0); (2)令 y2080 即可求出 x 的取值范围; (3)利用基本不等式求得 x+,当且仅当 x,即 x2 时,等号成立, 从而求出总造价 y

19、的最小值 解:(1)底边一边长 x,则另一边长为, y2(x+) 320(x+)+480, 总造价 y 关于底边一边长 x 的函数解析式为:y320(x+)+480 (x0); (2)由(1)可知:y320(x+)+480, 令 y2080 得,320(x+)+4802080, 解得:1x4, 当 x1,4时,总造价不超过 2080 元; (3)x0,x+,当且仅当 x,即 x2 时,等号成立, y320(x+)+4803204+4801760, 当 x2 时,总造价 y 的值最小,最小值为 1760 元 18在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆1,若圆 O:x2+y2R2(RO)的一条切线 与

20、椭圆 C 有两个交点 A,B,且0 (1)求圆 O 的方程; (2)已知椭圆 C 的上顶点为 M,点 N 在圆 O 上,直线 MN 与椭圆 C 相交于另一点 Q, 且2,求直线 MN 的方程 【分析】(1)假设圆的切线,与椭圆联立,得出两根之和及两根之积,由数量积为零得 圆的半径,即求出圆的方程; (2)设 Q,N 的坐标,在曲线上,写出坐标之间的关系,写出向量的坐标,利用它们的 关系求出坐标,进而求出直线方程 解: (1)假设圆的切线的斜率存在时,设切线方程 ykx+b, 设 A (x,y) ,B (x,y)联 立与椭圆的方程整理:(1+2k2)x2+4kbx+2b260, x+x,xx ,

21、yyk2xx+kb(x+x)+b2 + , 因为:0,所以:xx+yy0, 可得 2b26+b26k20,b22+2k2; 又与圆相切,所以R, b2R2(1+k2),由得,2+2k22k2R2+R2, R22, 所以圆的方程 x2+y22; (2)由题意得 M(0,),设 Q(m,n),N(a,b),(a,b), (ma,nb), 由题意得:, a,b; 而又由题意:,解得:4n2490,n(舍),n, m,a ,b0,即 N(,0), 所以直线 MN 的方程1, 即直线 MN 的方程+0,y+0 19已知函数 (1)若曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜率为 2,求函数 f(x)的单调区

22、间; (2)若函数 f(x)在区间(1,e)上有零点,求实数 a 的取值范围 【分析】(1)求导,由导数的结合意义可求得 a0,进而得到函数解析式,再解关于导 函数的不等式即可得到单调区间; (2)分类讨论,利用零点的存在性定理建立不等式即可求解 解 : ( 1 ) 函 数f ( x ) 的 定 义 域 为 ( 0 , + ) , , 则 f(1)2(a+1)2,解得 a0, f(x)2xlnx+1(x0),f(x)2(lnx+1), 令 f(x)0,解得;令 f(x)0,解得; 函数 f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为; (2) 函数在区间 (1, e) 上是一条不间断的曲线, 由(1

23、)知,f(x)2(ax+1)(lnx+1), 当 a0 时,对任意 x(1,e),ax+10,lnx+10,则 f(x)0,故函数 f(x) 在(1,e)上单调递增, 此时对任意的 x (1, e) , 都有成立, 从而函数 f (x) 在区间 (1, e)上无零点; 当 a0 时,令 f(x)0,解得或,其中, (i)若,即 a1,则对任意 x(1,e),f(x)0,故函数 f(x)在区间 (1,e)上单调递减, 由题意可得,解得, 其中, 即,故 a 的取值范围为2a1; 若,即,则对任意 x(1,e),f(x)0,所以函数 f(x)在 区间(1,e)上单调递增, 此时对任意 x(1,e)

24、,都有成立,从而函数 f(x)在区间(1, e)上无零点; 若,即,则对任意,所以函数在 区间上单调递增, 对任意,函数 f(x)在区间上单调递减, 由题意可得,解得, 其中,即,所以 a 的取 值范围为, 综上所述,实数 a 的取值范围为 20 已知数列an、 bn、 cn, 对于给定的正整数 k, 记 bnanan+k, cnan+an+k(nN*) 若 对任意的正整数 n 满足:bnbn+1,且cn是等差数列,则称数列an为“H(k)”数列 (1)若数列an的前 n 项和为 Snn2,证明:an为 H(k)数列; (2)若数列an为 H(1)数列,且 a11,b11,c25,求数列an的

25、通项公式; (3)若数列an为 H(2)数列,证明:an是等差数列 【分析】(1)直接利用定义法证明数列为 H(k)数列 (2)利用赋值法和定义法进行证明,进一步求出数列的通项公式 (3)直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列 【解答】证明:(1)当 n2 时,2n1 当 n1 时,a1S11 符合上式, 则:an2n1 所以:bnanan+k, 整理得:bn2k, cnan+an+k4n2k2 则 bnbn+1,cn+1cn4 对任意的正整数 n 满足 bnbn+1,且数列cn,是公差为 4 的等差数列, 所以:数列an为 H(k)数列; (2)由于 a11,b11,c25, 由数列an为

26、 H(1)数列, 则数列cn是等差数列, 且 c13,c25, 所以:cn2n+1 即 an+an+12n+1 所以:an+1(n+1)ann, 则ann是常数列 所以:a110, 则:ann 验证:bnanan11, 所以:bnbn+1对任意正整数 n 都成立 所以:ann 附:an+an+12n+1, an+1+an+22n+3, 得:an+2an2 所以:a2k1a1+2(k1)2k1 a2ka2+2(k1)2k, 所以:ann 证明:(3)由数列an为 H(2)数列可知:cn是等差数列,记公差为 d cn+2cn(an+2+an+4)(an+an+2)bnbn+22d, 所以:bn+1

27、bn+32d 则:(bnbn+1)+(bn+2bn+3)2d2d0 又 bnbn+1, 所以:bnbn+1, 所以:数列bn为常数列, 则 bnanan+2b1 所以:cnan+an+22anb1 由 cn+1cn2(an+1an)d, 所以: 所以:an是等差数列 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若 多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-2: 矩阵与变换 21已知矩阵 A,B,且 ABBA (1)求实数 a; (2)求矩阵 B 的特征值 【分析】(1)AB,BA,进而求解; (2)矩阵 B 的特征多项式为

28、f()(2)(1),令 f()0,进而求解 解:(1)因为 AB ,BA , 且 ABBA,所以 a0; (2) 因为 B, 矩阵 B 的特征多项式为 f () (2) (1) , 令 f()0,解得 2,1 选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线为参数)现以坐标原点 O 为极 点,以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设圆 C 的极坐标方程为 2cos,直线 l 与 圆 C 交于 A,B 两点,求弦 AB 的长 【分析】直线为参数)化为普通方程,圆 C 的极坐标方程 2cos 化为 直角坐标方程,求出圆 C 的圆心到直线 l 的距离,即可求弦 AB 的长

29、解:直线为参数)化为普通方程为 4x3y0, 圆 C 的极坐标方程 2cos 化为直角坐标方程为(x1)2+y21, 则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为, 所以 选修 4-5:不等式选讲 23已知 x1,x2,x3(0,+),且满足 x1+x2+x33x1x2x3,证明:x1x2+x2x3+x3x13 【分析】依题意,再利用柯西不等式即可得证 【解答】证明:x1+x2+x33x1x2x3, , ,当且仅当“x1x2x31”时取等号, 故 x1x2+x2x3+x3x13,即得证 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答 应写出文字说明、证

30、明过程或演算步骤 24如图,在四棱锥 PABCD 中,已知棱 AB,AD,AP 两两垂直,长度分别为 1,2,2若 ,且向量与夹角的余弦值为 (1)求实数 的值; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 【分析】(1)根据已知条件即可建立坐标系:以 A 为坐标原点,分别以边 AB,AD,AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 然后即可根据已知条件求出点 P, A, B, C, D 点的坐标,利用向量与夹角的余弦值为求出 的值 (2)求出平面 PCD 的法向量,利用向量夹角的余弦公式求解直线 PB 与平面 PCD 所成 角的正弦值 解:以 A 为坐标原点,分别以 A

31、B,AD,AP 为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系; 则:A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2);,可得 C (,2,0) (1)(,2,2),(1,2,0),向量与夹角的余弦值为 可得,解得 10(舍去)或 2 实数 的值为 2; (2)(2,2,2),(0,2,2),平面 PCD 的法向量 (x,y,z) 则且,即:x+yz0,yz0,x0,不妨去 yz1, 平面 PCD 的法向量 (0,1,1)又(1,0,2) 故 cos 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为: 25已知(1+x)2n+1a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1,nN

32、*记 Tn (2k+1)ank (1)求 T2的值; (2)化简 Tn的表达式,并证明:对任意的 nN*,Tn都能被 4n+2 整除 【分析】(1)由二项式定理得 ai,利用公式计算 T2的值; (2)由组合数公式化简 Tn,把 Tn化为(4n+2)的整数倍即可 解:由二项式定理,得 ai(i0,1,2,2n+1); (1)T2a2+3a1+5a0+3 +530; (2)因为(n+1+k)(n+1+k) (2n+1), 所以 Tn(2k+1)ank (2k+1) (2k+1) 2(n+1+k)(2n+1) 2(n+1+k) (2n+1) 2(2n+1)(2n+1) 2(2n+1) (22n+)(2n+1) 22n+1 (2n+1); Tn(2n+1)(2n+1)(+)2(2n+1); 因为N*,所以 Tn能被 4n+2 整除; 注意:只要得出 Tn(2n+1),就给,不必要看过程