1、第 1 页 共 4 页 二次函数二次函数 y=ay=a（x x- -h)h) 2 2+k(a +k(a0)0)的图的图象象与性质与性质知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1. .会用描点法画出二次函数 2 ()ya xhk(a、 h、 k 常数， a0)的图象 掌握抛物线 2 ()ya xhk 与 2 yax图象之间的关系； 2.熟练掌握函数 2 ()ya xhk的有关性质， 并能用函数 2 ()ya xhk的性质解决一些实际问题； 3. .经历探索 2 ()ya xhk的图象及性质的过程，体验 2 ()ya xhk与 2 yax、 2 yaxk、 2 ()ya xh之
2、间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、函数函数 2 () (0)ya xha与函数与函数 2 ()(0)ya xhk a的图的图象象与与性质性质 1.1.函数函数 2 () (0)ya xha的图的图象象与性质与性质 2.2.函数函数 2 ()(0)ya xhk a的图的图象象与性质与性质 要点诠释：要点诠释： 二次函数 2 () + (0ya xhk a ）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象 与性质运用数形结合、函数、方程思想解决问题 要点二、要点二、二次二次函数的平移函数的平移 1.1.平移步骤：平移步骤：
3、将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h， x=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk， x=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 第 2 页
4、 共 4 页 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 2.2.平移规律：平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，左加右减， 上加下减上加下减” 要点诠释：要点诠释： cbxaxy 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿 x 轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ） 【典型典型例题】例题】 类型一、二次函数类型一、二次函数 2 (
5、)(0)ya xhk a图图象象及性质及性质 1将抛物线 2 2(1)3yx作下列移动，求得到的新抛物线的解析式 (1)向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以 x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向 【答案与解析】 抛物线 2 2(1)3yx的顶点为(1，3) (1)将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变， 所以 a2，得到抛物线解析式为 22 2(1)242yxxx (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则2a ， 所得抛物线解析式为 22 2(1)3241yxxx (3
6、)因为新顶点与原顶点(1，3)关于 x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)又 抛物线开口反向， 第 3 页 共 4 页 2a 故所得抛物线解析式为 22 2(1)3245yxxx 【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于 a 的符号，故可利用移动 后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式 举一反三：举一反三： 【变式】变式】将抛物线 2 3yx 向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，得到的抛物线解析式 为 【答案】 2 3127yxx . 2把抛物线向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线， 求 b，c 的值. 【答案与解析】 根据题意得
7、，y=(x-4) 2-2=x2-8x+14, 所以 【总结升华】把抛物线向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线， 也就意味着把抛物线向下平移2个单位， 再向右平移4个单位， 得到抛物线. 举一反三：举一反三： 【变式】变式】二次函数 2 1 (3)4 2 yx的图象可以看作是二次函数 2 1 2 yx的图象向 平移 4 个单位， 再向 平移 3 个单位得到的 【答案】上；右. 类型二、二次函数类型二、二次函数 2 ()(0)ya xhk a性质的综合应用性质的综合应用 3已知 2 1 ()ya xh与 2 ykxb的图象交于 A、B 两点，其中 A(0，-1)，B(1，0)
8、(1)确定此二次函数和直线的解析式； (2)当 12 yy时，写出自变量 x 的取值范围 【答案与解析】 (1) 2 1 ()ya xh， 2 ykxb的图象交于 A、B 两点， 2 2 10 01 () () ah ah 且 0, 1. kb b 第 4 页 共 4 页 解得 1, 1, a h 且 1, 1. k b 二次函数的解析式为 2 (1)yx ，直线方程为1yx (2)画出它们的图象如图所示，由图象知当 x0 或 x1 时， 12 yy 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取 值范围 4在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
9、2 1 2 yx， 2 1 3 2 yx， 2 1 3 2 yx （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线 2 1 2 yxc的开口方向，对称轴及顶点坐标 【答案与解析】 （1）列表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 1 2 yx 1 4 2 2 1 2 0 1 2 2 1 4 2 描点、连线，可得抛物线 2 1 2 yx 将 2 1 2 yx的图象分别向上和向下平移 3 个单位，就分别得到 2 1 3 2 yx与 2 1 3 2 yx的图象 （如图所示） 抛物线 2 1 2 yx， 2 1 3 2 yx与 2 1 3 2 yx开口都向上，对称轴都是 y 轴，顶点坐标依次 是（0，0） 、 （0，3）和（0，-3） （2）抛物线 2 1 2 yxc的开口向上，对称轴是 y 轴（或直线0x） ，顶点坐标为（0，c） 【总结升华】先用描点法画出 2 1 2 yx的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题 规律总结： 2 yaxk k 向上平移 个单位 2 yax k 向下平移 个单位 2 (0)yaxk k