1、 第 1 页 共 7 页 二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象与性质的图象与性质知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【学习目标】【学习目标】 1经历探索二次函数 y=ax2和 y=ax2c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验 2会作出 y=ax2和 y=ax2c 的图象，并能比较它们与 y=x2的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响 3能说出 y=ax2c 与 y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 4体会二次函数是某些实际问题的数学模型 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、二次函数二次函数 y=axy=a
2、x 2 2（ （a a0 0）的图象）的图象与与性质性质 1.1.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的图象 二次函数 y=ax 2的图象（如图），是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 抛物线 y=ax 2（a0）的对称轴是 y 轴，它的顶点是坐标原点.当 a 0 时，抛物线的开口向上，顶 点是它的最低点；当 a0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点. 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的画法的图象的画法描点法描点法 描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线. （1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的
3、x 的值，求出相应的 y 值，填入表中.（自变量 x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.） （2）描点：以表中每对 x 和 y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多， 图象就越准确. （3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释：要点诠释： （1）用描点法画二次函数 y=ax 2（a0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的 值，然后计算出对应的 y 值. （2）二次函数 y=ax 2(a0)的图象，是轴对称图形，对称轴是 y 轴y=ax2(a0)是最简单的二次函 数. （3）画草图时应抓住以下几点：开口方向
4、，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 第 2 页 共 7 页 3.3.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的图象的的性质性质 二次函数 y=ax 2（a0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax 2 a0 向上 （0，0） y 轴 x0 时， y 随 x 增 大而增大； x0 时， y 随 x 增 大而减小. 当 x=0 时， y最小=0 y=ax 2 a0 向下 （0，0） y 轴 x0 时， y 随 x 增 大而减小； x0 时， y 随 x 增 大而增大. 当 x=0 时， y最大=0 要点诠
5、释：要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同，只是顶点的位置不同. a相同，抛物线的开口大小、形状相同. . a越大，开口越小，图象两边越靠近 y 轴，a越小，开口越大，图象两边越靠近 x 轴. 要点要点二二、二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象与与性质性质 1.1.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象 （1）0a （2）0a j x O y 2 0yaxc c c jy x O c 2 0yaxc c j y x O c 2 0y
6、axc c j y x O c 2 0yaxc c 第 3 页 共 7 页 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的性质的图象的性质 关于二次函数 2 (0)yaxc a的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减 性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 2 (0,0)yaxc ac 2 (0,0)yaxc ac 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y 轴 y 轴 函数变化 当0x时，y 随 x 的增大而增大； 当0x时，y 随 x 的增大而减小. 当0x时，y
7、 随 x 的增大而减小； 当0x时，y 随 x 的增大而增大. 最大（小）值 当0x时，yc 最小值 当0x时，yc 最大值 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2（ （a a0 0）的图象）的图象与与性质性质 1 二次函数 yx 2的图象对称轴左侧上有两点 A(a， 15)， B(b，1 4 )， 则 a-b_0(填 “” 、 “” 或“”号) 【思路点拨】一种方法是将 A、B 的坐标分别代入函数 yx 2，求出相应的 a、b 值，再比较；另一种方 第 4 页 共 7 页 法是直接利用二次函数 yx 2的图象的性质，通过增减性来判断. 【答案】.
8、. 【解析】解法一：将 A(a，15)， 1 , 4 B b 分别代入 yx 2中得：2 15a， 15a ； 2 1 4 b， 又 A、B 在抛物线对称轴左侧， a0，b0，即15a ， 1 2 b ， 1 150 2 ab 解法二：画出函数 yx 2的草图(如图所示)，可知在 y 轴左侧(x0)时，y 随 x 的增大而减小， 又 1 15 4 ，ab，即 a-b0 【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用 了数形结合的数学思想 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】二次函数 2 yax与 2 2yx 的形状相同，开口大小一样，开口方向相
9、反，则a 【答案】2. 【变式变式 2 2】不计算比较大小：函数 2 yx的图象右侧上有两点 A（a，15） ，B（b，0.5） ，则 a b 【答案】. 2已知 y=(m+1)x 2 mm 是二次函数且其图象开口向上,求 m 的值和函数解析式. 【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数 y=ax 2（a0）的图象性质来解答. 【答案与解析】 第 5 页 共 7 页 由题意， 2 2 1 0 mm m ，解得 m=1， 二次函数的解析式为：y= 2 2x. 【总结升华】本题中二次函数还应该有 m+10 的限制条件，但当1 0m 时，一定存在 m+10，所以 就不再考虑了. 类型类型二二、二次函数
10、二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象与与性质性质 3求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线 2 1 3 2 yx 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1） ，经过点（3，-2）并且关于 y 轴对称的抛物线 【思路点拨】抛物线形状相同则|a相同，再由开口方向可确定a的符号，由顶点坐标可确定 c 的值， 从而确定抛物线的解析式 2 yaxc 【答案与解析】 （1）由于待求抛物线 2 1 3 2 yx 形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 1 2 ， 又顶点坐标是（0，-5） ，故常数项5k ，所以所求抛物线为 2 1
11、5 2 yx （2）因为抛物线的顶点为（0，1） ，所以其解析式可设为 2 1yax， 又该抛物线过点（3，-2） ，912a ，解得 1 3 a 所求抛物线为 2 1 1 3 yx 【总结升华】本题考察函数 2 (0)yaxc a的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式. 4在同一直角坐标系中，画出 2 yx 和 2 1yx 的图象，并根据图象回答下列问题 第 6 页 共 7 页 (1)抛物线 2 1yx 向_平移_个单位得到抛物线 2 yx ； (2)抛物线 2 1yx 开口方向是_，对称轴为_，顶点坐标为_； (3)抛物线 2 1yx ， 当 x_时， 随 x 的增大而减小； 当
12、x_时， 函数 y 有最_ 值，其最_值是_ 【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答. 【答案与解析】函数 2 yx 与 2 1yx 的图象如图所示： (1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)0； 0； 大； 大 ； 1. 【总结升华】 本例题把函数 2 1yx 与函数 2 yx 的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数 2 (0)yaxc a与 2( 0)yax a的图象形状相同， 只是位置上下平移的结论 2 (0)yaxc a可 第 7 页 共 7 页 以看作是把 2( 0)yax a的图象向上(0)k 或向下(0)k 平移|k个单位得到的 举一反三：举一反三： 【变式变式】函数 2 3yx可以由 2 31yx怎样平移得到？ 【答案】向上平移 1 个单位.