1、第 1 页 共 8 页 二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象与性质的图象与性质知识讲解（提高）知识讲解（提高） 【学习目标】【学习目标】 1经历探索二次函数 y=ax2和 y=ax2c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验 2会作出 y=ax2和 y=ax2c 的图象，并能比较它们与 y=x2的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响 3能说出 y=ax2c 与 y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 4体会二次函数是某些实际问题的数学模型 5.掌握二次函数 y=ax 2(a0)与 y=ax2+c (a0)的图象之间
2、的关系. 【要点【要点梳理】梳理】 要点一、二次函数要点一、二次函数 y=axy=ax 2 2（ （a a0 0）的图象）的图象与性质与性质 1.1.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的图象 二次函数 y=ax 2的图象（如图），是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 抛物线 y=ax 2（a0）的对称轴是 y 轴，它的顶点是坐标原点.当 a 0 时，抛物线的开口向上，顶 点是它的最低点；当 a0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点. 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的画法的图象的画法描点法描点法 描点
3、法画图的基本步骤：列表、描点、连线. （1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的 x 的值，求出相应的 y 值，填入表中.（自变量 x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.） （2）描点：以表中每对 x 和 y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多， 图象就越准确. （3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释：要点诠释： （1）用描点法画二次函数 y=ax 2（a0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的 值，然后计算出对应的 y 值. （2）二次函数 y=ax 2(a0)的图象，是轴对称图形，对称轴是 y
4、 轴y=ax2(a0)是最简单的二次函 数. 第 2 页 共 8 页 （3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 3.3.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的性质的图象的性质 二次函数 y=ax 2（a0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax 2 a0 向上 （0，0） y 轴 x0 时， y 随 x 增 大而增大； x0 时， y 随 x 增 大而减小. 当 x=0 时， y最小=0 y=ax 2 a0 向下 （0，0） y 轴 x0 时， y 随 x 增 大而
5、减小； x0 时， y 随 x 增 大而增大. 当 x=0 时， y最大=0 要点诠释：要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同，只是顶点的位置不同. a相同，抛物线的开口大小、形状相同. . a越大，开口越小，图象两边越靠近 y 轴，a越小，开口越大，图象两边越靠近 x 轴. 要点二、二次函数要点二、二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象与性质的图象与性质 1.1.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象 （1）0a （2）0a j x O y 2
6、0yaxc c c jy x O c 2 0yaxc c j y x O c 2 0yaxc c j y x O c 2 0yaxc c 第 3 页 共 8 页 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c +c(a(a0)0)的图象的性质的图象的性质 关于二次函数 2 (0)yaxc a的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减 性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 2 (0,0)yaxc ac 2 (0,0)yaxc ac 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y 轴 y 轴 函数变化 当
7、0x时，y 随 x 的增大而增大； 当0x时，y 随 x 的增大而减小. 当0x时，y 随 x 的增大而减小； 当0x时，y 随 x 的增大而增大. 最大（小）值 当0x时，yc 最小值 当0x时，yc 最大值 3.3.二次函数二次函数 2 0yaxa与与 2 0yaxc a之间的关系之间的关系 2 0yaxa的图象向上（c0） 【或向下（c0） 】平移c个单位得到 2 0yaxc a的 图象. 要点诠释：要点诠释： 抛物线 2 (0)yaxc a的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线 2( 0)yax a的形状相 第 4 页 共 8 页 同 函数 2 (0)yaxc a的图象是由
8、函数 2( 0)yax a的图象向上（或向下）平移|c个单位得到 的，顶点坐标为(0，c) 抛物线 yax 2(a0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与 x 轴垂直的一条直 线，其顶点横坐标 x0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即 a 的值不变，只是位置发生变化而已 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2（ （a a0 0）的图象）的图象与与性质性质 1已知 a0，在同一坐标系中，函数 y=ax 与 y= 2 ax的图象可能是（ ） A B C D 【思路点拨】令 ax= 2 ax解到两个图象交点的横坐标，然后再据图判断. 【答案】
9、C； 【解析】当 ax= 2 ax时，a0，x= 2 x，解得 12 0,1xx，说明两个图象在 x=0 和 x=1 时有交点， 排除 A、B、D 三个选项.经检验，选项 C 正确. 【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分 a0 和 a0 两种 情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三：举一反三： 【变式变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxc与二次函数 2 yaxc的图象大致为（ ） 【答案】B. 第 5 页 共 8 页 2.根据下列条件求 a 的取值范围： (1)函数 y(a-2)x 2，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x
10、0 时，y 随 x 的增大而增大； (2)函数 y(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线 y(a+2)x 2与抛物线2 1 2 yx 的形状相同； (4)函数 2 aa yax 的图象是开口向上的抛物线 【思路点拨】根据二次函数 y= 2 ax（a0）的图形和性质，结合草图解决问题. 【答案与解析】 (1)由题意得，a-20，解得 a2 (2)由题意得，3a-20，解得 2 3 a (3)由题意得， 1 |2| 2 a ，解得 1 5 2 a ， 2 3 2 a (4)由题意得， 2 2 0 aa a ，解得 a1-2，a21，但 a0，a1 【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的
11、图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特 征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围 举一反三：举一反三： 【变式变式】二次函数 ymx 2 2 m 有最高点，则 m_ 【答案】-2. 3. 二次函数 2 2 3 yx的图象如图所示，点 A0位于坐标原点，点 A1，A2，A3，A2013在 y 轴的正半 轴上， 点 B1， B2， B3， ， B2013在二次函数 2 2 3 yx位于第一象限的图象上， 若A0B1A1， A1B2A2， A2B3A3， ， A2012B2013A2013都为等边三角形，求A2012B2013A2013的边长 第 6 页 共 8 页 【思路点拨】分别求出A0A
12、1B1，A1A2B2，A2A3B3的边长，找出边长的变化规律. 【答案与解析】 如图所示，作 B1C1y 轴，垂足为 C1 A0A1B1为等边三角形，A0B1C130 设 A0C1a，则 A0B12a，B1C13aB1(3a，a)， 2 2 ( 3 ) 3 aa， 1 2 a ， 01 1A B 作 B2C2y 轴，设 A1C2m，则 A1B22m，C2B23m， 2( 3 ,1 )Bmm 2 2 1( 3 ) 3 mm 2m 2-m-10， 即(2m+1)(m-1)0，m1 或 1 2 (舍) A1B22 同理可求 A2B33，A3B44， A2012B2013A2013的边长为 2013
13、【总结升华】在A0A1B1，A1A2B2，A2A3B3中，运用勾股定理表示出 B1、B2、B3的坐标，利用抛物线解 析式 2 2 3 yx建立等式是关键. 类型类型二二、二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象与与性质性质 4.若二次函数 2 yaxc，当x取 12 ,x x( 12 xx)时，函数值相等，则当x取 12 xx时，函数值为 第 7 页 共 8 页 （ ） A.a+c B.a-c C.-c D.c 【思路点拨】根据函数 2 yaxc的图象的对称性来解题. 【答案】D； 【解析】函数 2 yaxc的图象关于 y 轴对称，当 x 取 12 ,x
14、 x( 12 xx)时，函数值相等，说明 12 ,x x关 于对称轴（y 轴）对称，因此 12 xx=0.当 x=0 时，y=c，所以答案选 D. 【总结升华】充分利用好函数的对称性是解决此题的关键. 举一举一反三：反三： 【变式变式】如图所示，抛物线 2 (0)yaxc a交 x 轴于 G、F，交 y 轴于点 D，在 x 轴上方的抛物线上有 两点 B、E，它们关于 y 轴对称，点 G、B 在 y 轴左侧，BAOG 于点 A，BCOD 于点 C四边形 OABC 与四 边形 ODEF 的面积分别为 6 和 10，则ABG 与BCD 的面积之和为_ 【答案】4.（提示：10-6=4.） 5.有一个
15、抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为 6m，跨度为 8m，把它放在如图所示的平面直角 坐标系中 （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）若要在隧道壁上点 P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5m求灯与点 B 的距离 【思路点拨】 （1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax 2+6，把点 A（-4，0）代入即可； （2） 灯离地面高 4.5m，即 y=4.5 时，求 x 的值，再根据 P 点坐标，勾股定理求 PB 的值. 【答案与解析】 第 8 页 共 8 页 解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为 y=ax 2+6（a0）， 点 A（-4，0）或 B（4，0）在抛物线上， 0=a（-4） 2+6， 16a+6=0，16a=-6， 3 8 a 故抛物线的函数关系式为 2 3 6 8 yx . . （2）过点 P 作 PQAB 于 Q，连接 PB，则 PQ=4.5m 将 y=4.5 代入 2 3 6 8 yx ，得 x=2 P（-2，4.5），Q（-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6， 从而|PB|= 22 4.567.5m 所以照明灯与点 B 的距离为 7.5m 【总结升华】本题考查建系确定点的坐标，应用二次函数解决实际问题，建系的方法不唯一.