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北京四中九年级下册数学二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高)

1、第 1 页 共 8 页 二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象与性质的图象与性质知识讲解(提高)知识讲解(提高) 【学习目标】【学习目标】 1经历探索二次函数 y=ax2和 y=ax2c 的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验 2会作出 y=ax2和 y=ax2c 的图象,并能比较它们与 y=x2的异同,理解 a 与 c 对二次函数图象的影响 3能说出 y=ax2c 与 y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 4体会二次函数是某些实际问题的数学模型 5.掌握二次函数 y=ax 2(a0)与 y=ax2+c (a0)的图象之间

2、的关系. 【要点【要点梳理】梳理】 要点一、二次函数要点一、二次函数 y=axy=ax 2 2( (a a0 0)的图象)的图象与性质与性质 1.1.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的图象 二次函数 y=ax 2的图象(如图),是一条关于 y 轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线. 抛物线 y=ax 2(a0)的对称轴是 y 轴,它的顶点是坐标原点.当 a 0 时,抛物线的开口向上,顶 点是它的最低点;当 a0 时,抛物线的开口向下,顶点是它的最高点. 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的画法的图象的画法描点法描点法 描点

3、法画图的基本步骤:列表、描点、连线. (1)列表:选择自变量取值范围内的一些适当的 x 的值,求出相应的 y 值,填入表中.(自变量 x 的值写在第一行,其值从左到右,从小到大.) (2)描点:以表中每对 x 和 y 的值为坐标,在坐标平面内准确描出相应的点.一般地,点取的越多, 图象就越准确. (3)连线:按照自变量的值由小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释:要点诠释: (1)用描点法画二次函数 y=ax 2(a0)的图象时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量 x 的 值,然后计算出对应的 y 值. (2)二次函数 y=ax 2(a0)的图象,是轴对称图形,对称轴是 y

4、 轴y=ax2(a0)是最简单的二次函 数. 第 2 页 共 8 页 (3)画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点. 3.3.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2(a (a0)0)的图象的性质的图象的性质 二次函数 y=ax 2(a0)的图象的性质,见下表: 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大(小)值 y=ax 2 a0 向上 (0,0) y 轴 x0 时, y 随 x 增 大而增大; x0 时, y 随 x 增 大而减小. 当 x=0 时, y最小=0 y=ax 2 a0 向下 (0,0) y 轴 x0 时, y 随 x 增 大而

5、减小; x0 时, y 随 x 增 大而增大. 当 x=0 时, y最大=0 要点诠释:要点诠释: 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同,只是顶点的位置不同. a相同,抛物线的开口大小、形状相同. . a越大,开口越小,图象两边越靠近 y 轴,a越小,开口越大,图象两边越靠近 x 轴. 要点二、二次函数要点二、二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象与性质的图象与性质 1.1.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象 (1)0a (2)0a j x O y 2

6、0yaxc c c jy x O c 2 0yaxc c j y x O c 2 0yaxc c j y x O c 2 0yaxc c 第 3 页 共 8 页 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c +c(a(a0)0)的图象的性质的图象的性质 关于二次函数 2 (0)yaxc a的性质,主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减 性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象,将其性质列表归纳如下: 函数 2 (0,0)yaxc ac 2 (0,0)yaxc ac 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0,c) (0,c) 对称轴 y 轴 y 轴 函数变化 当

7、0x时,y 随 x 的增大而增大; 当0x时,y 随 x 的增大而减小. 当0x时,y 随 x 的增大而减小; 当0x时,y 随 x 的增大而增大. 最大(小)值 当0x时,yc 最小值 当0x时,yc 最大值 3.3.二次函数二次函数 2 0yaxa与与 2 0yaxc a之间的关系之间的关系 2 0yaxa的图象向上(c0) 【或向下(c0) 】平移c个单位得到 2 0yaxc a的 图象. 要点诠释:要点诠释: 抛物线 2 (0)yaxc a的对称轴是 y 轴,顶点坐标是(0,c),与抛物线 2( 0)yax a的形状相 第 4 页 共 8 页 同 函数 2 (0)yaxc a的图象是由

8、函数 2( 0)yax a的图象向上(或向下)平移|c个单位得到 的,顶点坐标为(0,c) 抛物线 yax 2(a0)的对称轴、最值与顶点密不可分,其对称轴即为过顶点且与 x 轴垂直的一条直 线,其顶点横坐标 x0,抛物线平移不改变抛物线的形状,即 a 的值不变,只是位置发生变化而已 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2( (a a0 0)的图象)的图象与与性质性质 1已知 a0,在同一坐标系中,函数 y=ax 与 y= 2 ax的图象可能是( ) A B C D 【思路点拨】令 ax= 2 ax解到两个图象交点的横坐标,然后再据图判断. 【答案】

9、C; 【解析】当 ax= 2 ax时,a0,x= 2 x,解得 12 0,1xx,说明两个图象在 x=0 和 x=1 时有交点, 排除 A、B、D 三个选项.经检验,选项 C 正确. 【总结升华】解此类题的基本方法有两种:方法一,根据选项逐个验证;方法二,分 a0 和 a0 两种 情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三:举一反三: 【变式变式】在同一平面直角坐标系中,一次函数yaxc与二次函数 2 yaxc的图象大致为( ) 【答案】B. 第 5 页 共 8 页 2.根据下列条件求 a 的取值范围: (1)函数 y(a-2)x 2,当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,当 x

10、0 时,y 随 x 的增大而增大; (2)函数 y(3a-2)x 2有最大值; (3)抛物线 y(a+2)x 2与抛物线2 1 2 yx 的形状相同; (4)函数 2 aa yax 的图象是开口向上的抛物线 【思路点拨】根据二次函数 y= 2 ax(a0)的图形和性质,结合草图解决问题. 【答案与解析】 (1)由题意得,a-20,解得 a2 (2)由题意得,3a-20,解得 2 3 a (3)由题意得, 1 |2| 2 a ,解得 1 5 2 a , 2 3 2 a (4)由题意得, 2 2 0 aa a ,解得 a1-2,a21,但 a0,a1 【总结升华】解答此类问题,要注意联想二次函数的

11、图象和性质,抓住形状、开口、最值、增减性等特 征,并结合草图去确定二次项系数的取值范围 举一反三:举一反三: 【变式变式】二次函数 ymx 2 2 m 有最高点,则 m_ 【答案】-2. 3. 二次函数 2 2 3 yx的图象如图所示,点 A0位于坐标原点,点 A1,A2,A3,A2013在 y 轴的正半 轴上, 点 B1, B2, B3, , B2013在二次函数 2 2 3 yx位于第一象限的图象上, 若A0B1A1, A1B2A2, A2B3A3, , A2012B2013A2013都为等边三角形,求A2012B2013A2013的边长 第 6 页 共 8 页 【思路点拨】分别求出A0A

12、1B1,A1A2B2,A2A3B3的边长,找出边长的变化规律. 【答案与解析】 如图所示,作 B1C1y 轴,垂足为 C1 A0A1B1为等边三角形,A0B1C130 设 A0C1a,则 A0B12a,B1C13aB1(3a,a), 2 2 ( 3 ) 3 aa, 1 2 a , 01 1A B 作 B2C2y 轴,设 A1C2m,则 A1B22m,C2B23m, 2( 3 ,1 )Bmm 2 2 1( 3 ) 3 mm 2m 2-m-10, 即(2m+1)(m-1)0,m1 或 1 2 (舍) A1B22 同理可求 A2B33,A3B44, A2012B2013A2013的边长为 2013

13、【总结升华】在A0A1B1,A1A2B2,A2A3B3中,运用勾股定理表示出 B1、B2、B3的坐标,利用抛物线解 析式 2 2 3 yx建立等式是关键. 类型类型二二、二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+c(a +c(a0)0)的图象的图象与与性质性质 4.若二次函数 2 yaxc,当x取 12 ,x x( 12 xx)时,函数值相等,则当x取 12 xx时,函数值为 第 7 页 共 8 页 ( ) A.a+c B.a-c C.-c D.c 【思路点拨】根据函数 2 yaxc的图象的对称性来解题. 【答案】D; 【解析】函数 2 yaxc的图象关于 y 轴对称,当 x 取 12 ,x

14、 x( 12 xx)时,函数值相等,说明 12 ,x x关 于对称轴(y 轴)对称,因此 12 xx=0.当 x=0 时,y=c,所以答案选 D. 【总结升华】充分利用好函数的对称性是解决此题的关键. 举一举一反三:反三: 【变式变式】如图所示,抛物线 2 (0)yaxc a交 x 轴于 G、F,交 y 轴于点 D,在 x 轴上方的抛物线上有 两点 B、E,它们关于 y 轴对称,点 G、B 在 y 轴左侧,BAOG 于点 A,BCOD 于点 C四边形 OABC 与四 边形 ODEF 的面积分别为 6 和 10,则ABG 与BCD 的面积之和为_ 【答案】4.(提示:10-6=4.) 5.有一个

15、抛物线形的拱形隧道,隧道的最大高度为 6m,跨度为 8m,把它放在如图所示的平面直角 坐标系中 (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)若要在隧道壁上点 P(如图)安装一盏照明灯,灯离地面高 4.5m求灯与点 B 的距离 【思路点拨】 (1)根据抛物线在坐标系的位置可设解析式:y=ax 2+6,把点 A(-4,0)代入即可; (2) 灯离地面高 4.5m,即 y=4.5 时,求 x 的值,再根据 P 点坐标,勾股定理求 PB 的值. 【答案与解析】 第 8 页 共 8 页 解:(1)由题意,设抛物线所对应的函数关系为 y=ax 2+6(a0), 点 A(-4,0)或 B(4,0)在抛物线上, 0=a(-4) 2+6, 16a+6=0,16a=-6, 3 8 a 故抛物线的函数关系式为 2 3 6 8 yx . . (2)过点 P 作 PQAB 于 Q,连接 PB,则 PQ=4.5m 将 y=4.5 代入 2 3 6 8 yx ,得 x=2 P(-2,4.5),Q(-2,0), 于是|PQ|=4.5,|BQ|=6, 从而|PB|= 22 4.567.5m 所以照明灯与点 B 的距离为 7.5m 【总结升华】本题考查建系确定点的坐标,应用二次函数解决实际问题,建系的方法不唯一.