1、第 1 页 共 5 页 二次函数二次函数的概念的概念知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念； 2.了解表示函数的三种方法解析法、列表法和图像法； 3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围； 4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、函数的概念函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，对于自变量 x 在某一范围内的每一个确定值， y 都有惟一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数. 对于自变量 x 在可以取值范围内的
2、一个确定的值 a，函数 y 有惟一确定的对应值，这个对应值叫做 当 x=a 时函数的值，简称函数值. 要点诠释：要点诠释： 对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 x 允许取的每一个值，y 是否都有惟一确定的值 与它相对应； （3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际 问题有意义. 要点二要点二、函数的三种函数的三种表示表示方法方法 表示函数的方法，常见的有以下三种： （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式， （或解析式） ，用数学式
3、子表示函数 的方法称为解析法. （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：要点诠释： 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系， 但较抽象， 不是所有 的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值 带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而 且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 对照表如下： 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 第 2 页 共 5 页 列表法 解析式法 图象法 要点要
4、点三三、二次函数的概念二次函数的概念 一般地，形如 y=ax 2+bx+c（a, b, c 是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数. 若 b=0，则 y=ax 2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特 殊形式，而 y=ax 2+bx+c（a0）是二次函数的一般式. 要点诠释：要点诠释： 如果 y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数这里，当 a=0 时就不是二次函 数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、函数的函数的相关相关概念概念 1、
5、如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“y都有惟一确定的值” ，x与y之间的对应，可以是“一对 一” ，也可以是“多对一” ，不能是“一对多”. 【答案】C； 【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，不构成函数关系 【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一 确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 举一反三：举一反三： 【变式】下列等式中，y是x的函数有（ ）个. 22 320,1,|,|xyxyyxyxxy
6、 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 22 1,xy 当x取 2 时， y 有两个值 3 与它对应，对于 |xy ，当x取 2 时， y 有两个值2 和它对应，所以这两个式子不 满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与 x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义. 2、求出下列函数中自变量x的取值范围. （1） 5 2 xxy （2） 4 23 x y x （3） 23yx 第 3 页 共 5 页 （4） 21 x y x （5） 3 1 2yx （6） 3 2 x y x 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x
7、的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的 分母不为零等等. 【答案与解析】 解： （1） 5 2 xxy ，x为任何实数，函数都有意义； （2） 4 23 x y x ，要使函数有意义，需 2x30，即x 3 2 ； （3） 23yx，要使函数有意义，需 2x30，即 3 2 x ； （4） 21 x y x ，要使函数有意义，需 2x10，即 1 2 x ； （5） 3 1 2yx，x为任何实数，函数都有意义； （6） 3 2 x y x ，要使函数有意义，需 30 20 x x ，即x3 且x2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况. 3、若y与x的关系
8、式为 2 -+4 +5yxx，当x2 时，y的值为（ ） A8 B9 C10 D11 【思路点拨】把2x代入关系式即可求得函数值. 【答案】B； 【解析】 2 24 259y . 【总结升华】y是x的函数，如果当xa时yb，那么b叫做当自变量为a时的函数值. 类型二、类型二、函数的三种表示方法函数的三种表示方法 4、一水库的水位在最近 5 小时内持续上涨，下表记录了这 5 小时的水位高度 t/时 0 1 2 3 4 5 y/米 10 1005 1010 1015 1020 1025 (1)由记录表推出这 5 小时中水位高度 y（米）随时间 t（时）变化的函数解析式，并画出函数图 象(2)据估计
9、这种上涨的情况还会持续 2 小时，预测再过 2 小时水位高度将达到多少米？ 【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】 解：(1)由表中观察到开始水位高 10 米，以后每隔 1 小时，水位升高 005 米，这样的规律可以表示 第 4 页 共 5 页 为：y=0.05t+10（0t7） 这个函数的图象如下图所示： (2)再过 2 小时的水位高度，就是 t=5+2=7 时，y=0.05t+10 的 函数值，从解析式容易算出：y=0.057+10=10.35,从函数图 象也能得出这个值数 答：2 小时后，预计水位高 10.35 米 【总结
10、升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、类型三、二次函数的概念二次函数的概念 5、下列函数中，是关于 x 的二次函数的是_(填序号) (1)y-3x 2；(2)2 1 yx x ；(3)y3x 2-4-x3； (4)2 1 2 3 yx ；(5)yax 2+3x+6； (6) 2 23yxx 【思路点拨】抓住二次函数的定义进行判断：自变量的最高次数为 2，二次项系数不为 0. 【答案】(1)、(4)； 【解析】紧扣二次函数的定义去判断，(1)、(4)符合二次函数的条件； (2)中不是关于 x 的整式，而是分式；(3)中 x 的最高次数不是 2，而是 3； (5)
11、中二次项系数 a 可能为 0； (6)中 2 2xx不是整式而是根式， 所以(2)、(3)、(5)、(6)均不符合二次函数的条件 【总结升华】 判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为 2； (3)二次项系数不为 0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为 0 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】下列函数中，是二次函数的是（ ) A. 2 2xy B. x xy 1 2 C. 22 )2(xxy D.12 3 xxy 第 5 页 共 5 页 【答案】A 【变式变式 2 2】如果函数 2 32 (3)1 mm ymxmx 是二次函数，求 m 的值 【答案】根据题意，得 2 322, 30, mm m 解得 m0