1、 第 1 页 共 6 页 弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图-知识讲解知识讲解（提高）（提高） 【学习目标】【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n的圆心角所对的弧长和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问 题； 3. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、弧长公式弧长公式 半径为 R 的圆中 360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释：要点诠释： (1)对
2、于弧长公式，关键是要理解 1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的表示 1圆心角的倍数，故和 180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求 出第三个量. 要点二、要点二、扇形面积公式扇形面积公式 1.1.扇形的定义扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.2.扇形面积公式扇形面积公式 半径为 R 的圆中 360的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释：要点诠释： (1)对 于 扇形 面 积公 式 ， 关键 要 理解 圆心
3、 角 是 1 的 扇形 面积 是 圆 面积 的， 即 ； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式， 可根据题目条件灵活选择使用， 它与三角形面积公式有点 类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 要点三、要点三、圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 第 2 页 共 6 页 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为 ，底面半径为 r，侧面展开图中的扇形圆心角为 n，则 圆锥的侧面积 2 360 l Srl 扇 n =， 圆锥的全面积. 要点诠释：要点诠
4、释： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求 展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【典型典型例题】例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算类型一、弧长和扇形的有关计算 1. 如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB、AC 的夹角为 120，BC的长为 20cm， 那么 AB 的长是多少? 【答案与解析】 180 n R l ， 120 20 180 R 解得 R30 cm 答：AB 的长为 30cm 【总结升华】由弧长公式 180 n R l 知，已知l、n，可求 R 举一反三：举一反三： 【变式变式】一个圆柱的侧面展开图是相
5、邻边长分别为 10 和 16 的矩形，则该圆柱的底面圆半径 是 【答案】由圆柱的侧面展示图知：2r=10 或 2r=16，解得 58 .r 或 2.如图所示，矩形 ABCD 中，AB1，AD3，以 BC 的中点 E 为圆心的MPN与 AD 相切于点 P， 则图中阴影部分的面积是多少? 第 3 页 共 6 页 【答案与解析】 BCAD3， 3 2 BE 连接 PE， AD 切E 于 P 点， PEAD AB90 四边形 ABEP 为矩形， PEAB1 在 RtBEM 中， 3 3 2 12 BE ME ，BEM30 同理CEN30， MEN180-302120 22 1201 3603603 n
6、 R S 扇形 【总结升华】由MPN与 AD 相切，易求得扇形 MEN 的半径，只要求出圆心角MEN 就可以利用扇形面积 公式求得扇形 MEN 的面积 举一反三：举一反三： 【变式变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ） A3:2 B3:1 C5:3 D2:1 【答案】D； 【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，S底=r 2，S 侧= 2r2r=2r 2，S 侧：S底=2r 2：r2=2：1 类型二、圆锥面积的计算类型二、圆锥面积的计算 3. 如图（1） ，从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形 （1）求这个扇形的面积（结果保留） （2） 在剩下的
7、三块余料中， 能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说 明理由 （3）当O 的半径(0)R R 为任意值时， （2）中的结论是否仍然成立？请说明理由 【答案与解析】 图（1） A B C O 第 4 页 共 6 页 （1）连接BC，如图（2） ，由勾股定理求得： 2ABAC 2 1 3602 n R S （2）连接AO并延长，与弧BC和O交于EF， 22EFAFAE 弧BC的长： 2 1802 n R l ， 图（2） 2 2 2 r 圆锥的底面直径为： 2 2 2 r 2 22 2 ，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 （3） （2）中的结论仍然成立. 由勾股
8、定理求得：2ABACR 弧BC的长： 2 1802 n R lR 2 2 2 rR 圆锥的底面直径为： 2 2 2 rR 22(22)EFAFAERRR 2 22 2 且0R 2 (22) 2 RR 即无论半径R为何值，2EFr 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 【总结升华】（1）连接 BC、OA，由于BAC=90，根据圆周角定理知 BC 为O 的直径，根据等腰三角 形的性质即可求出 AB、AC 的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为 90，根据扇形 的面积公式即可求出扇形的面积 A B C O E F 第 5 页 共 6 页 （2）过 A 作O 的直径 AF，求出以 FE
9、为直径的圆的周长，若此圆的周长弧 BC 的长，则 不能围成圆锥，反之则能 类型三、组合图形面积的计算类型三、组合图形面积的计算 4. 在栽植农作物时，一个很重要的问题是“合理密植”，如图是栽植一种蔬菜时的两种方法，A， B，C，D 四株顺次连接成为一个菱形，且 AB=BD；A，B，C，D四株连接成一个正方形，这两种 图形的面积为四株作物所占的面积两行作物间的距离为行距，一行中相邻两株作物的距离为株距设 这种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面 积表示生长后空隙地面积，在株距都为 a，其他客观因素也相同的条件下，请从栽植的行距、蔬菜所占 的面积，
10、充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法，哪种方法能更充分地利用土地？ 【答案与解析】 连接 AC 交 BD 于点 O，在菱形 ABCD 中，有 AB=AD，ACBD，BO= BD， AB=BD=a， BO=OD= a， 在 RtAOD 中，AO=a， 第 6 页 共 6 页 S菱形=2 BDAO=a 2， S正方形 ABCD=a 2 设方法（1）中的空隙地面积为 S1，方法（2）中的空隙地面积为 S2， 则 S1=S菱形 ABCD-SA=a 2- a2，S 2=S正方形 ABCD-SA=a 2- a2， S1S2， 栽植方法（1）比栽植方法（2）更能充分利用土地 【总结升华】此题综合性较强，考查了菱形、正方形的性质及面积计算，以及扇形面积的计算先求菱 形和正方形的面积，再求阴影部分的面积，比较即可