1、 第 1 页 共 10 页 锐角三角函数全章复习与巩固锐角三角函数全章复习与巩固-知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30、 45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数； 2能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角 的度数； 3理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的
2、有关知识解决简单的实际问题； 4通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习， 体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、锐角三角函数锐角三角函数 1.1.正弦、余弦、正切的定义正弦、余弦、正切的定义 如右图、在 RtABC 中，C=90，如果锐角 A 确定： (1)sinA=，这个比叫做A 的正弦. (2)cosA=，这个比叫做A 的余弦. (3)tanA=，这个比叫做A 的正切. 要点诠释：要点诠释： (1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的
3、，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值， 其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“”， 但不能写成 sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应 第 2 页 共 10 页 写成 sinBAC，而不能写出 sinBAC. (3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成 sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成等. 2.2.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数. 要点诠释：要点诠释： 1.
4、 函数值的取值范围 对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是A 的函数.同样，cosA、 tanA 也是A 的函数，其中A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量A 的取值范 围是 0A90，函数值的取值范围是 0sinA1，0cosA1，tanA0. 2锐角三角函数之间的关系： 余角三角函数关系：“正余互化公式” 如A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函数关系：sin 2Acos2A=1；tanA= 3.30、45、60角的三角函数值 A 30 45 60 sinA cosA ta
5、nA 1 30、45、60角的三角函数值和解 30、60直角三角形和解 45直角三角形为本章重中之重， 是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、要点二、解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 角角关系：两锐角互余，即A+B=90； 边边关系：勾股定理，即； 第 3 页 共 10 页 边角关系：锐角三角函数，即 要点诠释：要点诠释： 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； (2)已知一条边
6、和一个锐角(一直角边和一锐角； 斜边和一锐角) 这两种情形的共同之处： 有一条边 因 此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边 要点三、要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量 关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.1.解这类问题的一般过程解这类问题的一般过程 (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几 何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问 题. (
7、3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 2.2.常见应用问题常见应用问题 (1)坡度：； 坡角:. (2)方位角： (3)仰角与俯角： 第 4 页 共 10 页 要点诠释：要点诠释： 1解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 RtABC 两 边 两直角边(a，b) 由求A， B=90A， 斜边，一直角边(如 c，a) 由求A， B=90A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如A，b) B=90A， ， 锐角、对边 (如A，a) B=90A，
8、， 斜边、锐角(如 c，A) B=90A， ， 2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系 转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际 问题抽象为数学问题 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解 第 5 页 共 10 页 3锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角
9、三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁. 如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单： 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、锐角三角函数锐角三角函数 1(1)如图所示，P 是角的边上一点，且点 P 的坐标为(-3，4)，则 sin( ) A 3 5 B 4 5 C 4 5 D2 例 1（1）图 例 1（2）图 (2)在正方形网格中，AOB 如图所示放置，则 cosAOB 的值为( ) A. 5 5 B. 2 5 5 C. 1 2 D.2 【答案】(1)C； (2)A； 【解析】 (1)由图象知 OA3，PA4，在 RtPAO 中 2222 345OPOAPA 4 si
10、n 5 PA OP 所以选 C (2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形 RtOCD，且 OC1，CD2，则 OD5 第 6 页 共 10 页 因此 15 cos 55 OC AOB OD 所以选 A 【点评】两小题都没有出现现成的直角三角形O 分别置于直角坐标系和正方形网格之中，通过观察图 形，构造含O 的直角三角形 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知，如图，D是ABC中BC边的中点，90BAD， 2 tan 3 B ，求sinDAC A BC D 【答案】 过 D 作 DEAB 交 AC 于 E，则ADE=BAD=90， 由 2 tan 3 B ，得 2 , 3 AD AB 设 A
11、D=2k,AB =3k, D是ABC中BC边的中点，DE = 3 , 2 k 在 RtADE 中， 5 , 2 AEk 3 3 2 sin. 5 5 2 k DE DAC AE k 类型二、类型二、 特殊角三特殊角三角函数值的计算角函数值的计算 2先化简，再求代数式 2 31 1 22 x xx 的值，其中4sin452cos60x 【答案与解析】 原式 121 2(1)(1)1 xx xxxx 而 21 4sin452cos60422 21 22 x 原式 12 42 2 【点评】 先进行分式化简，再由 21 sin45,cos60 22 得 x 的值，最后代值求出结果 第 7 页 共 10
12、 页 举一反三：举一反三： 【变式】变式】计算：tan 230cos230sin245tan45 【答案】原式= 222 332 () +()()1 322 = 131 + 342 = 7 12 类型三、类型三、 解直角三角形解直角三角形 3如图所示，菱形 ABCD 的周长为 20 cm，DEAB，垂足为 E， 3 sin 5 A ，则下列结论正确的 个（ ） DE3 cm；BE1 cm；菱形的面积为 15 cm 2；BD2 10 cm A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C； 【解析】由菱形的周长为 20 cm 知菱形边长是 5 cm 在 RtADE 中， AD5 cm，sin
13、A 3 5 ， DEADsinA 3 53 5 (cm) 22 4AEADDE(cm) BEABAE541(cm) 菱形的面积为 ABDE5315(cm 2) 在 RtDEB 中， 2222 3110BDDEBE(cm) 综上所述正确故选 C 【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四类型四 、锐角三角函数锐角三角函数与与相关知识相关知识的综合的综合 4如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的O 经过点 D，E 是O 上一点， 且AED45 第 8 页 共 10 页 (1)试判断 CD 与O 的关系，并说明理由 (2)若O 的半径为 3 cm， ，
14、AE5 cm求ADE 的正弦值 【思路点拨】 (1)连接 OD，可证 ODCD，所以 CD 与O 相切； (2)连接 BE，则ADEABE，所以 sinADEsinABE AE AB 【答案与解析】 (1)CD 与O 相切 理由：如图所示，连接 OD， 则AOD2AED24590 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， CDOAOD90， ODCD，CD 与O 相切 (2)如图所示，连接 BE，则ADEABE AB 是O 的直径， AEB90，AB236(cm) 在 RtABE 中， 5 sin 6 AE ABE AB sinADEsinABE 5 6 AE AB 【点评】证明某直线是圆
15、的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直第(2)题 通过作辅助线 BE，将问题巧妙转化为 RtABE 的边角关系在圆的有关证明中若有直径，一般要 利用“直径所对的圆周角等于 90”这一性质构造直角三角形 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，C、D是半圆O上两点， 5 11 CD AB ，求cosCEB和tanCEB AB C D E O 【答案】如图，连结 BC，则ACB=90，易证ECDEBA， CECD5 = EBAB11 ，cosCEB= 5 . 11 CE = EB tanCEB= 4 6 . 5 BC = CE 类型五、三角函数与实际问题类型五、三角函数与实际
16、问题 第 9 页 共 10 页 5如图所示，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离(结果保留根号) 【思路点拨】 由题意知ABP 中A60，B45，APB75联想到两个三角板拼成的三角形因此很自 然作 PCAB 交 AB 于 C 【答案与解析】 过点 P 作 PCAB 垂足为 C，则APC30，BPC45，AP80， 在 RtAPC 中，cos PC APC PA PCPAcosAPC40 3， 在 RtPCB 中，cos P
17、C BPC PB ， 40 3 40 6 coscos45 PC PB BPC 当轮船位于灯塔 P 南偏东 45方向时，轮船与灯塔 P 的距离是40 6海里 【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过 75(或 105)角的顶点向对边作垂线 是解决问题的关键 6为倡导“低碳生活” ，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆 CE 的长为 20cm，点 A、C、E 在同一条直线上， 且CAB75，如图所示 (1)求车架档 AD 的长； (2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离 (结果精确到 1cm，参考数据：sin750.959，cos750.2588，tan753.7321) 【思路点拨】 第 10 页 共 10 页 过 E 作 EFAB 于 F，在 RtAEF 中，AEAC+CE65，CAB75，利用sin75 EF AE ， 可求 EF 【答案与解析】 (1)在 RtACD 中， 22 456075AD 车架档 AD 的长为 75cm (2)过点 E 作 EFAB 于 F，sinEAF EF AE ， EFAEsinEAF(45+20)sin7563cm， 车座点 E 到车档架 AB 的距离是 63cm 【点评】考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义.