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北京四中九年级下册数学锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

1、 第 1 页 共 10 页 锐角三角函数全章复习与巩固锐角三角函数全章复习与巩固-知识讲解知识讲解(基础)(基础) 【学习目标】【学习目标】 1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比;记忆 30、 45、60的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数; 2能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角 的度数; 3理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的

2、有关知识解决简单的实际问题; 4通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,通过解直角三角的学习, 体会数学在解决实际问题中的作用,并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、锐角三角函数锐角三角函数 1.1.正弦、余弦、正切的定义正弦、余弦、正切的定义 如右图、在 RtABC 中,C=90,如果锐角 A 确定: (1)sinA=,这个比叫做A 的正弦. (2)cosA=,这个比叫做A 的余弦. (3)tanA=,这个比叫做A 的正切. 要点诠释:要点诠释: (1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的

3、,其本质是两条线段的比值,它只是一个数值, 其大小只与锐角的大小有关,而与所在直角三角形的大小无关. (2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号,即表示A 三个三角函数值,书写时习惯上省略符号“”, 但不能写成 sinA,对于用三个大写字母表示一个角时,其三角函数中符号“”不能省略,应 第 2 页 共 10 页 写成 sinBAC,而不能写出 sinBAC. (3)sin 2A 表示(sinA)2,而不能写成 sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成等. 2.2.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数. 要点诠释:要点诠释: 1.

4、 函数值的取值范围 对于锐角 A 的每一个确定的值,sinA 有唯一确定的值与它对应,所以 sinA 是A 的函数.同样,cosA、 tanA 也是A 的函数,其中A 是自变量,sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量A 的取值范 围是 0A90,函数值的取值范围是 0sinA1,0cosA1,tanA0. 2锐角三角函数之间的关系: 余角三角函数关系:“正余互化公式” 如A+B=90, 那么:sinA=cosB; cosA=sinB; 同角三角函数关系:sin 2Acos2A=1;tanA= 3.30、45、60角的三角函数值 A 30 45 60 sinA cosA ta

5、nA 1 30、45、60角的三角函数值和解 30、60直角三角形和解 45直角三角形为本章重中之重, 是几何计算题的基本工具,三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、要点二、解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如图: 角角关系:两锐角互余,即A+B=90; 边边关系:勾股定理,即; 第 3 页 共 10 页 边角关系:锐角三角函数,即 要点诠释:要点诠释: 解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形: (1)已知两条边(一直角边和一斜边;两直角边); (2)已知一条边

6、和一个锐角(一直角边和一锐角; 斜边和一锐角) 这两种情形的共同之处: 有一条边 因 此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边 要点三、要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量 关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.1.解这类问题的一般过程解这类问题的一般过程 (1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几 何图形,建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问 题. (

7、3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 2.2.常见应用问题常见应用问题 (1)坡度:; 坡角:. (2)方位角: (3)仰角与俯角: 第 4 页 共 10 页 要点诠释:要点诠释: 1解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 RtABC 两 边 两直角边(a,b) 由求A, B=90A, 斜边,一直角边(如 c,a) 由求A, B=90A, 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如A,b) B=90A, , 锐角、对边 (如A,a) B=90A,

8、, 斜边、锐角(如 c,A) B=90A, , 2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是: 把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形),就是要舍去实际事物的具体内容,把事物及它们的联系 转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系 借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义,也有助于把实际 问题抽象为数学问题 当需要求解的三角形不是直角三角形时,应恰当地作高,化斜三角形为直角三角形再求解 第 5 页 共 10 页 3锐角三角函数的应用 用相似三角形边的比的计算具有一般性,适用于所有形状的三角形,而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题,所以在直角

9、三角形中先考虑三角函数,可以使过程简洁. 如:射影定理不能直接用,但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单: 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、锐角三角函数锐角三角函数 1(1)如图所示,P 是角的边上一点,且点 P 的坐标为(-3,4),则 sin( ) A 3 5 B 4 5 C 4 5 D2 例 1(1)图 例 1(2)图 (2)在正方形网格中,AOB 如图所示放置,则 cosAOB 的值为( ) A. 5 5 B. 2 5 5 C. 1 2 D.2 【答案】(1)C; (2)A; 【解析】 (1)由图象知 OA3,PA4,在 RtPAO 中 2222 345OPOAPA 4 si

10、n 5 PA OP 所以选 C (2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形 RtOCD,且 OC1,CD2,则 OD5 第 6 页 共 10 页 因此 15 cos 55 OC AOB OD 所以选 A 【点评】两小题都没有出现现成的直角三角形O 分别置于直角坐标系和正方形网格之中,通过观察图 形,构造含O 的直角三角形 举一反三:举一反三: 【变式变式】已知,如图,D是ABC中BC边的中点,90BAD, 2 tan 3 B ,求sinDAC A BC D 【答案】 过 D 作 DEAB 交 AC 于 E,则ADE=BAD=90, 由 2 tan 3 B ,得 2 , 3 AD AB 设 A

11、D=2k,AB =3k, D是ABC中BC边的中点,DE = 3 , 2 k 在 RtADE 中, 5 , 2 AEk 3 3 2 sin. 5 5 2 k DE DAC AE k 类型二、类型二、 特殊角三特殊角三角函数值的计算角函数值的计算 2先化简,再求代数式 2 31 1 22 x xx 的值,其中4sin452cos60x 【答案与解析】 原式 121 2(1)(1)1 xx xxxx 而 21 4sin452cos60422 21 22 x 原式 12 42 2 【点评】 先进行分式化简,再由 21 sin45,cos60 22 得 x 的值,最后代值求出结果 第 7 页 共 10

12、 页 举一反三:举一反三: 【变式】变式】计算:tan 230cos230sin245tan45 【答案】原式= 222 332 () +()()1 322 = 131 + 342 = 7 12 类型三、类型三、 解直角三角形解直角三角形 3如图所示,菱形 ABCD 的周长为 20 cm,DEAB,垂足为 E, 3 sin 5 A ,则下列结论正确的 个( ) DE3 cm;BE1 cm;菱形的面积为 15 cm 2;BD2 10 cm A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C; 【解析】由菱形的周长为 20 cm 知菱形边长是 5 cm 在 RtADE 中, AD5 cm,sin

13、A 3 5 , DEADsinA 3 53 5 (cm) 22 4AEADDE(cm) BEABAE541(cm) 菱形的面积为 ABDE5315(cm 2) 在 RtDEB 中, 2222 3110BDDEBE(cm) 综上所述正确故选 C 【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四类型四 、锐角三角函数锐角三角函数与与相关知识相关知识的综合的综合 4如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,以 AB 为直径的O 经过点 D,E 是O 上一点, 且AED45 第 8 页 共 10 页 (1)试判断 CD 与O 的关系,并说明理由 (2)若O 的半径为 3 cm, ,

14、AE5 cm求ADE 的正弦值 【思路点拨】 (1)连接 OD,可证 ODCD,所以 CD 与O 相切; (2)连接 BE,则ADEABE,所以 sinADEsinABE AE AB 【答案与解析】 (1)CD 与O 相切 理由:如图所示,连接 OD, 则AOD2AED24590 四边形 ABCD 是平行四边形, ABDC, CDOAOD90, ODCD,CD 与O 相切 (2)如图所示,连接 BE,则ADEABE AB 是O 的直径, AEB90,AB236(cm) 在 RtABE 中, 5 sin 6 AE ABE AB sinADEsinABE 5 6 AE AB 【点评】证明某直线是圆

15、的切线,一般要连接过切点的半径,然后证明该半径与已知直线垂直第(2)题 通过作辅助线 BE,将问题巧妙转化为 RtABE 的边角关系在圆的有关证明中若有直径,一般要 利用“直径所对的圆周角等于 90”这一性质构造直角三角形 举一反三:举一反三: 【变式变式】如图,C、D是半圆O上两点, 5 11 CD AB ,求cosCEB和tanCEB AB C D E O 【答案】如图,连结 BC,则ACB=90,易证ECDEBA, CECD5 = EBAB11 ,cosCEB= 5 . 11 CE = EB tanCEB= 4 6 . 5 BC = CE 类型五、三角函数与实际问题类型五、三角函数与实际

16、问题 第 9 页 共 10 页 5如图所示,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向,与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处,它 沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处,求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离(结果保留根号) 【思路点拨】 由题意知ABP 中A60,B45,APB75联想到两个三角板拼成的三角形因此很自 然作 PCAB 交 AB 于 C 【答案与解析】 过点 P 作 PCAB 垂足为 C,则APC30,BPC45,AP80, 在 RtAPC 中,cos PC APC PA PCPAcosAPC40 3, 在 RtPCB 中,cos P

17、C BPC PB , 40 3 40 6 coscos45 PC PB BPC 当轮船位于灯塔 P 南偏东 45方向时,轮船与灯塔 P 的距离是40 6海里 【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题,过 75(或 105)角的顶点向对边作垂线 是解决问题的关键 6为倡导“低碳生活” ,常选择以自行车作为代步工具,如图所示是一辆自行车的实物图,车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm,60cm,且它们相互垂直,座杆 CE 的长为 20cm,点 A、C、E 在同一条直线上, 且CAB75,如图所示 (1)求车架档 AD 的长; (2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离 (结果精确到 1cm,参考数据:sin750.959,cos750.2588,tan753.7321) 【思路点拨】 第 10 页 共 10 页 过 E 作 EFAB 于 F,在 RtAEF 中,AEAC+CE65,CAB75,利用sin75 EF AE , 可求 EF 【答案与解析】 (1)在 RtACD 中, 22 456075AD 车架档 AD 的长为 75cm (2)过点 E 作 EFAB 于 F,sinEAF EF AE , EFAEsinEAF(45+20)sin7563cm, 车座点 E 到车档架 AB 的距离是 63cm 【点评】考查解直角三角形的应用,勾股定理,锐角三角函数定义.