1、第 1 页 共 6 页 锐角三角函数锐角三角函数知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1结合图形理解记忆锐角三角函数定义; 2会推算 30、45、60角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 如图所示,在 RtABC 中,C90,A 所对的边 BC 记为 a,叫做A 的对边,也叫做B 的邻 边,B 所对的边 AC 记为 b,叫做B 的对边,也是A 的邻边,直角 C 所对的边 AB 记为 c,叫做斜边 锐角 A 的对边与
2、斜边的比叫做A 的正弦,记作 sinA,即sin Aa A c 的对边 斜边 ; 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作 cosA,即cos Ab A c 的邻边 斜边 ; 锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作 tanA,即tan Aa A Ab 的对边 的邻边 . . 同理sin Bb B c 的对边 斜边 ;cos Ba B c 的邻边 斜边 ;tan Bb B Ba 的对边 的邻边 要点诠释:要点诠释: (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线 段的比值角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化 (2)si
3、nA,cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成, ,不能理解成 sin 与A,cos 与A,tan 与A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的 记号“”,但对三个大写字母表示成的角(如AEF),其正切应写成“tanAEF”,不能写成 “tanAEF”;另外,、常写成、 (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在 (4)由锐角三角函数的定义知: 当角度在 0A90间变化时,tanA0 要点二、要点二、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 A B C a b c 第 2 页 共 6 页 利用三角函数的定义,可求出 30、45、60角的各三角
4、函数值,归纳如下: 锐角 30 45 1 60 要点诠释:要点诠释: (1)通过该表可以方便地知道 30、45、60角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知 道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角 (2)仔细研究表中数值的规律会发现: 、的值依次为、,而、的值的 顺序正好相反,、的值依次增大,其变化规律可以总结为: 正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小); 余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大) 要点三、要点三、锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系 如图所示,在 RtABC 中,C=90 (1)互余关系:,; (2)平方关系:
5、; (3)倒数关系:或; (4)商数关系: 要点诠释:要点诠释: 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算 时巧用这些关系式可使运算简便 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、锐角三角函数值的求解策略锐角三角函数值的求解策略 第 3 页 共 6 页 1如图所示,在 RtABC 中,C90,AB13,BC5,求A,B 的正弦、余弦、正切值 【答案与解析】 在 RtABC 中,C90 AB13,BC5 2222 13512ACABBC 5 sin 13 BC A AB , 12 cos 13 AC A AB , 5 tan 12 BC A AC ;
6、12 sin 13 AC B AB , 5 cos 13 BC B AB , 12 tan 5 AC B BC 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边,再运用锐角三角函数的定义求值 举一反三:举一反三: 【变式】变式】在RtRt ABCABC中, C=90C=90 ,若a=3a=3,b=4b=4,则c =c = , sinA =sinA = , cosA =cosA = ,sinB=sinB= , cosB=cosB= 【答案】c =c = 5 ,sinA =sinA = 3 5 , cosA =cosA = 4 5 ,sinB=sinB= 4 5 , cosB=cosB= 3 5 类型二
7、、类型二、特殊角的三角函数值的计算特殊角的三角函数值的计算 2求下列各式的值: (1)sin30-2cos60+tan45; (2) tan30sin30 tan45tan60 ; (3) 1 0 1 (13)|1 sin30 | 2 【答案与解析】 (1)原式 111 21 222 ; A B C a b c 第 4 页 共 6 页 (2)原式 31 1 32 613 ; (3)原式 115 11212 222 【总结升华】 熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值, 先代入特殊角的三角函数值, 再进行化简 举一反三:举一反三: 【变式】变式】在RtRt ABCABC中, C=9
8、0C=90 ,若A=45,则 B =B = , sinA =sinA = , cosA =cosA = ,sinB=sinB= , cosB=cosB= 【答案】 B =B =4545,sinA =sinA = 2 2 , cosA =cosA = 2 2 ,sinB=sinB= 2 2 , cosB=cosB= 2 2 类型三、类型三、锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系 3(1)求锐角; (2)已知求锐角 【答案与解析】 (1)先将已知方程变形后再求解 锐角=30 (2)先将已知方程因式分解变形 锐角=45 【总结升华】要求等式中的锐角,只需求得这个角的三角函数值,运用换元的方法,
9、把角的三角函数看 第 5 页 共 6 页 作未知数,解方程求得它的解(值),然后再求这个锐角 类型四、类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用锐角三角函数的拓展探究与应用 4如图所示,AB 是O 的直径,且 AB10,CD 是O 的弦,AD 与 BC 相交于点 P, 若弦 CD6,试求 cosAPC 的值 【答案与解析】 连结 AC, AB 是O 的直径, ACP90, 又 BD,PABPCD, PCDPAB, PCCD PAAB 又 CD6,AB10, 在 RtPAC 中, 63 cos 105 PCCD APC PAAB 【总结升华】直角三角形中,锐角的三角函数等于两边的比值,当这个比值无法直
10、接求解,可结合相似 三角形的性质,利用对应线段成比例转换,间接地求出这个比值 锐角的三角函数是针对直角三角形而言的,故可连结 AC,由 AB 是O 的直径得ACB90, cos PC APC PA ,PC、PA 均为未知,而已知 CD6,AB10,可考虑利用PCDPAB 得 PCCD PAAB 5通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确 定,因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们 定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图 1,在ABC 中,ABAC,顶角 A 的正 对记作 sadA,这时sa
11、dA BC AB 底边 腰 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 的根据上述角的正对定义,解下列问题: (1)sad60_ (2)对于 0A180,A 的正对值 sadA 的取值范围是_ (3)如图 1,已知 sinA 3 5 ,其中A 为锐角,试求 sadA 的值 第 6 页 共 6 页 【答案与解析】 (1)1; (2)0sadA2; (3)如图 2 所示,延长 AC 到 D,使 ADAB,连接 BD 设 ADAB5a,由 3 sin 5 BC A AB 得 BC3a, 22 (5 )(3 )4ACaaa, CD5a-4aa, 22 (3 )10BDaaa, 10 sadA 5 BD AD 【总结升华】(1)将 60角放在等腰三角形中,底边和腰相等,故 sadA1;(2)在图中设想 ABAC 的长固定,并固定 AB 让 AC 绕点 A 旋转,当A 接近 0时,BC 接近 0,则 sadA 接近 0 但永远 不会等于 0,故 sadA0,当A 接近 180时,BC 接近 2AB,则 sadA 接近 2 但小于 2,故 sadA 2;(3)将A 放到等腰三角形中,如图 2 所示,根据定义可求解