1、第 1 页 共 6 页 圆周角圆周角和圆心角的关系和圆心角的关系知识讲解（提高）知识讲解（提高） 【学习目标】【学习目标】 1理解圆周角的概念了解圆周角和圆心角的关系； 2理解圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半； 3理解圆周角定理及推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90的圆周角 所对的弦是直径 4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展 学生合情推理能力和演绎推理能力 【要点梳理】【要点梳理】 要点一要点一、圆周角圆周角 1.1.圆周角定义：圆周角定义： 像图中AEB、ADB、ACB 这样的角
2、，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2.2.圆周角定理：圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半 3.3.圆周角定理的推论：圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 要点诠释：要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 角的外部（如下图） 第 2 页 共 6 页 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、圆周角、
3、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：如图所示，O 中弦 ABCD求证：ADBC 【思路点拨】 本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证 ADBC，只需证ADBC或证AODBOC 即 可 【答案与解析】 证法一：如图， ABCD， ABCD ABBDCDBD，即ADBC， ADBC 证法二：如图，连 OA、OB、OC、OD， ABCD， AOBCOD AOBDOBCODDOB， 即AODBOC， ADBC 【总结升华】 在同圆或等圆中， 证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等， 而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的
4、等弦进行推理 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，已知 AB 是O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CMAB，DNAB 求证：ACBD 第 3 页 共 6 页 【答案】 证法一：如上图所示，连 OC、OD，则 OCOD， OAOB，且 1 2 OMOA， 1 2 ONOB， OMON，而 CMAB，DNAB， RtCOMRtDON， COMDON， ACBD 证法二：如下图，连 AC、BD、OC、OD M 是 AO 的中点，且 CMAB， ACOC， 同理 BDOD，又 OCOD ACBD， ACBD 类型二、圆周角定理及应用类型二、圆周角定理及应用 2.如图，100AOB
5、，点 C 在O上，且点 C 不与 A、B 重合，则ACB的度数为（ ） A50 B80或50 C130 D50 或130 【思路点拨】分两种情况：点 C 在优弧 AB 上或点 C 在劣弧 AB 上. 第 4 页 共 6 页 【答案】D； 【解析】当点 C 在优弧 AB 上时，ACB =50； 当点 C 在劣弧 AB 上时，ACB =130，故选 D. 【总结升华】考查分类讨论思想. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，AB 是O 的弦，AOB80则弦 AB 所对的圆周角是 . 【答案】40或 140. 3.如图，AB 是O 的直径，C、D、E 都是O 上的点，则1+2=_. 【答案】90.
6、 【解析】如图，连接 OE，则 【总结升华】把圆周角转化到圆心角. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，A、B、C、D 是O 上的四点，且BCD=100，求1（所对的圆心角）和BAD 第 5 页 共 6 页 的大小 【答案】 BCD 和2 分别是所对的圆周角和圆心角 2=2BCD=200 又2+1=360，1=160 BAD 和1 分别是所对的圆周角和圆心角 4.已知，如图，O 上三点 A、B、C，ACB=60，AB=m，试求O 的直径长. 【答案与解析】 如图所示，作O 的直径 AC，连结 CB， 则ACB=C=60 又AC是O 的直径， ABC=90 即O 的直径为. 第 6 页 共 6 页 【总结升华】作出O 的直径，将 60、直径与 m 都转到一个直角三角形中求解. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，ABC 内接于O，C45，AB4，则O 的半径为（ ） A2 2 B4 C2 3 D5 【答案】A.