1、 第 1 页 共 6 页 多边形和圆的初步认识多边形和圆的初步认识（提高提高）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩； 2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形； 3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数； 4在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、多边形及正多边形多边形及正多边形 1 1 定义：定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形其 中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形如下图： 要点诠释：要点诠释： 正多边形必须同时满足“各
2、边相等” ， “各角相等”两个条件，二者缺一不可； 2 2相关概念：相关概念： 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角） ，一个 n 边形有 n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 要点诠释：要点诠释： (1)过 n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为 (3) 2 n n (2)过 n 边形的一个顶点的对角线可以把 n 边形分成(n-2)个三角形 3. 3. 多
3、边形的分类多边形的分类: : （1 1）凸多边形：）凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一 侧，那么这个多边形就是凸多边形，如下图 第 2 页 共 6 页 要点诠释：要点诠释： 如果没有特别说明，平时所说的多边形都是凸多边形 凸多边形按边数的不同又可分为三角形、四边形、五边形、六边形等 （2 2）凹多边形）凹多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形不在直线的同一侧， 这个多边形叫凹多边形如下图： 要点二要点二、圆、圆及扇形及扇形 1.1. 圆的定义圆的定义 (1)(1)动态：动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周
4、，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记 作“O” ，读作“圆 O” 要点诠释：要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二 者缺一不可. 圆是一条封闭曲线. (2)(2)静态：静态：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释：要点诠释： 定点为圆心，定长为半径. 圆指的是圆周，而不是圆面. 强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的 点的集合是球面，一个闭合的曲面. 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 等圆：圆心不同，半径相等
5、的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 2.2.扇形扇形 （1 1）圆弧：圆弧：圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧 AB” 或“弧 AB”. 如下图： （2 2）扇形的定义）扇形的定义：如上图，由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB 所组成的 凸多边形 凹多边形 第 3 页 共 6 页 图形叫做扇形. 要点诠释：要点诠释： （1）圆可以分割成若干个扇形. （2）圆心角：圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，AOB 是O 的一个圆心角，也是扇 形 OAB 的圆心角. （3 3）与扇形有关的计算）与扇形有关的计算 半径为 R 的圆中： n
6、的圆心角所对的扇形面积公式：； n的圆心角所对的扇形弧长公式： 180 n R l . 要点诠释：要点诠释： 在扇形中，扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角 n，扇形的弧长l这四个量知道其 中的两个量就可以求出其他量. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、多边形及正多边形多边形及正多边形 1同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还 剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】 解：这个问题，我们可以用图来说明 按图(1)所示方式去截，不经过点 B 和 D，还剩五个角，即得到一个五边形 按图(2)所示方式去截，经过点 D(或点
7、B)不经过点 B(或点 D)，还剩 4 个角，即得 到一个四边形 按图(3)所示方式去截，经过点 D、点 B，则剩下 3 个角，即得到三角形 答：余下的图形是五边形或四边形或三角形 【总结升华】 一个 n 边形剪去一个角后， 可能是(n+1)边形， 也可能是 n 边形， 也可能是(n-1) 边形，利用它我们可以解决一些具体问题 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，四边形 ABCD 中，B40，沿直线 MN 剪去B，则所得五边形 AEFCD 中， 1+2 . 第 4 页 共 6 页 【答案】【答案】220 【变式 2】一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（ ）. A.6 B.7
8、C.8 D.9 【答案】【答案】C. 类型类型二二、圆圆 2爆破时，导火索燃烧的速度是每秒 0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点 120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为 18cm，那么点导火索的人每秒钟跑 6.5m 是否安全？ 【思路点拨】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以 120m 为半径的圆的外部，如图所示. 【答案与解析】 导火索燃烧的时间为 18 =20 0.9 （s） 相同时间内，人跑的路程为 206.5=130（m） 人跑的路程为 130m120m, 点导火索的人安全. 【总结升华】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与 120m 比较. 举一反三：举一反三： 【变式】
9、 如图,一根 5m 长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域. 【答案】 第 5 页 共 6 页 类型类型三三、扇形扇形 3.在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半 径为 r，扇形的半径为 16，扇形的圆心角等于 90，则 r 等于 【思路点拨】 先根据弧长公式计算出扇形的弧长， 再根据扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周 长得到圆的半径 【答案】4 【解析】 解：扇形的弧长 9016 8 180 ，圆锥的底面圆的周长为8，28r，所以4r 【总结升华】 本题考查： 圆锥的侧面展开图为扇形， 其中扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长， 扇形的半径等于
10、圆锥的母线长 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为 10 和 16 的矩形，则该圆柱的底面圆半 径是 【答案】由圆柱的侧面展示图知：2r=10 或 2r=16，解得 58 .r 或 【变式变式 2 2】已知扇形的圆心角为 120，弧长等于 10，则扇形的面积为（ ） A. 15 B15 A. 75 D75 【答案】C 类型类型四四、综合综合 4. 若扇形 OAB 的面积是 1cm 2，它的周长是 4cm，则扇形圆心角的度数是（ ） A. 180 o B. 360 o C. 90 o D. 360 o 【思路点拨】设扇形的半径是 rcm，扇形的周长是 4
11、cm，则弧长是（4-2r）cm根据扇形的 面积公式即可求得扇形的半径长，然后根据扇形的面积公式即可求得扇形的圆心角的度数 【答案】B 解：设扇形的半径是 rcm， 扇形的周长是 4cm，则弧长是（4-2r）cm 根据扇形的面积公式可得： 1 (42 )1 2 r r， 第 6 页 共 6 页 去括号，整理得 2 (1)0r ，所以1r ， 设圆心角的度数是 n根据扇形的面积公式可得： 2 1 1 360 n ，解得 360 n 【总结升华】 本题考查了扇形的面积公式以及弧长公式， 正确理解扇形的两个计算公式是解 题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图是对称中心为点的正六边形如果用一个含角的直角三角板的角，借 助点（使角的顶点落在点处） ，把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值 是 _ _ . 【答案】 根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可， 即可知：36030=12； 36060=6； 36090=4； 360120=3； 360180=2 故 n 的所有可能的值是 2，3，4，6，12