1、第 1 页 共 4 页 二次根式二次根式知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1 1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2 2、理解并掌握下列结论： a0， （a0） ， （a0） ，（a0） ，并利用它 们进行计算和化简 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、二次根式的概念要点一、二次根式的概念 一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号 要点诠释：要点诠释： 二次根式的两个要素：根指数为 2；被开方数为非负数. 要点二、二次根式的性质要点二、二次根式的性质 1.a0， （a0） ； 2. （a0） ； 3 4.积的算术平
2、方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a0，b0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即() aa abab bb 或（a0，b0）. 要点诠释：要点诠释： （1）二次根式(a0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即 2 () (0aaa ）. （2） 2 a 与 2 ()a要注意区别与联系： a的取值范围不同， 2 ()a中a0， 2 a 中a为任意值。 a0 时， 2 ()a= 2 a =a；a0 时， 2 ()a无意义， 2 a =a. 要点三、最简二次根式要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开
3、方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 第 2 页 共 4 页 【典型例题】【典型例题】 类型一、二次根式的概念类型一、二次根式的概念 1.当x为实数时，下列各式 2 223 ,1,xxxxx ，属二次 根式的有_ 个. 【答案】 3. 【解析】 2 2, ,xxx 这三个式子满足无论x取何值，被开方数都大于零. 【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” ；第二，被开方数是正数或 0 举一反三举一反三： 【变式】
4、下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1） 1 3 ； （2） 3 ； （3） 2 1x ； （4） 3 8； （5） 2 1 () 3 ； （6）1x（1x ） A2 B.3 C.4 D.5 【答案】B. 2. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）1yx； （2）y=2xx23； 【答案与解析】 （1）1x0，所以 x1. （2）2x0,3 2x0,所以2x 3 2 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 2 3 B. 2 0.3 C. 2 D. x 【答案】B. 类型二、二次根式的性
5、质类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1) 2 3 2() 4 (2) 2 (3.14) 【答案与解析】(1) 33 =-2=- 42 原式. 第 3 页 共 4 页 (2) = 3.14-= -3.14原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三举一反三： 【变式】 （1） 2 ) 2 5 2(=_. （2） 2 )2(2aa=_. 【答案】(1) 10; (2) 0. 4. 已知0a，那么 2 2aa可化简为（ ）. A. a B.a C.3a D.3a 【答案】C. 【解析】0,= -233aaaaa 原式. . 【总结升华】重点考查二次根式的性质：. 举一反三举一反
6、三： 【变式】若整数m满足条件 2 2 (1)1, 5 mmm且 则m的值是_. 【答案】m=0 或m=-1. 类型三、最简二次根式类型三、最简二次根式 5. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【思路点拨】最简二次根式要满足两个条件（1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式. 【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下： 的被开方数是小数，能写成分数，含有分母； 和的被开方数中都含有分母； 和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式. 第 4 页 共 4 页 【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1) 被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 不满足其中任何一条的二次根式都 不是最简二次根式. 举一反三举一反三： 【变式】化简： （1） 2325 ( 2)(0,0)a b cab； （2）23 16ab c 【答案】(1) 原式= 2224 2 a ab c c= 2 2abcac; （2）原式=4bc ac