1、第 1 页 共 4 页 二元一次方程组解法二元一次方程组解法代入法代入法（提高提高）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1. 理解消元的思想； 2. 会用代入法解二元一次方程组. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、消元法消元法 1.1.消元思想：消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二 元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程， 我们就可以先求出一个未知数， 然后再求出 另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.2.消元的基本思路：消元的基本思路：未知数由多变少. 3.3.消元的基本方法：消元的基本方法：把二元一
2、次方程组转化为一元一次方程. 要点二、要点二、代入消元法代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元 法，简称代入法 要点诠释：要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未 知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的 (2)代入消元法的技巧是： 当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； 若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形 比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的
3、方程变形 比较简便 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、用用代入代入法解法解二元一次方程二元一次方程组组 1用代入法解方程组： 237 338 xy xy 【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现中 x 的系数较小，所以先把方程中 x 用 y 表示出来，代入，这样会使计算比较简便 【答案与解析】 解：由得 73 2 y x 将代入 73 338 2 y y ，解得 1 3 y 将 1 3 y 代入，得 x3 所以原方程组的解为 3 1 3 x y 【总结升华】 代入法是解二元一次方程组的一种重要方法， 也是同学们最先学习到的解二元 一次方程组的方法， 用代入法解二元一次方程组的步骤可概
4、括为： 一 “变” 、 二 “消” 、 三 “解” 、 第 2 页 共 4 页 四“代” 、五“写” 举一反三：举一反三： 【变式】m 取什么数值时，方程组的解 （1）是正数；（2）是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0，. 2.“整体代入”解方程组： 10 4()5 xy xyy 【答案与解析】 解： 10 4()5 xy xyy 由，得1xy . 将代入，得4 15y ，解得1y . 把1y 代入，得0x . 所以原方程组的解为 0 1 x y 【总结升华】 本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性， 利
5、用整体思想可简化计 算 举一反三：举一反三： 【变式 1】解方程组 2320, 235 2y9. 7 xy xy 【答案】 解： 232 235 29 7 xy xy y 将代入： 25 29 7 y ， 得 y=4， 将 y=4 代入：2x12=2 得 x=7， 原方程组的解是 7 4 x y . （2） 45 :4:3 xy x y 第 3 页 共 4 页 解：由，设 x=4k，y=3k 代入：4k43k=5 4k12k=5 8k=5 5 8 k 5 4 2 xk ， 15 3 8 yk ， 原方程组的解为 5 2 15 8 x y . . 类型二、方程组解的应用类型二、方程组解的应用 3
6、. 已知关于 x，y 的方程组 25 29 xym xym 的解满足方程 3x+2y19，求 m 的值 【思路点拨】要求 m 就必须设法建立关于 m 的方程，因此，应先求出方程组的解，然后将所 求出的解代入 3x+2y19 中，问题便可解决 【答案与解析】 解：由得：29xym 将代入，解得ym 将代入，解得7xm 所以原方程组的解为 7xm ym 把方程组的解代入方程 3x+2y19 中，得 37m+2(-m)19， 所以 m1 【总结升华】本题也可以看作三元一次方程组的问题来解决 4.已知 256 4 xy axby 和方程组 3516 8 xy bxay 的解相同， 求 2011 (2)
7、ab的 值 【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是 2x+5y-6 和 3x-5y16 的解由于这两个 方程的系数都已知， 故可联立在一起， 求出 x、 y 的值 再将 x、 y 的值代入 ax-by-4， bx+ay -8 中建立关于 a、b 的方程组即可求出 a、b 的值 【答案与解析】 解：依题意联立方程组 256 3516 xy xy +得 5x10，解得 x2 把 x2 代入得：22+5y-6，解得 y-2，所以 2 2 x y ， 第 4 页 共 4 页 又联立方程组 4 8 axby bxay ，则有 224 228 ab ab ， 解得 1 3 a b 所以(2a+b)2011-1 【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解 相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键. 举一反三：举一反三： 【变式】小明和小华同时解方程组 5 213 mxy xny ，小明看错了 m，解得 7 2 2 x y 小华看错了 n，解得 3 7 x y ，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来 【答案】 解：把 7 2 2 x y 代入方程 2x-ny13 中，得 n3把 3 7 x y 代入方程 mx+y5 中， 得 m4 所以原方程组为 45 2313 xy xy ，解方程组，得原方程组的解为 2 3 x y