1、第 1 页 共 5 页 二元一次方程（组）二元一次方程（组）与一次与一次函数函数（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.理解二元一次方程与一次函数的关系； 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； 3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、二二元一次方程与元一次方程与一次函数的关系一次函数的关系 1. 任 何 一 个 二 元 一 次 方 程(0,)axbyc abc、为常数都 可 以 变 形 为 -(0,) ac yxabc bb 、为常数即为一个一次函数， 所以每个二元一次方程都对应一个一 次函数. 2.我们知道每个二元一次方
2、程都有无数组解， 例如： 方程5xy我们列举出它的几组 整数解有 0, 5; x y 5, 0; x y 2, 3 x y ，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5） ， （5，0） ， （2， 3）恰好在一次函数y5x的图像上，反过来，在一次函数xy 5的图像上任取一 点，它的坐标也适合方程5xy. 要点诠释：要点诠释： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 要要点二、点二、二元一次方程组与二元一次方程组与一次函数一次函数 1. 1. 二元一次方
3、程组与一次函数二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：要点诠释： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是： 在同一直角坐标系中， 两 个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的 解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5yx与21yx 图象的交点为(2，3)，则 2 3 x y 就是二元一次方程组 5 21 xy xy
4、 的解. 2.当二元一次方程组无解时， 方程组中两方程未知数的系数对应成比例， 相应的两个一 次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个 一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无 解，则一次函数35yx与31yx的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 第 2 页 共 5 页 反之也成立. 2. 2. 图像法解二元一次方程组图像法解二元一次方程组 求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程 组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法
5、有：代入消元法、加减消元法和图像法三 种. 要点诠释：要点诠释： 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法 和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数 表达式联立的二元一次方程组的解. 要要点三、点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而 得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消
6、去待定系数，从而使问题得到解决. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数 1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（ ） A x3y=3 B x+3y=3 C 3xy=1 D 3x+y=1 【答案【答案】A 【解析】【解析】直线过点（3，0） ， （0，1） 代入 y=kx+b， 得到二元一次方程组 解方程组得到 一次函数解析式为， 移向，并将系数化为 1 得到所对应的二元一次方程 x3y=3 【总结升华总结升华】 每个二元一次方程都对应一个一次函数， 因此当求出一次函数的解析式时即也 第 3 页 共 5 页 就求出了相应二
7、元一次方程. 举一反三：举一反三： 【变式】已知3x，2y和0x，1y是二元一次方程03 byax的两个解， 则一次函数baxy的解析式为（ ） A.、32 xy B、 xy C.、3xy D、 33 xy 【答案】【答案】D 类型二、类型二、二元一次方程组与二元一次方程组与一次函数一次函数 2、 若一次函数 15 22 yx的图象与一次函数1yx 的图象如图所示， 则关于x、 y的方程组 250 10 xy xy 的解为 【答案】【答案】 1 2 x y ， 【解析】【解析】找两条直线的交点坐标（1，2）为二元一次方程组的解. 【总结升华总结升华】 两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程
8、， 所以它们的交点的坐标就是 方程组的解. 举一反三：举一反三： 【变式】 若方程组 2 21 xy yx ， 的解为 3 5 x y ， ； 你能说出一次函数2yx与21yx的 图象的交点坐标吗？ 【答案】【答案】 （3，5） 3、利用图象解方程组 22, 5. yx xy 【思路点拨】【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解. 【答案与解析】【答案与解析】 解：如图：两条直线的交点为（1，4）所以方程组的解为 1 4 x y 第 4 页 共 5 页 【总结升华总结升华】 用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法， 反映了一次函数与二 元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎
9、样用图形来表示方程组的解. 类型三、类型三、用二元一次方程用二元一次方程组组确定一次函数表达式确定一次函数表达式 4、某游泳池内现存水 1890（m3） ，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的 2 倍假设 在换水时需要经历“排水清洗灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量 y（m3）与换 水时间 t（h）之间的函数关系如图所示根据图象解答下列问题： （1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间； （2）求灌水过程中的 y（m3）与换水时间 t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域 【思路点拨】【思路点拨】 （1）由图象可知，该游泳池 5 个小时排水 1890（m3） ，根据速度公
10、式求出即可， 求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间； （2）设灌水过程中的 y（m3）与换水时间 t（h）之间的函数关系式是 y=kt+b将（11，0） ， （21，1890）代入 y=kt+b 求出即可 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）由图象可知，该游泳池 5 个小时排水 1890（m3） ， 该游泳池排水的速度是 18905=378（m3/h） ， 由题意得该游泳池灌水的速度是 378 =189（m3/h） ， 由此得灌水 1890m3需要的时间是 1890189=10（h） ， 清洗该游泳池所用的时间是 21510=6（h） ， （2）设灌水过程中的 y（m3）与
11、换水时间 t（h）之间的函数关系式是 y=kt+b 将（11，0） ， （21，1890）代入 y=kt+b，得， 解得：k=189，b=2079， 即灌水过程中的 y（m3）与时间 t（h）之间的函数关系式是 y=189t2079， （11t21） 【总结升华总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题， 题目比较典型，是一道比较好的题目 举一反三：举一反三： 第 5 页 共 5 页 【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课 桌的高度为 ycm，椅子的高度为 xcm，则 y 应是 x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课 桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度 xcm 40.0 37.0 桌子高度 ycm 75.0 70.2 （1）请确定 y 与 x 的函数关系式？ （2）现有一把高 39cm 的椅子和一张高为 78.2 的课桌，它们是否配套？为什么？ 【答案】【答案】 解： （1）设 y=kx+b根据题意得 解得 y=1.6x+11； （2）椅子和课桌不配套 当 x=39 时，y=1.639+11=73.478.2， 椅子和课桌不配套