1、第 1 页 共 5 页 勾股定理勾股定理（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数） ； 3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、勾股定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别 为ab，斜边长为c，那么 222 abc 要点诠释：要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目
2、已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的 （3）理解勾股定理的一些变式： 222 acb， 222 bca， 2 2 2cabab 要要点二、点二、勾股定理的证明勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以 第 2 页 共 5 页 要要点三、点三、勾股定理的作用勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3 与
3、勾股定理有关的面积计算； 4勾股定理在实际生活中的应用 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用 1、在ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为a、b、c （1）若a5，b12，求c； （2）若c26，b24，求a 【思路点拨】【思路点拨】利用勾股定理 222 abc来求未知边长 【答案【答案与解析与解析】 解： （1）因为ABC 中，C90， 222 abc，a5，b12， 所以 22222 51225 144169cab所以c13 （2）因为ABC 中，C90， 222 abc，c26，b24， 所以 22222 2624676576100acb所
4、以a10 【总结升华总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是 斜边，再决定用勾股原式还是变式 举一反三：举一反三： 【变式】在ABC 中，C90，A、B、C 的对边分别为a、b、c （1）已知b6，c10，求a； （2）已知:3:5a c，b32，求a、c 【答案】【答案】 解： （1） C90，b6，c10， 22222 10664acb， a8 （2）设3ak，5ck， C90，b32， 222 abc 即 222 (3 )32(5 )kk 解得k8 33 824ak ，55 840ck 类型二、类型二、与与勾股定理勾股定理有关有关的证明的证明 2、如
5、图所示，在 RtABC 中，C90，AM 是中线，MNAB，垂足为 N， 第 3 页 共 5 页 试说明 222 ANBNAC 【答案【答案与解析与解析】 解：因为 MNAB，所以 222 ANMNAM， 222 BNMNMB， 所以 2222 ANBNAMBM 因为 AM 是中线，所以 MCMB 又因为C90，所以在 RtAMC 中， 222 AMMCAC， 所以 222 ANBNAC 【总结升华总结升华】 证明带有平方的问题， 主要思想是找到直角三角形， 利用勾股定理进行转化 若 没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明 举一反三：举一反三： 【变式】如图，在ABC
6、中，C90，D 为 BC 边的中点，DEAB 于 E，则 AE2-BE2 等于（ ） AAC2 BBD2 CBC2 DDE2 【答案【答案】连接 AD 构造直角三角形，得 ，选 A 类型三、类型三、与勾股定理有关的线段长与勾股定理有关的线段长 3、如图，长方形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案【答案】D； 【解析解析】 解：设 ABx，则 AFx， 第 4 页 共 5 页 ABE 折叠后的图形为AFE， ABEAFEBEEF， ECBCBE835，
7、在 RtEFC 中， 由勾股定理解得 FC4， 在 RtABC 中， 2 22 84xx，解得6x 【总结升华总结升华】折叠问题包括“全等形” 、 “勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解 类型四、与勾股定理有关的面积计算类型四、与勾股定理有关的面积计算 4、如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面 积为（ ） A6 B5 C11 D16 【思路点拨】【思路点拨】 本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用， 由 b 是正方形， 可求ABC CDE由勾股定理可求 b 的面积=a 的面积+c 的面积 【答案【答案】D 【解析【解析】 解
8、：ACB+ECD=90，DEC+ECD=90， ACB=DEC， 在ABC 和CDE 中， ABCCDE ACBDEC ACCE ABCCDE BC=DE 222 ABBCAC 222 ABDEAC b 的面积为 5+11=16，故选 D 【总结升华总结升华】 此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题， 考查了对勾股定理几何意义的理 解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键 类型类型五五、利用勾股定理解决实际问题利用勾股定理解决实际问题 5、一圆形饭盒，底面半径为 8cm，高为 12cm，若往里面放双筷子（精细不计） ，那 么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 第 5 页 共 5 页
9、 【答案【答案与解析与解析】 解：如图所示，因为饭盒底面半径为 8cm，所以底面直径 DC 长为 16cm 则在 RtBCD 中， 22222 =16 +12 =400BDDCBC ， 所以20BD (cm) 答：筷子最长不超过 20cm，可正好盖上盒盖 【总结升华总结升华】 本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离， 其最大距离是以饭盒两底面的一 对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，一旗杆在离地面 5m处断裂，旗杆顶部落在离底部 12m处，则旗杆折 断前有多高？ 【答案】【答案】 解：因为旗杆是垂直于地面的，所以C90，BC5m，AC12m， 22222 512169ABBCAC 13AB(m) BCAB51318(m) 旗杆折断前的高度为 18m