1、 第 1 页 共 4 页 方程的意义方程的意义（基础）（基础）知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系； 2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程 的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、方程的有关概念方程的有关概念 1 1定义：定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：要点诠释： 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数 2方程的解：方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：要点诠释： 判
2、断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（或它们）是方程中 未知数的值； 将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解， 否则不是 3 3解方程：解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4 4方程的两个特征：方程的两个特征： （1）.方程是等式； （2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 要点二、要点二、一元一次方程的有关概念一元一次方程的有关概念 定义定义：只含有一个未知数（元） ，并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方 程. 要点诠释：要点诠释： （1） “元”是指未知数， “次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： 首先是一个方程;
3、其次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是 1;分母中不含有 未知数 （2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 a0，a,b 是已知数) . （3）一元一次方程的最简形式是： axb（其中 a0，a,b 是已知数）. 要点三、要点三、等式的性质等式的性质 1 1等式的概念：等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2 2等式的性质：等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等.即： 如果，那么 (c 为一个数或一个式子) . 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要
4、点诠释：要点诠释： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式 不一定成立， 如 x0 中，两边加上得 x，这个等式不成立; 第 2 页 共 4 页 (3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零 【典型例题】【典型例题】 类型一、方程的概念类型一、方程的概念 1下列各式哪些是方程？ 3x-27； 4+812； 3x-6； 2m-3n0； 3x2-2x-10； x+23； 2 5 1x ； 285 53 xx 【答案与解析】 解：虽是等式，但不含未知
5、数；不是等式；表示不等关系，故、均不符合 方程的概念、符合方程的定义，所以方程有：、 【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数当然未知数的个数可 以是一个，也可以是多个 举一反三：举一反三： 【变式】下列说法中正确的是( ). A2a-a=a 不是等式 Bx 2-2x-3 是方程 C方程是等式 D等式是方程 【答案】C 2检验下列各数是不是方程 27 1 34 xx的解 (1).x12 (2). 12 13 x 【答案与解析】 解：(1).把 x12 分别代入方程的左边和右边，左边 2 128 3 ，右边 7 12 122 4 左边右边， x12 不是方程的解 (2).把
6、12 13 x 分别代入方程的左边和右边，左边 2128 31313 ， 右边 7128 1 41313 左边右边， 12 13 x 是方程的解 【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代 入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是 举一反三：举一反三： 【变式】下列方程中，解是 x=3 的是( ) Ax+14 B2x+13 C2x-12 D 2 17 3 x 【答案】A 类型二、一元一次方程的相关概念类型二、一元一次方程的相关概念 第 3 页 共 4 页 3已知方程 3 2x x ；0.4x11；51 2 x x；y2-4y3；t
7、0；x+2y 1其中是一元一次方程的个数是( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B. 【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为不是整式方程（分母中含有未知数）未知 数的次数为 2，含有两个未知数所以、都不是一元一次方程 【总结升华】 3 x 和 2 x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 3 x 不是整式， 2 x 是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程 举一反三：举一反三： 【变式】下列方程中是一元一次方程的是_（只填序号） 2x-14；x0；axb； 1 51 x 【答案】. 类型三、等式的性质类型三、等式的性质 4用适当的数或整式填空，使所得的结果仍
8、为等式，并说明根据等式的哪一条性质， 以及怎样变形得到的 (1)如果 4 115 3 x，那么 4 5 3 x _； (2)如果 ax+by-c，那么 ax-c+_； (3)如果 43 34 t，那么t_ 【答案与解析】 解： (1). 11；根据等式的性质 1，等式两边都加上 11； (2).（-by） ； 根据等式的性质 1，等式两边都加上-by； (3). 9 16 ； 根据等式的性质 2，等式两边都乘以 3 4 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质， 对另一边也进行同样的变形 举一反三：举一反三： 【变式】下列说法正确的是( ) A在等式 aba
9、c 两边都除以 a，可得 bc. B在等式 ab 两边除以 c2+1，可得 22 11 ab cc . C在等式 bc aa 两边都除以 a，可得 bc. D在等式 2x2a-b 两边都除以 2，可得 xa-b. 【答案】B. 类型四、设未知数列方程类型四、设未知数列方程 第 4 页 共 4 页 5根据问题设未知数并列出方程： 一次考试共有 25 道选择题，做对一道得 4 分，做错或不做一道倒扣 1 分若小明想考 80 分，他要做对多少道题？ 【答案与解析】 解：设小明要做对 x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)180 可以采用列表法探究其解 显然，当 x21 时，4x-(25-x)180 所以小明要做对 21 道题 【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式 举一反三：举一反三： 【变式】根据下列条件列出方程 (l)x 的 5 倍比 x 的相反数大 10； (2)某数的 3 4 比它的倒数小 4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用 20 分钟，乙用 30 分钟，如果乙比甲早 5 分钟出发，问甲用多少时间追上乙？ 【答案】(1)5x-(-x)10；(2)设某数为 x，则 13 4 4 x x ；(3)设甲用 x 分钟追上乙，由 题意得 11 (5) 3020 xx