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北京四中七年级上册数学方程的意义(基础)知识讲解

1、 第 1 页 共 4 页 方程的意义方程的意义(基础)(基础)知识讲解知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1正确理解方程的概念,并掌握方程、等式及算式的区别与联系; 2. 正确理解一元一次方程的概念,并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程 的解; 3. 理解并掌握等式的两个基本性质. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、方程的有关概念方程的有关概念 1 1定义:定义:含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释:要点诠释: 判断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数 2方程的解:方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解. 要点诠释:要点诠释: 判

2、断一个数(或一组数)是否是某方程的解,只需看两点:.它(或它们)是方程中 未知数的值; 将它(或它们)分别代入方程的左边和右边,若左边等于右边,则它们是方程的解, 否则不是 3 3解方程:解方程:求方程的解的过程叫做解方程. 4 4方程的两个特征:方程的两个特征: (1).方程是等式; (2).方程中必须含有字母(或未知数). 要点二、要点二、一元一次方程的有关概念一元一次方程的有关概念 定义定义:只含有一个未知数(元) ,并且未知数的次数都是 1,这样的方程叫做一元一次方 程. 要点诠释:要点诠释: (1) “元”是指未知数, “次”是指未知数的次数,一元一次方程满足条件: 首先是一个方程;

3、其次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是 1;分母中不含有 未知数 (2)一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中 a0,a,b 是已知数) . (3)一元一次方程的最简形式是: axb(其中 a0,a,b 是已知数). 要点三、要点三、等式的性质等式的性质 1 1等式的概念:等式的概念:用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2 2等式的性质:等式的性质: 等式的性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,结果仍相等.即: 如果,那么 (c 为一个数或一个式子) . 等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等.即: 如果,那么;如果,那么. 要

4、点诠释:要点诠释: (1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行完全相同的变形; (2) 等式性质 1 中,强调的是整式,如果在等式两边同加的不是整式,那么变形后的等式 不一定成立, 如 x0 中,两边加上得 x,这个等式不成立; 第 2 页 共 4 页 (3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为零 【典型例题】【典型例题】 类型一、方程的概念类型一、方程的概念 1下列各式哪些是方程? 3x-27; 4+812; 3x-6; 2m-3n0; 3x2-2x-10; x+23; 2 5 1x ; 285 53 xx 【答案与解析】 解:虽是等式,但不含未知

5、数;不是等式;表示不等关系,故、均不符合 方程的概念、符合方程的定义,所以方程有:、 【总结升华】方程的判断必须看两点,一个是等式,二是含有未知数当然未知数的个数可 以是一个,也可以是多个 举一反三:举一反三: 【变式】下列说法中正确的是( ). A2a-a=a 不是等式 Bx 2-2x-3 是方程 C方程是等式 D等式是方程 【答案】C 2检验下列各数是不是方程 27 1 34 xx的解 (1).x12 (2). 12 13 x 【答案与解析】 解:(1).把 x12 分别代入方程的左边和右边,左边 2 128 3 ,右边 7 12 122 4 左边右边, x12 不是方程的解 (2).把

6、12 13 x 分别代入方程的左边和右边,左边 2128 31313 , 右边 7128 1 41313 左边右边, 12 13 x 是方程的解 【总结升华】检验一个数是不是方程的解,根据方程解的概念,只需将所给字母的值分别代 入方程的左右两边,若两边的值相等,则这个数就是此方程的解,否则不是 举一反三:举一反三: 【变式】下列方程中,解是 x=3 的是( ) Ax+14 B2x+13 C2x-12 D 2 17 3 x 【答案】A 类型二、一元一次方程的相关概念类型二、一元一次方程的相关概念 第 3 页 共 4 页 3已知方程 3 2x x ;0.4x11;51 2 x x;y2-4y3;t

7、0;x+2y 1其中是一元一次方程的个数是( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B. 【解析】根据一元一次方程的定义判断,因为不是整式方程(分母中含有未知数)未知 数的次数为 2,含有两个未知数所以、都不是一元一次方程 【总结升华】 3 x 和 2 x 是有区别的,前者的分母中含有字母,而后者的分母中不含字母, 3 x 不是整式, 2 x 是整式,分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程 举一反三:举一反三: 【变式】下列方程中是一元一次方程的是_(只填序号) 2x-14;x0;axb; 1 51 x 【答案】. 类型三、等式的性质类型三、等式的性质 4用适当的数或整式填空,使所得的结果仍

8、为等式,并说明根据等式的哪一条性质, 以及怎样变形得到的 (1)如果 4 115 3 x,那么 4 5 3 x _; (2)如果 ax+by-c,那么 ax-c+_; (3)如果 43 34 t,那么t_ 【答案与解析】 解: (1). 11;根据等式的性质 1,等式两边都加上 11; (2).(-by) ; 根据等式的性质 1,等式两边都加上-by; (3). 9 16 ; 根据等式的性质 2,等式两边都乘以 3 4 【总结升华】先从不需填空的一边入手,比较这一边是怎样变形的,再根据等式的性质, 对另一边也进行同样的变形 举一反三:举一反三: 【变式】下列说法正确的是( ) A在等式 aba

9、c 两边都除以 a,可得 bc. B在等式 ab 两边除以 c2+1,可得 22 11 ab cc . C在等式 bc aa 两边都除以 a,可得 bc. D在等式 2x2a-b 两边都除以 2,可得 xa-b. 【答案】B. 类型四、设未知数列方程类型四、设未知数列方程 第 4 页 共 4 页 5根据问题设未知数并列出方程: 一次考试共有 25 道选择题,做对一道得 4 分,做错或不做一道倒扣 1 分若小明想考 80 分,他要做对多少道题? 【答案与解析】 解:设小明要做对 x 道题,则有(25-x)道做错或没做的题,依题意有:4x-(25-x)180 可以采用列表法探究其解 显然,当 x21 时,4x-(25-x)180 所以小明要做对 21 道题 【总结升华】根据题意设出合适的未知量,并根据等量关系列出含有未知量的等式 举一反三:举一反三: 【变式】根据下列条件列出方程 (l)x 的 5 倍比 x 的相反数大 10; (2)某数的 3 4 比它的倒数小 4; (3)甲、乙两人从学校到公园,走这段路甲用 20 分钟,乙用 30 分钟,如果乙比甲早 5 分钟出发,问甲用多少时间追上乙? 【答案】(1)5x-(-x)10;(2)设某数为 x,则 13 4 4 x x ;(3)设甲用 x 分钟追上乙,由 题意得 11 (5) 3020 xx