1、第 1 页 共 5 页 勾股定理勾股定理的的逆定理逆定理（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别； 2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形； 3. 理解勾股数的含义； 4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长abc， ，满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为
2、“形” ，是通过计算来判定一个三角 形是否为直角三角形. 要要点二、点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如c）. （2） 验证 2 c与 22 ab是否具有相等关系.若 222 cab，则ABC 是C90的 直角三角形；若 222 cab，则ABC 不是直角三角形. 要点诠释：要点诠释：当 222 abc时，此三角形为钝角三角形；当 222 abc时，此三角形 为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要要点点三三、勾股数勾股数 满足不定方程 222 xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ， 显然，以xyz、
3、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41 如果abc、 、是勾股数，当t为正整数时，以atbtct、 、为三角形的三边长，此三角形 必为直角三角形. 要点诠释：要点诠释： （1） 22 1 21nnn， ，（1,nn是自然数）是直角三角形的三条边长； （2） 22 22 , 21, 221nnnnn（n1，n是自然数）是直角三角形的 三条边长； （3） 2222 ,2mnmnmn （,mn mn、是自然数）是直角三角形的三 条边长； 【典型例题】【典型例题】 类型类型一一、勾股定理的逆
4、定理勾股定理的逆定理 1、判断由线段abc， ，组成的三角形是不是直角三角形 （1）a7，b24，c25； 第 2 页 共 5 页 （2）a 4 3 ，b1，c 3 4 ； （3） 22 amn， 22 bmn，2cmn(0mn)； 【思路点拨】【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的 两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三 角形 【答案【答案与解析与解析】 解： （1） 2222 724625ab， 22 25625c ， 222 abc 由线段abc， ，组成的三角形是直角三角形 （2） abc， 2 222
5、3925 11 41616 bc ， 2 2 416 39 a ， 222 bca 由线段abc， ，组成的三角形不是直角三角形 （3） 0mn， 22 2mnmn， 2222 mnmn 2222 224224224224 ()(2)242acmnmnmm nnm nmm nn， 222 24224 ()2bmnmm nn， 222 acb 由线段abc， ，组成的三角形是直角三角形 【总结升华总结升华】 解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大， 然后再利用勾股定理的逆定理进 行判断，即首先确定最大边，然后验证 2 c与 22 ab是否具有相等关系，再根据结果判断是 否为直角三角形 举一反三：
6、举一反三： 【变式】一个三角形的三边之比是 3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A20:15:12 B3:4:5 C5:4:3 D10:8:2 【答案】【答案】A； 提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为 4:3：12 5 ，即 20:15:12. 2、如图所示，在四边形 ABCD 中，AB3，BC4，CD12，AD13，B90，求 四边形 ABCD 的面积 第 3 页 共 5 页 【答案【答案与解析与解析】 解：连接 AC，在ABC 中， 因为B90，AB3，BC4， 所以 22222 349 1625ACABBC，所以 AC5， 在ACD 中，AD13，DC12，AC5
7、， 所以 222222 51225 14416913DCACAD， 即 222 DCACAD 所以ACD 是直角三角形，且ACD90 所以 11 22 ABCACDABCD SSSABBCACDC 四边形 11 3 45 12 22 6 3036 【总结升华总结升华】 有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解 由 AB3， BC4， B90， 应想到连接 AC，则在 RtABC 中即可求出ABC 的面积，也可求出线段 AC 的长所以在 ACD 中，已知 AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积而 判断ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角
8、三角形 类型类型二二、勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 3、已知：, ,a b c为ABC的三边且满足 222 338102426abcabc，试判 断ABC的形状. 【答案与解析】 解： 222 338102426abcabc 第 4 页 共 5 页 0338262410 222 ccbbaa 0)13()12()5( 222 cba 5,12,13abc， 222 cba ABC 是直角三角形. 【总结升华总结升华】 此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形， 一定要善于把题目中已知的 条件等式进行变形， 从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法， 因式分解
9、法等. 举一反三：举一反三： 【变式】请阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为 ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4， 试判断 ABC 的形状 解： a2c2b2c2=a4b4， 第一步 c2（a2b2）=（a2+b2） （a2b2） ， 第二步 c2=a2+b2， 第三步 ABC 为直角三角形 第四步 问： （1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： _ ； （2）错误的原因是： _ ； （3）本题正确的结论是： _ 【答案】 解： （1）第三步； （2）方程两边同时除以（a2b2）时，没有考虑（a2b2）的值有可能是 0； （3）c2（a2b2）=（a2+b2） （a2b
10、2） c2=a2+b2或 a2b2=0 a2b2=0 a+b=0 或 ab=0 a+b0 c2=a2+b2或 ab=0 c2=a2+b2或 a=b 该三角形是直角三角形或等腰三角形 4、 “远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小 时航行 16 海里， “海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里， 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【思路点拨】【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已 知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了 【答案【答案与解析与解析】 解：根据题意可画出上图， 第 5 页 共 5 页 PQ161.524，PR121.518，QR30， 在PQR 中， 2222 2418576324900PQPR， 222 PQPRQR PQR 是直角三角形且RPQ90 又 “远航”号沿东北方向航行，可知QPN45， RPN45 由此可知“海天”号沿西北方向航行也可沿东南方向航行 【总结升华总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是 90，这里需注意与东北方向 成 90角的有两个方向，即西北方向或东南方向