1、 第 1 页 共 4 页 勾股定理（提高）勾股定理（提高） 【学习目标】【学习目标】 1 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数） ； 3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、勾股定理点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别 为ab，斜边长为c，那么 222 abc 要点诠释：要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据
2、题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的 （3）理解勾股定理的一些变式： 222 acb， 222 bca， 2 2 2cabab 要要点二、勾股定理的证明点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以 第 2 页 共 4 页 要要点三、勾股定理的作用点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3
3、 与勾股定理有关的面积计算； 4勾股定理在实际生活中的应用 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、与与勾股定理勾股定理有关有关的证明的证明 1、在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 延长线上的点，求证： 【答案【答案与解析与解析】 证明：作等腰三角形底边上的高 AE AB=AC，AEBC BE=EC,AEB=AEC=90 222222 ()()ADABAEDEAEBE 2222 AEDEAEBE 22 DEBE ()()DEBE DEBE BD CD 【总结升华总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化， 若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，
4、再利用勾股定理解题 类型类型二二、与勾股定理有关的线段长与勾股定理有关的线段长 2、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DE 丄 DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长 【答案【答案与解析与解析】 解：连接 BD， 等腰直角三角形 ABC 中，D 为 AC 边上中点， BDAC（三线合一） ，BD=CD=AD，ABD=45， C=45， ABD=C， 又DE 丄 DF， FDC+BDF=EDB+BDF， FDC=EDB， 在EDB 与FDC 中， 第 3 页 共 4 页 ， EDBFDC（ASA） ，
5、BE=FC=3， AB=7，则 BC=7， BF=4， 在 RtEBF 中， EF2=BE2+BF2=32+42， EF=5 【总结升华总结升华】 此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定， 关键是由已知先证三角形 全等，求得 BE 和 BF，再由勾股定理求出 EF 的长 类型类型三三、与勾股定理有关的面积计算、与勾股定理有关的面积计算 3、已知直角三角形斜边长为 10，周长为 24，求此三角形的面积 【思路点拨】【思路点拨】欲求 Rt的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为 14，结 合勾股定理又得其平方和为 100，于是可转化为用方程求解 【答案【答案与解析与解析】 解：设
6、这个直角三角形的两直角边长分别为ab、，则 222 1024 10 ab ab 即 22 14 100 ab ab 将两边平方，得 22 2196aabb ，得296ab，所以 1 24 2 ab 因此这个直角三角形的面积为 24 【总结升华总结升华】此题通过设间接未知数ab、，通过变形直接得出 1 2 ab的值，而不需要分别求 出ab、 的值本题运用了方程思想解决问题 举一反三：举一反三： 【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 4、6、3、4，则最大正方形 E 的面积是（ ） A 17 B 36 C 7
7、7 D 94 【答案】【答案】C 类型类型四四、利用勾股利用勾股定理解决实际问题定理解决实际问题 第 4 页 共 4 页 4、如图所示，在一棵树的 10m高的 B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m处的 池塘 A 处，另外一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的 距离相等，试问这棵树有多高？ 【思路点拨】【思路点拨】其中一只猴子从 BCA 共走了(10+20)=30m，另一只猴子从 BDA 也 共走了 30m， 并且树垂直于地面， 于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决 【答案【答案与解析与解析】 解：设树高 CD 为x，则 BDx10，AD3
8、0(x10)40x， 在 RtACD 中， 222 20(40)xx， 解得：x15 答：这棵树高 15m 【总结升华总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出 DC 和 DA，然后利用勾股定理作等量关系 列方程求解 举一反三：举一反三： 【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于 12cm，底面半径等于 3cm，在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁， 它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物， 需要爬行的最短路程是多少?( 取 3) 【答案】【答案】 解：如图所示，由题意可得： 12AA ， 1 239 2 A B 在 RtAAB 中，根据勾股定理得： 22222 129225ABAAA B 则 AB15cm 所以需要爬行的最短路程是 15cm