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北京四中七年级上册数学绝对值与相反数(基础)知识讲解

1、 第 1 页 共 6 页 绝对值绝对值与与相反数相反数(基础)(基础) 【学习目标】【学习目标】 1借助数轴理解绝对值和相反数的概念; 2知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系; 3会求一个数的绝对值和相反数,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、相反数相反数 1 1定义:定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数特别地,0 的相反数是 0 要点诠释:要点诠释: (1) “只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同 (2) “0 的相反数是 0”是相反

2、数定义的一部分,不能漏掉 (3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数 (4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可 2 2性质:性质: (1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原 点对称) (2)互为相反数的两数和为 0 要点二、多重符号的化简要点二、多重符号的化简 多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正, 如-(-4)=4 ;若有奇数个时,化简结果为负,如-+-(-4)=-4 要点诠释:要点诠释: (1)在一个数的前面添上一个“” ,仍然与原数相同,如55,(5)5 (2)在一个数的前面添上一个“”

3、,就成为原数的相反数如(3)就是3 的相 反数,因此,(3)3 要点三、要点三、绝对值绝对值 1 1定义:定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值,例如+2 的绝对 值等于 2,记作|+2|=2;-3 的绝对值等于 3,记作|-3|=3 要点诠释:要点诠释: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0即对于任何有理数 a 都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距 离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小 (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2 2性

4、质性质: (0) |0(0) (0) aa aa aa 第 2 页 共 6 页 (1)0 除外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数 (2)互为相反数的两个数(0 除外)的绝对值相等. (3)绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或 0 要点要点四四、有理数的大小比较有理数的大小比较 1 1数轴法:数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小 如:a 与 b 在数轴 上的位置如图所示,则 ab 2 2法则比较法:法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 数为 0

5、 正数与 0:正数大于 0 负数与 0:负数小于 0 要点诠释:要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤: (1)分别计算两数的绝对值; (2)比较绝对值 的大小: (3)判定两数的大小 3 3 作差法:作差法:设 a、b 为任意数,若 a-b0,则 ab;若 a-b0,则 ab;若 a-b0,a b;反之成立 4 4 求商法:求商法:设 a、b 为任意正数,若1 a b ,则ab;若1 a b ,则ab;若1 a b ,则 ab;反之也成立若 a、b 为任意负数,则与上述结论相反 5 5 倒数比较法:倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小 【典型例题】【典型例题】 类型一、

6、类型一、相反数的概念相反数的概念 1下列各组数互为相反数的是( ) A 1 8 和0.8 B 1 3 和0.33 C6和( 6) D3.14和 【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同” ,所以只要将 原数的符号变为相反的符号,即可求出其相反数 【答案】C 【解析】 1 8 的相反数是 1 8 ,而不是0.8; 1 3 的相反数是 1 3 ,而不是0.33,6 的相反 数就是( 6) ,所以 C 正确;3.14的相反数是3.14,不是 【总结升华】求一个数的相反数,只改变这个数的符号,其他部分都不变 举一反三:举一反三: 【变式变式】填空: (1) (2.5)的相反数

7、是 ;(2) 是-100 的相反数;(3) 1 5 5 是 的相反数; (4) 的相反数是-11;(5)8.2 和 互为相反数 (6)a 和 互为相反数 第 3 页 共 6 页 (7)_的相反数比它本身大, _的相反数等于它本身 【答案】 (1)2.5; (2)100; (3) 1 5 5 ; (4)11; (5)-8.2; (6)-a; (7)负数, 0 类型二、多重符号的化简类型二、多重符号的化简 2化简下列各数中的符号 (1) 1 2 3 (2)-(+5) (3)-(-0.25) (4) 1 2 (5)-(+1) (6)-(-a) 【答案】 (1) 11 22 33 (2)-(+5)-5

8、 (3)-(-0.25)0.25 (4) 11 22 (5)-(+1)-(-1)1 (6)-(-a)a 【解析】 (1) 1 2 3 表示 1 2 3 的相反数,而 1 2 3 的相反数是 1 2 3 ,所以 11 22 33 ; (2)-(+5)表示+5 的相反数,即-5, 所以-(+5)=-5; (3)-(-0.25)表示-0.25 的相反数,而-0.25 的相反数是 025,所以-(-0.25)0.25; (4)负数前面的“+”号可以省略,所以 11 22 ; (5)先看中括号内-(+1)表示 1 的相反数,即-1,因此-(+1)-(-1)而-(-1)表示-1 的 相反数,即 1,所以-

9、(+1)-(-1)=1;(6)-(-a)表示-a 的相反数,即 a所以-(-a)= a 【总结升华】 运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单 即数一下数字前面有多少个 负号若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负 类型三、类型三、绝对值的概念绝对值的概念 3求下列各数的绝对值 1 1 2 ,-0.3,0, 1 3 2 【思路点拨】 1 1 2 ,-0.3,0, 1 3 2 在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字 就是各数的绝对值还可以用绝对值法则来求解 【答案与解析】 方法 1:因为 1 1 2 到原点距离是 1 1 2 个单位长度,所以 11 11 22 因为-0.3 到原点

10、距离是 0.3 个单位长度,所以|-0.3|0.3 第 4 页 共 6 页 因为 0 到原点距离为 0 个单位长度,所以|0|0 因为 1 3 2 到原点的距离是 1 3 2 个单位长度,所以 11 33 22 方法 2:因为 1 10 2 ,所以 111 111 222 因为-0.30,所以|-0.3|-(-0.3)0.3 因为 0 的绝对值是它本身,所以|0|0 因为 1 30 2 ,所以 11 33 22 【总结升华】 求一个数的绝对值有两种方法: 一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法 1), 一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法 2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是 正数、

11、负数还是零再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相 反数,还是零从而求出该数的绝对值 类型类型四四、比较大小、比较大小 4比较下列有理数大小: (1)-1 和 0; (2)-2 和|-3| ; (3) 1 3 和 1 2 ; (4)1 _0.1 【答案】 (1)0 大于负数,即-10; (2)先化简|-3|3,负数小于正数,所以-23,即-2|-3|; (3)先化简 11 33 , 11 22 , 11 23 ,即 11 32 (4)先化简11 ,0.10.1 , 这是两个负数比较大小: 因为11 ,0.10.1, 而10.1,所以10.1 ,即1 0.1 【解析】(2)

12、、(3)、 (4)先化简,再运用有理数大小比较法则 【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比 较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断 举一反三:举一反三: 【变式变式】比大小: 6 5 3_ 7 6 3 ; -|-3.2|_-(+3.2); 0.0001_1000; 1.38_1.384; _3.14 第 5 页 共 6 页 【答案】;=; 类型五、绝对值非负性的应用类型五、绝对值非负性的应用 5 已知|2-m|+|n-3|0,试求 m-2n 的值 【思路点拨】由a0 即绝对值的非负性可知,2-m0,n-30,而它们的和

13、 为 0所以2-m0,|n-3|0因此,2-m0,n-30,所以 m2,n3 【答案】 解:因为|2-m|+|n-3|0 且|2-m|0,|n-3|0 所以|2-m|0,|n-3|0 即 2-m0,n-30 所以 m2,n3 故 m-2n2-23-4 【解析】 由a0 即绝对值的非负性可知, 2-m0, n-30, 而它们的和为 0 所 以2-m0,|n-3|0因此,2-m0,n-30,所以 m2,n3 【总结升华】若几个数的绝对值的和为 0,则每个数都等于 0,即|a|+|b|+|m|0 时, 则 abm0 类型类型六六、绝对值的实际应用、绝对值的实际应用 6正式足球比赛对所用足球的质量有严

14、格的规定,下面是 6 个足球的质量检测结果, 用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数检测结果(单位:克):-25, +10,-20,+30,+15,-40裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由 【答案】 因为+10+15-20-25+30-40,所以检测结果 为+10 的足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛 【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好这个 偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大 【总结升华】绝对值越小,越接近标准 【变式变式】某企业生产瓶装食用调和油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有 0.002L 的 误差现抽查 6 瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记 作负数检查结果如下表: +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明: (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量? 【答案】(1)绝对值不超过 0.002 的有 4 瓶,分别是检查结果为+0.0018,-0.0015,+0.0012, 第 6 页 共 6 页 +0.0010 的这四瓶 (2)第 6 瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量