1、 第 1 页 共 5 页 绝对值与相反数（提高）绝对值与相反数（提高） 【学习目标】【学习目标】 1借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4 通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、相反数要点一、相反数 1 1定义：定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数特别地，0 的相反数是 0 要点诠释：要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同 （2）“0 的相反数是 0”是相反数
2、定义的一部分，不能漏掉 （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数 （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可 2 2性质：性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原 点对称） （2）互为相反数的两数和为 0 要点二、多重符号的化简要点二、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正， 如-(-4)=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4 要点诠释：要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“”，仍然与原数相同，如55，（5）5 （2）在一个数的前面添上一个“”，就成
3、为原数的相反数如（3）就是3 的相 反数，因此，（3）3 要点三、绝对值要点三、绝对值 1 1定义：定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对 值等于 2，记作|+2|=2；-3 的绝对值等于 3，记作|-3|=3 要点诠释：要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0即对于任何有理数 a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小 （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2 2性质：性
4、质： (0) |0(0) (0) aa aa aa 第 2 页 共 5 页 （1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数 （2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0 要点四、有理数的大小比较要点四、有理数的大小比较 1 1数轴法：数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 如：a 与 b 在数轴 上的位置如图所示，则 ab 2 2法则比较法：法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 数为 0
5、正数与 0：正数大于 0 负数与 0：负数小于 0 要点诠释：要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值； （2）比较绝对值 的大小： （3）判定两数的大小 3 3 作差法：作差法：设 a、b 为任意数，若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab；若 a-b0，a b；反之成立 4 4 求商法：求商法：设 a、b 为任意正数，若1 a b ，则ab；若1 a b ，则ab；若1 a b ，则 ab；反之也成立若 a、b 为任意负数，则与上述结论相反 5 5 倒数比较法：倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小 【典型例题】【典型例题】 类型一、相
6、反数的概念类型一、相反数的概念 1已知 ,m n互为相反数，则2 22 3 mn mn 【答案】2 【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知0mn，代入上式可得：02 02 【总结升华】若,m n互为相反数，则0mn或mn 举一反三：举一反三： 【变式】已知21m与 1 7 2 m 互为相反数，求m的值 【答案】 因为互为相反数的两个数的和为 0， 所以 1 (21)(7)0 2 mm， 解得：4m 类型二、多重符号的化简类型二、多重符号的化简 2化简下列各数 ( 6) ； ( 6) ； ( 6) ； ( 6) ； ( 6) 【答案】6； 6；6；-6；6 第 3 页 共 5 页 【解析】(
7、 6) 表示-6 的相反数，所以( 6)6 ； ( 6) 表示+6 的相反数，所以( 6)6 ； ( 6) 前面共有 2 个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以 ( 6)6 ； ( 6) 中共有 3 个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以 ( 6) =-6； ( 6) 中共有 4 个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以 ( 6)6 【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少个负 号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负 类型类型三三、绝对值的概念、绝对值的概念 3如果|x|6，|y|4，且 xy试求 x、y 的值 【思路点拨】6 和-6
8、 的绝对值都等于 6，4 和-4 的绝对值都等于 4，所以要注意分类讨论 【答案与解析】因为|x|6，所以 x6 或 x-6； 因为|y|4，所以 y4 或 y-4； 由于 xy，故 x 只能是-6，因此 x-6，y4 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出 来 无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数， 则此数有两个， 且互为相反数 此外， 此题 x-6，y4，就是 x-6，y4 或 x-6，y-4 举一反三：举一反三： 【变式变式】如果数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点 A 表示的数为 如果x21，那么 x ； 如果x3，那么 x 的
9、范围是 【答案】6 或-6；1 或 3；x3或x-3 类型类型四四、比、比较较大小大小 4 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与 0；(3) 4 5 与 3 4 ；(4)与| 3.14| 【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两 个正数还是两个负数”，然后比较 【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)5，-|-5|-5 因为正数大于一切负数，所以-(-5)-|-5| (2)化简得：-(+3)-3因为负数小于零，所以-(+3)0 (3) 化 简 得 ： 33 44 这 是 两 个 负 数 比 较 大 小 ， 因 为 44
10、16 5520 ， 第 4 页 共 5 页 3315 4420 ，且 1615 2020 所以 43 54 (4)化简得：-|-3.14|-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-|，|-3.14| 3.14，而 3.14，所以-|-3.14| 【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比 较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断 类型类型五五、含有字母的绝对值的化简含有字母的绝对值的化简 5 把下列各式去掉绝对值的符号 (1)|a-4|(a4)；(2)|5-b|(b5) 【思路点拨】绝对值的化简问题主要看绝对值里面的数或式
11、子是大于等于 0，还是小于 0， 如果是大于等于 0，化简后等于它本身；如果小于 0，化简后等于它的相反数. 【答案与解析】 (1) a4，a-40， |a-4|a-4 (2) b5， 5-b0， |5-b|-(5-b)b-5 【总结升华】 由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况， 再根据绝对值的意义去掉绝 对值的符号 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知有理数 a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示： 化简： 【答案】由图所示，可得 30ac ， 原式 类型类型六六、绝对值非负性的应用、绝对值非负性的应用 6 已知a、b为有理数， 且满足：1 2 ， 则a=_，b=_ 【答案与解析
12、】由， 可得 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于 0，要使这两个数的和为 0，需要这两个 第 5 页 共 5 页 数都为 0几个非负数的和为 0，则每一个数均为 0 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知 b 为正整数，且 a、b 满足，求的值 【答案】 由题意得 所以， 2 b a 类型类型七七、绝对值的实际应用、绝对值的实际应用 7 一只可爱的小虫从点 O 出发在一条直线上来回爬行， 假定向右爬行的路程记为正数， 向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8， -6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行 1cm 就奖励 2 粒芝麻，那么小虫一共可以得 到多少粒芝麻? 【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关. 【答案与解析】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+10+8+6+12+1054(cm) 小虫得到的芝麻数为 542108(粒) 答：小虫一共可以得到 108 粒芝麻 【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最 后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.