1、 第 1 页 共 4 页 平方根平方根和开平方和开平方（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根 2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、平方根和算术平方根的概念平方根和算术平方根的概念 1 1. .平方根的定义平方根的定义 如果 2 xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫 做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.2.算术平方根的定义算术平方根的定义 正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根（又叫算术
2、平 方根） ，读作“根号a” ；a表示a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释：要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a0，a0. 要点二、要点二、平方根和算平方根和算术术平方根的区别与联系平方根的区别与联系 1 1区别：区别： （1）定义不同； （2）结果不同：a和a 2 2联系：联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0 的平方根和算术平方根均为 0 要点诠释：要点诠释： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根 （2） 正数的两个平方根互为相反数， 根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平
3、方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、要点三、平方根的性质平方根的性质 2 0 |00 0 aa aaa aa 2 0aaa 要点四、要点四、平方根小数点位数移动规律平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位， 它的算术平方根的小数点就相应地向右或者 向左移动 1 位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25. 【典型例题】【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（ ） 第 2 页 共 4 页 A.5 是 25 的算术平方根 B.l 是 l 的一个平方根 C.
4、 2 4的平方根是4 D.0 的平方根与算术平方根都是 0 【答案】【答案】C； 【解析】【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项 A.因为255，所以本说法正确； B.因为11，所以 l 是 l 的一个平方根说法正确； C.因为 2 4164，所以本说法错误； D.因为00，00，所以本说法正确； 【总结升华总结升华】 此题主要考查了平方根、 算术平方根的定义， 关键是明确运用好定义解决问题 举一反三：举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9没有平方根 （ ） （2）164 （ ） （3） 2 1 () 10 的平方根是 1 10 （ ） （4） 2 5 是
5、 4 25 的算术平方根 （ ） 【答案】【答案】 ； ； ， 提示： （2）164； （4） 2 5 是 4 25 的算术平方根 2、 填空： （1）4是 的负平方根 （2） 1 16 表示 的算术平方根， 1 16 （3） 1 81 的算术平方根为 （4）若3x ，则x ，若 2 3x ，则x 【思路点拨思路点拨】 （3） 1 81 就是 1 81 的算术平方根 1 9 ，此题求的是 1 9 的算术平方根. 【答案与解析】【答案与解析】(1)16；(2) 11 ; 164 (3) 1 3 (4) 9；3 【总结升华总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化
6、. 第 3 页 共 4 页 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列说法中正确的有（ ） ： 3 是 9 的平方根 9 的平方根是 3 4 是 8 的正的平方根 8是 64 的负的平方根 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B； 提示：是正确的. 【变式 2】求下列各式的值： （1）325 （2）8136 （3）0.040.25 （4） 4 0.36 121 【答案】【答案】 （1）15； （2）15； （3）0.3； （4） 6 55 3、使代数式1x有意义的x的取值范围是_ 【答案】【答案】x1； 【解析】【解析】x10，解得x1. 【总结升华总结升华】当式子a有意义时，
7、a一定表示一个非负数，即a0，a0. 举一反三：举一反三： 【变式】代数式y 3x有意义，则x的取值范围是 【答案】【答案】3x. 类型二、利用平方根解方程类型二、利用平方根解方程 4、求下列各式中的x. （1） 2 3610;x （2） 2 1289x； （3） 2 9 32640x 【思路点拨思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将 1x看作一个整体， （3）小题将32x看作一个整体，求出它们的解后，再求x. 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1） 2 3610x 2 361x 36119x （2） 2 1289x 第 4 页 共 4 页 1289
8、x x117 x16 或x18. （3） 2 9 32640x 264 32 9 x 8 32 3 x 214 99 xx 或 【总结升华总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2） （3）小题中运用了整体思想分散了难度. 类型三、平方根的应用类型三、平方根的应用 5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的 3 倍，面积是 1323 平方米求 长和宽各是多少米？ 【答案与【答案与解析】解析】 解：设宽为x，长为 3x， 由题意得，x3x1323 3 2 x1323 21x x21(舍去) 答：长为 63 米，宽为 21 米. 【总结升华总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.