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北京四中七年级上册数学命题、证明及平行线的判定定理(基础)知识讲解

1、第 1 页 共 5 页 命题、证明及平行线的判定定理命题、证明及平行线的判定定理(基础基础)知识讲解)知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1.了解定义、命题的含义,会区分命题的条件(题设)和结论; 2. 体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理; 4.了解公理和定理的定义,并能正确的写出已知和求证,掌握证明的基本步骤和书写格式; 5.掌握平行线的判定方法,并能简单应用这些结论. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、定义与命题要点一、定义与命题 1.1.定义定义:一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释:要点诠释: (1)定义实际上就是一种规定. (2)定义

2、的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.2.命题:命题:判断一件事情的句子叫做命题. 真命题:真命题:正确的命题叫做真命题. 假命题:假命题:不正确的命题叫做假命题. 要点诠释:要点诠释: (1)命题的结构:命题的结构:命题通常由条件(或题设)和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是 由已知事项推出的事项,一般地,命题都可以写成”如果那么”的形式,其中“如 果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. (2)命题的真假:命题的真假:对于真命题来说,当条件成立时,结论一定成立;对于假命题来说,当 条件成立时,不能保证结论正确,即结论不成立. 要点二、证明的必要性要点二、证明的必要性 要判断一个命

3、题是不是真命题,仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的,必须一步 一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理要点三、公理与定理 1.1.公理:公理:通过长期实践总结出来,并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释:要点诠释:欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.2.定理:定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释:要点诠释: 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的 条件,“求证”是命题的结论,而“证明”则是由条件(已知)出发,根据已给出的定义、 公理、已经证明的定理,经过一步一步的推理,最后证实结论(求

4、证)的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理要点四、平行公理及平行线的判定定理 1 1平行公理:平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 推论:推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 要点诠释:要点诠释: (1)平行公理特别强调“经过直线外一点” ,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质 (2)公理中“有”说明存在; “只有”说明唯一 (3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2 2平行线的判定定理平行线的判定定理 第 2 页 共 5 页 判定方法判定方法 1 1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言: 32 ABCD(同位角相等,两直线平

5、行) 判判定方法定方法 2 2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言: 12 ABCD(内错角相等,两直线平行) 判定方法判定方法 3 3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言: 42180 ABCD(同旁内角互补,两直线平行) 要点诠释:要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、定义与命题定义与命题 1请说出下列名词的定义: (1)无理数 (2)直角三角形 【答案与解析】 解: (1)无理数:无限不循环小数叫做无理数. (2)直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 【总结升华】对学过的定义要准确地牢记. 举

6、一反三:举一反三: 【变式】指出下列句子哪些是定义. (1)两直线平行,内错角相等; (2)两腰相等的梯形叫等腰梯形; (3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形; (4)等腰三角形的两底角相等; (5)平行四边形的对角线互相平分; (6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【答案】 (2) , (3) , (6)是定义. 2说出下列命题的条件和结论,并判断它是真命题还是假命题: (! )如果,ab bc,那么ac; (2)如果两个角相等, 那么它们是对顶角. 【答案与解析】 解: (1)条件:,ab bc;结论:ac.它是真命题. 第 3 页 共 5 页 (2)条件:两个角相等;结论

7、:这两个角是对顶角.它是假命题.反例,你书的左下角和右 下角两个角都是直角,相等,但不是对顶角. 【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不 具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题,这种例子通常称为反例. 举一反三:举一反三: 【变式】(2013贵港)下列四个命题中,属于真命题的是( ). A若 2 am,则am B若 ab,则 ambm C两个等腰三角形必定相似 D位似图形一定是相似图形 【答案】D 类型二、类型二、公理、定理及证明公理、定理及证明 3证明:等角的余角相等 【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论” ,应先写出已知、求证、

8、证明, 如果需要的话并画出图形,再证明. 【答案与解析】 已知:12,1+390,2+4=90. 求证:34. 证明:1+3=90,2+4=90, (已知) 3=90-1,4=90-2.(等式的性质) 1=2(已知) , 3=4(等量代换). 【总结升华】 “等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据此外, 在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替,简称为“等量代换”. 举一反三:举一反三: 【变式 1】 “垂线段最短”是( ). A定义 B定理 C公理 D不是命题 【答案】B 类型三类型三、平行平行线线的判的判定定定理定理 4.如图所示,由(1)13,(2)BADDCB,

9、可以判定哪两条直线平行 【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形” 【答案与解析】 解:(1)由13, 可判定 ADBC(内错角相等,两直线平行) ; (2)由BADDCB,13 得: 2BAD1DCB34(等式性质) , 第 4 页 共 5 页 即24 ABCD(内错角相等,两直线平行) 综上,由(1) (2)可判定:ADBC,ABCD. 【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法即在条件下探索由这些条件 可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果 举一反三:举一反三: 【变式 1】如图,下列条件中,不能判断直线 1 l 2 l的是( ). A13 B23 C

10、45 D2+41800 【答案】B 【变式 2】已知,如图,BE 平分 ABC,CF 平分 BCD,1=2,求证:AB/CD 【答案】 1=2 21=22 ,即ABCBCD AB/CD (内错角相等,两直线平行) 5.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什 么? 【答案与解析】 解:这两条直线平行.理由如下: 如图: ba, ca 1290 第 5 页 共 5 页 bc (同位角相等,两直线平行) 【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法. 举一反三:举一反三: 【变式】已知,如图,EFEG,GMEG,1=2,AB 与 CD 平行吗?请说明理由 【答案】 解:ABCD理由如下:如图: EFEG,GMEG (已知), FEQMGE90(垂直的定义) 又 12(已知), FEQ -1MGE -2 (等式性质), 即34 ABCD (同位角相等,两直线平行)