1、第 1 页 共 5 页 命题、证明及平行线的判定定理命题、证明及平行线的判定定理（基础基础）知识讲解）知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、定义与命题要点一、定义与命题 1.1.定义定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释：要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义
2、的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.2.命题：命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释：要点诠释： （1）命题的结构：命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是 由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果那么”的形式,其中“如 果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当 条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性要点二、证明的必要性 要判断一个命
3、题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步 一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理要点三、公理与定理 1.1.公理：公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.2.定理：定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的 条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、 公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求
4、证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理要点四、平行公理及平行线的判定定理 1 1平行公理：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论：推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 要点诠释：要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点” ，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质 (2)公理中“有”说明存在； “只有”说明唯一 （3） “平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2 2平行线的判定定理平行线的判定定理 第 2 页 共 5 页 判定方法判定方法 1 1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： 32 ABCD（同位角相等，两直线平
5、行） 判判定方法定方法 2 2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： 12 ABCD（内错角相等，两直线平行） 判定方法判定方法 3 3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、定义与命题定义与命题 1请说出下列名词的定义： （1）无理数 （2）直角三角形 【答案与解析】 解： （1）无理数：无限不循环小数叫做无理数. （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 【总结升华】对学过的定义要准确地牢记. 举
6、一反三：举一反三： 【变式】指出下列句子哪些是定义. (1)两直线平行,内错角相等； (2)两腰相等的梯形叫等腰梯形； (3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； (4)等腰三角形的两底角相等； (5)平行四边形的对角线互相平分； (6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【答案】 （2） ， （3） ， （6）是定义. 2说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （！ ）如果,ab bc，那么ac； （2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角. 【答案与解析】 解： （1）条件：,ab bc；结论：ac.它是真命题. 第 3 页 共 5 页 （2）条件：两个角相等；结论
7、：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右 下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角. 【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不 具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例. 举一反三：举一反三： 【变式】（2013贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）. A若 2 am，则am B若 ab，则 ambm C两个等腰三角形必定相似 D位似图形一定是相似图形 【答案】D 类型二、类型二、公理、定理及证明公理、定理及证明 3证明：等角的余角相等 【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论” ，应先写出已知、求证、
8、证明， 如果需要的话并画出图形，再证明. 【答案与解析】 已知：12，1+390，2+4=90. 求证：34. 证明：1+3=90，2+4=90， （已知） 3=90-1，4=90-2.（等式的性质） 1=2（已知） ， 3=4（等量代换）. 【总结升华】 “等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据此外， 在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”. 举一反三：举一反三： 【变式 1】 “垂线段最短”是（ ）. A定义 B定理 C公理 D不是命题 【答案】B 类型三类型三、平行平行线线的判的判定定定理定理 4.如图所示，由(1)13，(2)BADDCB，
9、可以判定哪两条直线平行 【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形” 【答案与解析】 解：(1)由13， 可判定 ADBC（内错角相等，两直线平行） ； (2)由BADDCB，13 得： 2BAD1DCB34（等式性质） ， 第 4 页 共 5 页 即24 ABCD（内错角相等，两直线平行） 综上，由（1） （2）可判定：ADBC，ABCD. 【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法即在条件下探索由这些条件 可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，下列条件中，不能判断直线 1 l 2 l的是（ ）. A13 B23 C
10、45 D2+41800 【答案】B 【变式 2】已知，如图，BE 平分 ABC，CF 平分 BCD，1=2，求证：AB/CD 【答案】 1=2 21=22 ，即ABCBCD AB/CD （内错角相等，两直线平行） 5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什 么？ 【答案与解析】 解：这两条直线平行.理由如下： 如图： ba, ca 1290 第 5 页 共 5 页 bc (同位角相等，两直线平行) 【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法. 举一反三：举一反三： 【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1=2，AB 与 CD 平行吗？请说明理由 【答案】 解：ABCD理由如下：如图： EFEG，GMEG (已知)， FEQMGE90(垂直的定义) 又 12(已知)， FEQ -1MGE -2 (等式性质)， 即34 ABCD (同位角相等，两直线平行)