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北京四中七年级上册数学命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解

1、第 1 页 共 6 页 命题、证明及平行线的判定定理命题、证明及平行线的判定定理(提高提高)知识讲解)知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1.了解定义、命题的含义,会区分命题的条件(题设)和结论; 2. 体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理; 4.了解公理和定理的定义,并能正确的写出已知和求证,掌握证明的基本步骤和书写格式; 5.掌握平行线的判定方法,并能简单应用这些结论. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、定义与命题要点一、定义与命题 1.1.定义定义:一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释:要点诠释: (1)定义实际上就是一种规定. (2)定义

2、的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.2.命题:命题:判断一件事情的句子叫做命题. 真命题:真命题:正确的命题叫做真命题. 假命题:假命题:不正确的命题叫做假命题. 要点诠释:要点诠释: (1)命题的结构:命题的结构:命题通常由条件(或题设)和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是 由已知事项推出的事项,一般地,命题都可以写成”如果那么”的形式,其中“如 果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. (2)命题的真假:命题的真假:对于真命题来说,当条件成立时,结论一定成立;对于假命题来说,当 条件成立时,不能保证结论正确,即结论不成立. 要点二、证明的必要性要点二、证明的必要性 要判断一个命

3、题是不是真命题,仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的,必须一步 一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理要点三、公理与定理 1.1.公理:公理:通过长期实践总结出来,并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释:要点诠释:欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.2.定理:定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释:要点诠释: 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的 条件,“求证”是命题的结论,而“证明”则是由条件(已知)出发,根据已给出的定义、 公理、已经证明的定理,经过一步一步的推理,最后证实结论(求

4、证)的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理要点四、平行公理及平行线的判定定理 1 1平行公理:平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 推论:推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 要点诠释:要点诠释: (1)平行公理特别强调“经过直线外一点” ,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质 (2)公理中“有”说明存在; “只有”说明唯一 (3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2 2平行线的判定定理平行线的判定定理 第 2 页 共 6 页 判定方法判定方法 1 1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言: 32 ABCD(同位角相等,两直线平

5、行) 判判定方法定方法 2 2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言: 12 ABCD(内错角相等,两直线平行) 判定方法判定方法 3 3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言: 42180 ABCD(同旁内角互补,两直线平行) 要点诠释:要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、定义与命题定义与命题 1说出下列命题的条件和结论,并判断它是真命题还是假命题: (1)在同一个三角形中,等角对等边; (2)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等; (3)有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似. 【答案与

6、解析】 解: (1)先把这个命题写成“如果那么”的形式:如果在同一个三角形中,有两个 角相等,那么这两个角所对的边也相等. 条件:同一个三角形中的两个角相等;结论:这两个角所对的两条边相等.它是真命题. (2)原命题可以写成:如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等,那么这两个 三角形全等. 条件:两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等;结论:这两个三角形全等.它是真 命题. (3)原命题可以写成:如果两个三角形两边对应成比例,且有任意一角对应相等,那么这 两个三角形相似. 条件:两个三角形两边对应成比例,且有任意一角对应相等;结论:这两个三角形相似. 它是假命题,反例:如下图: 第

7、 3 页 共 6 页 【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不 具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题,这种例子通常称为反例. 举一反三:举一反三: 【变式】下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题,如果是命题的话,请指出是真命题还是 假命题? (1)三角形的三条高交于一点;(2)解方程032 2 xx; (3)123. 【答案】 (2)不是命题; (1) (3)是命题,其中(1)是真命题, (3)是假命题. 【变式 2】下列真命题的个数是 ( ) (1)直线 a、b、c、d,如果 ab、cb、cd,则 ad. (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角

8、的平分线互相垂直. (3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等. (4)在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行 A1 个 B .2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 类型二、类型二、公理、定理及证明公理、定理及证明 2证明:对顶角相等. 【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论” ,应先写出已知、求证、证明,如 果需要的话并画出图形,再证明. 【答案与解析】 已知:如图,直线 AB,CD 相交于点 O,1 和2 是对顶角. 求证:12. 证明:1 和2 是对顶角(已知) , OA 与 OB 互为反向延长线(对顶角的意义). AOB 是平角(平角的定义). 同理,

9、COD 也是平角. 1 和2 都是AOC 的补角(补角的定义). 12(等角的补角相等). 【总结升华】 “对顶角相等”是一个定理,而不是公理. 举一反三:举一反三: 【变式】证明:相似三角形的周长比等于相似比 第 4 页 共 6 页 【答案】 已知:如图,ADEABC, AEAC=k 求证:CADE :CABCk 证明:ADEABC AE:ACAD:ABDE:BC k (AE+AD+DE):(AC+AB+BC)k CADE :CABCk 类型三类型三、平行公理及平行公理及平行平行线线的判的判定定 3. 如图,给出下列四个条件: (1)ACBD; (2)DACBCA; (3)ABD CDB;

10、(4)ADBCBD,其中能使 ADBC 的条件有 ( ). A (1) (2) B (3) (4) C (2) (4) D (1) (3) (4) 【思路点拨】欲证 ADBC,在图中发现 AD、BC 被一直线所截,故可按同位角相等、内错角 相等、同旁内角互补,两直线平行补充条件 【答案】C 【解析】从分解图形入手,即寻找 AD、BC 的截线. 【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立,必须具备的是哪些条件,再看 这些条件成立又需具备什么条件,直到追溯到已知条件为止 举一反三:举一反三: 【变式】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次 拐弯的角度可能

11、是( ) A第一次向左拐 30,第二次向右拐 30 B第一次向右拐 50,第二次向左拐 130 C第一次向右拐 50,第二次向右拐 130 D第一次向左拐 50,第二次向左拐 130 【答案】A 提示: “方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图 图 B 显然不同向,因为路线不平行 图 C 中,1180-13050,路线平行但不同向 图 D 中,1180-13050,路线平行但不同向 只有图 A 路线平行且同向,故应选 A 第 5 页 共 6 页 4. 如图所示,已知B25,BCD45,CDE30,E10试说明 ABEF 的理由 【思路点拨】利用辅助线把 AB、EF

12、 联系起来 【答案与解析】 解法解法 1 1:如图所示,在BCD 的内部作BCM25,在CDE 的内部作EDN10 B25,E10(已知), BBCM,EEDN(等量代换) ABCM,EFDN(内错角相等,两直线平行) 又 BCD45,CDE30(已知), DCM20,CDN20(等式性质) DCMCDN(等量代换) CMDN(内错角相等,两直线平行) ABCM,EFDN(已证), ABEF(平行线的传递性) 解法解法 2 2:如图所示,分别向两方延长线段 CD 交 EF 于 M 点、交 AB 于 N 点 BCD45, NCB135 B25, CNB180-NCB-B20(三角形的内角和等于

13、180) 又 CDE30, EDM150 又 E10, EMD180-EDM-E20(三角形的内角和等于 180) CNBEMD(等量代换) 所以 ABEF(内错角相等,两直线平行) 【总结升华】 判定两条直线平行的方法有四种, 选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活 选取 举一反三:举一反三: 【变式 1】已知,如图,BE 平分 ABD,DE 平分 CDB,且 1 与 2 互余,试判断直线 AB、 CD 的位置关系,请说明理由 第 6 页 共 6 页 【答案】 解:ABCD,理由如下: BE 平分ABD,DE 平分CDB, ABD21,CDB22 又 1+290, ABD+CDB180 ABCD(同旁内角互补,两直线平行) 【变式 2】已知,如图,ABBD 于 B,CDBD 于 D,1+2=180,求证:CD/EF 【答案】 证明:ABBD 于 B,CDBD 于 D, ABCD 又1+2=180, ABEF CD/EF