1、第 1 页 共 5 页 平方根平方根和开平方和开平方（提高）（提高） 【学习目标】【学习目标】 1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根 2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、平方根和算术平方根的概念平方根和算术平方根的概念 1 1. .平方根的定义平方根的定义 如果 2 xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫 做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.2.算术平方根的定义算术平方根的定义 正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根（又叫算术平
2、 方根） ，读作“根号a” ；a表示a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释：要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a0，a0. 要点二、要点二、平方根和算平方根和算术术平方根的区别与联系平方根的区别与联系 1 1区别：区别： （1）定义不同； （2）结果不同：a和a 2 2联系：联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0 的平方根和算术平方根均为 0 要点诠释：要点诠释： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根 （2） 正数的两个平方根互为相反数， 根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方
3、根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、要点三、平方根的性质平方根的性质 2 0 |00 0 aa aaa aa 2 0aaa 要点四、要点四、平方根小数点位数移动规律平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位， 它的算术平方根的小数点就相应地向右或者 向左移动 1 位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25. 【典型例题】【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念类型一、平方根和算术平方根的概念 第 2 页 共 5 页 1、若 2m4 与 3m1 是同一个正数的两个平方根，求m的值 【思路点拨】【思路点拨】 由于同
4、一个正数的两个平方根互为相反数， 由此可以得到 2m4 （3m 1） ，解方程即可求解 【答案与解析】【答案与解析】 解：依题意得 2m4（3m1） ， 解得m1； m的值为 1 【总结升华】【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 举一反三：举一反三： 【变式】已知 2a1 与a2 是m的平方根，求m的值. 【答案】【答案】2a1 与a2 是m的平方根，所以 2a1 与a2 相等或互为相反数. 解：当 2a1a2 时，a1，所以m 22 212 1 11a 当 2a1 （a2） 0 时，a1， 所以 22 2 212 ( 1) 139a 2、x为何值时，下
5、列各式有意义？ (1) 2 x； (2)4x； (3)11xx ； (4) 1 3 x x 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1)因为 2 0x ，所以当x取任何值时， 2 x都有意义 (2)由题意可知：40x，所以4x时，4x有意义 (3)由题意可知： 10 10 x x 解得：11x 所以11x 时11xx 有意 义 (4)由题意可知： 10 30 x x ，解得1x且3x 所以当1x且3x 时 1 3 x x 有意义 【总结升华总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨 论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母
6、不 为 0 时，式子才有意义 举一反三：举一反三： 【变式】已知4 322 2 32baa，求 11 ab 的算术平方根 【答案】【答案】 第 3 页 共 5 页 解：根据题意，得 320, 230. a a 则 2 3 a ，所以b2， 1131 2 22ab ， 11 ab 的算术平方根为 11 2 ab 类型二、平方根的运算类型二、平方根的运算 3、求下列各式的值 (1) 2222 252434；(2) 111 200.36900 435 【思路点拨】【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1) 2222 252434
7、49257 535； (2) 1118111 200.369000.630 435435 9 0.261.7 2 【总结升华】【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 据 2 (0)aa a 来解 类型类型三三、利用平方根解方程、利用平方根解方程 4、求下列各式中的x. （1） 2 3610;x （2） 2 1289x； （3） 2 9 32640x 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1） 2 3610x 2 361x 36119x （2） 2 1289x 1289x
8、 x117 x16 或x18. 第 4 页 共 5 页 （3） 2 9 32640x 264 32 9 x 8 32 3 x 214 99 xx 或 【总结升华总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2） （3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三：举一反三： 【变式】求下列等式中的x： （1）若 2 1.21x ，则x_； （2） 2 169x ，则x_； （3）若 2 9 , 4 x 则x_； （4）若 2 2 2x ，则x_ 【答案】【答案】 （1）1.1； （2）13； （3） 3 2 ； （4）2. 类型类型四四、平方根的综合应用、平方根的综
9、合应用 5、 已知a、b是实数， 且26|2 | 0ab ， 解关于 x 的方程 2 (2)1axba 【答案与解析】【答案与解析】 解：a、b是实数，26|2 | 0ab ，260a，|2 |0b， 260a，20b a3，2b 把a3，2b代入 2 (2)1axba，得x24，x6 【总结升华总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b 的值， 再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项 分别等于零即可 举一反三：举一反三： 【变式】若 2 110xy ，求 20112012 xy的值 【答案】【答案】 解：由 2 110xy
10、，得 2 10x ，10y ，即1x，1y 当x1，y1 时， 2011201220112012 1( 1)2xy 当x1，y1 时， 2011201220112012 ( 1)( 1)0xy 第 5 页 共 5 页 6、 小丽想用一块面积为 400 2 cm的正方形纸片， 沿着边的方向裁出一块面积为 300 2 cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求 的长方形纸片. 【答案与解析】【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为 3x (x0) cm，则宽为 2xcm，依题意得 32300xx. 2 6300x . 2 50x . x0， 50x . 长方形纸片的长为3 50cm. 5049, 507. 3 5021, 即长方形纸片的长大于 20cm. 由正方形纸片的面积为 400 2 cm, 可知其边长为 20cm, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华总结升华】 本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽， 再判断能否用边长为 20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.