1、 1 广东省广州市番禺区广东省广州市番禺区 2020 年高三年高三 3 月线上检测数学（理）试题月线上检测数学（理）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 UR，Ax|x2x60，Bx|yln（1x），则 A（UB）（ ） A1，3） B （1，3 C （1，3） D （2，1 2设（2+i） （3xi）3+（y+5）i（i 为虚数单位） ，其中 x，y 是实数，则|x+yi|等于（ ） A5 B13 C22 D2 3函数() =
2、的部分图象大致为（ ） A B C D 4要得到函数 = 23的图象，只需将函数 ysin3x+cos3x 的图象（ ） A向右平移3 4 个单位长度 B向右平移 2个单位长度 C向左平移个 4单位长度 D向左平移个 2单位长度 5等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 S69S3，S562，则 a1（ ） A2 B2 C5 D3 6射线测厚技术原理公式为 = 0;，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底 数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am） 低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对钢板的半价
3、层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸 收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 7设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ） 2 A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a、b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a、b，a，b，a，b 8设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）3xf（2）2lnx，则曲线 f（x）在点（4，f（4） ）处切线的 倾斜角为（ ）
4、A 6 B 4 C3 4 D5 6 , 9已知函数() = 2 32的图象关于直线 = 12对称，若 f（x1）f（x2）4，则|x1x2|的 最小值为（ ） A 3 B2 3 C 4 D 2 10中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生 火、 火生土、 土生金” 从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种， 则抽到的两种物质不相生的概率为 （ ） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 11 已知 F 是抛物线 C： y2x2的焦点， N 是 x 轴上一点， 线段 FN 与抛物线 C 相交于点 M， 若2 = ， 则 | | =（ ） A5
5、8 B1 2 C3 8 D1 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1，过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 E，交棱 CC1于点 F，则： 平面 分正方体所得两部分的体积相等； 四边形 BFD1E 一定是平行四边形； 平面 与平面 DBB1不可能垂直； 四边形 BFD1E 的面积有最大值 其中所有正确结论的序号为（ ） A B C D 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13(1 + 2 2) 8的展开式中 x2y2项的系数是 14已知实数 x，y，满足 2 + 6 0 则 z2x+y 取得最大值的最优解为 15设数列an的前
6、n 项和为 Sn，且1= 1，= + 2( 1)( )，则数列* 1 :3+的前 10 项的和是 3 16已知函数() = 2(1 2)，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图象上存在关于直线 y1 对 称的点，则实数 m 的取值范围是 三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答；第必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17在ABC 中，角
7、A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若 = 3 4，B2A，b3 （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积 18如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 AA1C1C平面 ABC，AA1AC，ACBC （1）证明：A1CAB1； （2）设 AC2CB，A1AC60 ，求二面角 C1AB1B 的余弦值 19已知长度为 4 的线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 = 3 ，记动点 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）设不经过点 H （0，1）的直线 y2x+t 与曲线 C 相交于两点
8、 M，N若直线 HM 与 HN 的斜率之和 为 1，求实数 t 的值 20某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保 维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 2000 元； 方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元 某医院准备一次性购买 2 台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 4 维修次数 0 1 2 3 台数 5
9、 10 20 15 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率 记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延 保的两年内共需维修的次数 （）求 X 的分布列； （）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 21已知函数() = (0) （1）若 f（x）lnx 在1，+）上恒成立，求 a 的取值范围 （2）证明： 1 1 ( + 1) + 2(:1)( 1， ) 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 = 8 1:2 = 3(1;2) 1:2 （k 为参数） ，以坐标原点 O
10、为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为( + 4) = 32 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集； （2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求实数 a 的取值范围 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1
11、Ax|2x3，Bx|x1， UBx|x1，A（UB）1，3） 故选：A 2（2+i） （3xi）3+（y+5）i， （6+x）+（32x）i3+（y+5）i， 6 + = 3 3 2 = + 5，解得： = 3 = 4 ， x+yi3+4i， |x+yi|= (3)2+ 42= 5， 5 故选：A 3根据题意，f（x）= ，其定义域为x|x0， 又由 f（x）= (;) ; = = f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 A、B， 在区间（0， 2） ，f（x）= 0，且当 x0 时， +，排除 D； 故选：C 4因为 = 3 + 3 = 2(3 + 4)，所以将其图象向左平移 4个单位长
12、度， 可得 = 2,3( + 4) + 4- = 2(3 + ) = 23， 故选：C 5根据题意，等比例数列an中，若 S69S3，则 q1， 若 S69S3，则1(1; 6) 1; =9 1(1;3) 1; ，解可得 q38，则 q2， 又由 S562，则有 S5= 1(1;5) 1; =31a162， 解可得 a12； 故选：B 6由题意可得，1 2 =1 e 7.60.8， ln27.60.8， 即 6.080.6931，则 0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选：C 7对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故 A 不对； 对于 B，一个平面中的一条直线平行
13、于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对； 对于 C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对； 对于 D， 两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面， 可以保证两个平面平行， 故 D 正确 故选：D 8函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且 f（x）3xf（2）2lnx， 可得 f（x）3f（2） 2 ，可得 f（2）= 1 2， 所以 f（x）= 3 2 2 ， f（4）= 3 2 2 4 =1， 6 曲线 yf（x）在点（4，f（4） ）处切线的倾斜角为 ，tan1， = 4 故选：B 9f（x）的图象关于直线 = 12对称， f（0）f（ 6） ，
14、 即3 =asin（ 3）3cos（ 3）= 3 2 a 3 2 ， 得 3 2 a= 3 2 ，得 a1， 则 f（x）sin2x3cos2x2sin（2x 3） ， f（x1）f（x2）4， f（x1）2，f（x2）2 或 f（x1）2，f（x2）4， 即 f（x1） ，f（x2）一个为最大值，一个为最小值， 则|x1x2|的最小值为 2， T= 2 2 =， 2 = 2， 即|x1x2|的最小值为 2， 故选：D 10从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共5 2 =10 种，而相生的有 5 种， 则抽到的两种物质不相生的概率 P1 5 10 = 1 2 故选：D 11如图：抛物线 C
15、：x2= 1 2y， F（0，1 8） ， 2 = ，|OF|= 1 8 |MA|= 2 3|OF|= 1 12 |MB|MF|= 5 24， |FN|3|FM|= 5 8 7 故选：A 12如图则： 对于：由正方体的对称性可知，平面 分正方体所得两部分的体积相等，故正确； 对于： 因为平面 ABB1A1CC1D1D， 平面 BFD1E平面 ABB1A1BF， 平面 BFD1E平面 CC1D1DD1E， BFD1E，同理可证：D1FBE，故四边形 BFD1E 一定是平行四边形，故正确； 对于： 当 E、 F 为棱中点时， EF平面 BB1D， 又因为 EF平面 BFD1E， 所以平面 BFDE
16、平面 BBD， 故不正确； 对于：当 F 与 A 重合，当 E 与 C1重合时，BFD1E 的面积有最大值，故正确 正确的是， 故选：C 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13(1 + 2 2) 8 表示 8 个因式（1+2x 2）的乘积，要得到含 x 2y2的项， 需其中有 2 个因式取 2x，2 个因式取 2，其余的因式都取 1 故展开式中 x2y2项的系数为8 22262(1 2) 244 =420， 8 故答案为：420 14实数 x，y 满足 ， 2， + 6 0， 的如图所示区域， 把 y2x+z，平移，当直线经过点（4
17、，2）时，z 取最大值， 最大值为 z10 故答案为： （4，2） 15依题意，由 an= +2（n1） ，可得： Snnan2n（n1） ，nN* 当 n2 时，anSnSn1nan2n（n1）（n1）an1+2（n1） （n2） ， 整理，得（n1） （anan1）4（n1） ， 即 anan14 数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列 Snn+ (;1) 2 42n2n 1 :3 = 1 22;:3 = 1 22:2 = 1 2(:1) = 1 2（ 1 1 :1） 设数列* 1 :3+的前 n 项和为 Tn，则 T10= 1 1:31 + 1 2:32 + + 1 10:310
18、 = 1 2（1 1 2）+ 1 2（ 1 2 1 3）+ 1 2（ 1 10 1 11） = 1 2（1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 10 1 11） = 1 2（1 1 11） = 5 11 故答案为： 5 11 9 16g（x）mx+1 关于直线 y1 对称的直线为 yh（x）1mx， 直线 y1mx 与 y2lnx 在1 ，e 2上有交点 作出 y1mx 与 y2lnx 的函数图象， 如图所示： 若直线 y1mx 经过点（1 ，2） ， 则 m3e， 若直线 y1mx 与 y2lnx 相切， 设切点为（x，y） 则 = 1 = 2 2 = ，解得 = 3 2 = 3 = 2
19、; 3 2 2; 3 2m3e 故答案为：2; 3 2，3e 三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答；第必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （1）由正弦定理得 = ，得 = 3 2，得 = 3 2，得 a= 3 2 = 3 23 4 =2， （2）cosA= 3 4，sinA= 7 4 ，cosBcos2A2cos2A1= 1 8，sin
20、B= 37 8 ， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB= 57 16 由正弦定理得 = ，c= = 5 2 由角平分线定理得 = = = 3 = 6 5， 10 MB= 5 11BC= 5 11 2= 10 11，SABM= 1 2MB AB sinB= 1 2 10 11 5 2 sin2A= 25 22 2 7 4 3 4 = 757 176 ， 18 （1）证明：连结 AC1 AA1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，A1CAC1 平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABCAC，BC平面 ABC，BCAC， BC平面 AA1C1C 又BCB1C
21、1，B1C1平面 AA1C1C，B1C1A1C AC1B1C1C1， A1C平面 AB1C1，而 AB1平面 AB1C1， A1CAB1 （2）取 A1C1的中点为 M，连结 CM AA1AC，四边形 AA1C1C 为菱形，A1AC60 ，CMA1C1，CMAC 又CMBC，以 C 为原点，CA，CB，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图 设 CB1，AC2CB2，AA1AC，A1AC60 ， C（0，0，0） ，A1（1，0，3） ，A（2，0，0） ，B（0，1，0） ，B1（1，1，3） 由（1）知，平面 C1AB1的一个法向量为1 = (1，0，3) 设平面 ABB1的法向量为 =
22、(，)，则 = 0并且 1 = 0， 2 + = 0 3 + + 3 = 0 令 x1，得 = 2， = 1 3 ，即 = (1，2， 1 3 ) 1 ， = 1 |1 | |= 2 216 3 = 3 4 ， 二面角 C1AB1B 的余弦值为： 3 4 11 19 （1）设 P（x，y） ，A（m，0） ，B（0，n） ， = 3 ， （x，yn）3（mx，y）（3m3x，3y） ， 即 = 3 3 = 3， = 4 3 = 4 ， |AB|4， m2+n216， 16 9 2+ 162= 16， 曲线 C 的方程为： 2 9 + 2= 1； （）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，
23、 由 = 2 + 2 9 + 2= 1，消去 y 得， 37x2+36tx+9（t21）0， 由（36t）24 37 9（t21）0， 可得3737， 又直线 y2x+t 不经过点 H（0，1） ， 且直线 HM 与 HN 的斜率存在， t1， 又1+ 2= 36 37，12 = 92;9 37 ， kHM+kHN= 1;1 1 + 2;1 2 = 412:(;1)(1:2) 12 4 4 :1 =1， 12 解得 t3， 故 t 的值为 3 20 （本小题满分 12 分） 解： （）X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6 ( = 0) = 1 10 1 10 = 1 100， (
24、= 1) = 1 10 1 5 2 = 1 25， ( = 2) = 1 5 1 5 + 2 5 1 10 2 = 3 25， ( = 3) = 1 10 3 10 2 + 1 5 2 5 2 = 11 50， ( = 4) = 2 5 2 5 + 3 10 1 5 2 = 7 25， ( = 5) = 2 5 3 10 2 = 6 25， ( = 6) = 3 10 3 10 = 9 100， X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 100 1 25 3 25 11 50 7 25 6 25 9 100 （）选择延保方案一，所需费用 Y1元的分布列为： Y1 7000 900
25、0 11000 13000 15000 P 17 100 11 50 7 25 6 25 9 100 1= 17 100 7000 + 11 50 9000 + 7 25 11000 + 6 25 13000 + 9 100 15000 = 10720（元） 选择延保方案二，所需费用 Y2元的分布列为： Y2 10000 11000 12000 P 67 100 6 25 9 100 2= 67 100 10000 + 6 25 11000 + 9 100 12000 = 10420（元） EY1EY2，该医院选择延保方案二较合算 21 （1）由 f（x）lnx，可得 ax lnx，当 x1
26、时，成立， 当 x1 时，可得 a 2;1恒成立， 13 设 g（x）= 2;1，x1， g（x）= 2;1;2; (2;1)2 ， 令 h（x）x21x2lnxlnx，x1， h（x）2x2xlnx 1 ， 令 （x）2x2xlnx 1 ，x1， （x）12lnx+ 1 2， 易知 （x）在（1，+）上单调递减， （x）（1）0， （x）在（1，+）上单调递减， h（x）（x）（1）0， h（x）在（1，+）上单调递减， h（x）h（1）0， 即 g（x）0 在（1，+）恒成立， g（x）在（1，+）上单调递减， 而 1 2;1 = 1 1: 2 = 1 2， a 1 2 综上所述，a 的取
27、值范围为：1 2，+） （2）由（1）可得当 a= 1 2时， 1 2（x 1 ）lnx 在1，+）恒成立， x= :1 ，可得1 2（ :1 :1）ln :1 ，即1 2（ 1 + 1 :1）ln :1 由同向不等式可加性累加可得， 1 2（1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ）+（ 1 2 + 1 3 + + 1 :1）ln（2 3 2 4 3 :1 ）ln（n+1） ， 1 22（1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ）+ 1 :1 1ln（n+1） ， （1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ） 2(:1) ln（n+1） ， 1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ln（n+1）+
28、2(:1)， 1 1 ( + 1) + 2(:1)( 1， ) 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 14 22 （1）曲线 C 的参数方程是 = 8 1:2 = 3(1;2) 1:2 （k 为参数） ，平方后得 2 16 + 2 9 = 1， 又 = 3 + 6 2:1 (3，3-，曲线 C 的普通方程为 2 16 + 2 9 = 1( 3) 直线 l 的极坐标方程为 cos（+ 4）32，转换为直角坐标方程为 xy60 （2）将曲线 C 化成参数方程形式为 = 4 = 3 （ 为参数） ， 则 d= |4;3;6| 2 = |5(:);6| 2 ，其中 = 3 4， 所以 2 2 112 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （1）当 a4 时，f（x）|2x1|+|2x4|= 4 + 5， 1 2 3， 1 2 2 4 52 f（x）9，4 + 59 1 2 或4 59 2 ， x1 或 7 2， 不等式的解集为*| 1或 7 2+； （2）f（x）|2x1|+|2xa|（2x1）（2xa）|a1|，f（x）min|a1| 对任意 xR，恒有 f（x）5a， f（x）min5a，即|a1|5a，a3， a 的取值范围为3，+）