1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 二次根式综合复习 主要内容主要内容 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”主要内容有：（1） 二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质； （3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等 二次根式综合复习 要点归纳要点归纳 1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负 数时，才有意义 2. 二次根式的性质： 3. 二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减 （1）二次根式的加减： 需要先把
2、二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开 方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二 次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数 （2）二次根式的乘法： （3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时 还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式 （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算 的，可适当改变运算顺序进行简
3、便运算 注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便 使运算过程简便二次根式运算结果应尽可能化简另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能 写成带分数例如不能写成 （5）有理化因式： 一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与； 与； 与； 与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化 考点考点 1、二次根式的定义、二次根式的定义 【例 1】 y x 是二次根式，则yx、应满足的条件是（ ） A、0x且0y B、0 y x C、0x且0y D、0 y x 【答案】D 【例 2】已知二次根式 2 n nm的值为 2，则mn_。 【答案】12 归纳：提及
4、某个式子是二次根式，主要观察两方面：归纳：提及某个式子是二次根式，主要观察两方面：1、被开方数非负；、被开方数非负；2、根指数为、根指数为 2. . 判断某个式子是否是二次根式也主要看这两点判断某个式子是否是二次根式也主要看这两点. . 考点考点 2、二次根式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【例 3】x取值为多少的时候下列各式有意义. （1）12 x （2）44 2 xx （3） y 2 （4） x x 3 （5） 3 52 x x （6）xx3132 【答案】 （1） 1 2 x （2）任意实数（3）0y （4）03x（5） 5 3 2 xx 且（6） 31 23 x 【例 4】已知 2
5、 1 88xxy，求 y x的值. 【答案】2 2 归纳：通常二次根式有意义的条件是被开方数非负；如果是多个二次根式组合的式子，则必须保证每个归纳：通常二次根式有意义的条件是被开方数非负；如果是多个二次根式组合的式子，则必须保证每个 二次根式都有意义；若分母（或除数）中含有字母，还需要保证分母（或除数）不为二次根式都有意义；若分母（或除数）中含有字母，还需要保证分母（或除数）不为 0. . 考点考点 3、二次根式的性质、二次根式的性质. . 【例 5】把 a a 1 的根号外的因式移到根号内等于_. 【答案】a 【例 6】使等式成立的条件是_. 【答案】1x 【例 7】已知，则x的取值范围为_
6、. 【答案】2x 11) 1)(1(xxxx xx22 【例 8】已知cba、在数轴上的位置如下图所示，化简： 2 2 ) 1(2bccaaa 【答案】1a b 归纳：对二次根式的变形都是依据二次根式的性质，解这一类型的问题，一定要熟记性质内容以及各性归纳：对二次根式的变形都是依据二次根式的性质，解这一类型的问题，一定要熟记性质内容以及各性 质的前提条件质的前提条件. .要善于从题目中提取信息要善于从题目中提取信息. . 考点考点 4：最简二次根式与同类二次根式：最简二次根式与同类二次根式. . 【例 9】若ab是最简二次根式，则ba、的值可能是（ ） A、1412ba、 B、219ba、 C
7、、1615ba、 D、5213ba、 【答案】 C 【例 10】若27与a16是同类二次根式，则a的最小值为_. 【答案】3 【例 11】若0ab，化简ba2等于_. 【答案】a b 【例 12】下列各选项中，哪一组是同类二次根式（ ） A、3与13 B、3与9 C、3与313 D、3与3 2 a 【答案】D 归纳：明确最简二次根式的主要特征：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数归纳：明确最简二次根式的主要特征：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数. . 明确同类二次根式的概念：化为最简二次根式之后被开方数相同的二次根式是同类二次根式明确同类二次根式的概念：化为最简二次根式之后
8、被开方数相同的二次根式是同类二次根式. . 考点考点 5、有理化因式和分母有理化、有理化因式和分母有理化. . 【例 13】写出下列各式的有理化因式. a ab anb ab anbm 【答案】ababn abam bn a 【例 14】将下列各式分母有理化. （1） 3 1 （2） 32 1 （3） 35 1 （4） 3352 1 【答案】 （1） 3 3 （2）23（3） 53 2 （4）2 53 3 归纳：确定一个式子的有理化因式的方法归纳：确定一个式子的有理化因式的方法 若这个式子只有一项， 把这个式子化为最简二次根式之后的无理数因式与任意非零有理数若这个式子只有一项， 把这个式子化为
9、最简二次根式之后的无理数因式与任意非零有理数的乘积的乘积 都是这个式子的有理化因式；若这个式子表现为和或差的形式，则可以采用平方差公式，取与之对应的都是这个式子的有理化因式；若这个式子表现为和或差的形式，则可以采用平方差公式，取与之对应的 差或和作为这个式子的有理化因式差或和作为这个式子的有理化因式. . 将一个式子分母有理化，就是将分子、分母同时分母的有理化因式，结果中分子、分母能约分的将一个式子分母有理化，就是将分子、分母同时分母的有理化因式，结果中分子、分母能约分的 要约分要约分. . 考点考点 6、二次根式非负性的运用、二次根式非负性的运用 【例 15】已知0)2(53 2 cba，求
10、cba. 【答案】6 归纳：我们已经学习了归纳：我们已经学习了a、a、 n a2（即二次根式、绝对值和一个数的偶次幂）这些非负数，只要是（即二次根式、绝对值和一个数的偶次幂）这些非负数，只要是 多个非负数和为多个非负数和为 0，那么这些非负数一定同时为，那么这些非负数一定同时为 0. . 考点考点 7：二次根式的大小比较与计算：二次根式的大小比较与计算 【例 16】比较下列各组数的大小. （1）和 （2） 2 31 与 1 21 6556 （3） 比较与1314 的大小。 【答案】 （1）（2）（3） 归纳：常用的二次根式比较大小的方法：归纳：常用的二次根式比较大小的方法：根式变形法根式变形法
11、 平方法、分母有理化法等平方法、分母有理化法等 【例 17】二次根式的运算. （1）计算： 33 1264 4 x xx x （2）计算： 5 1 3 3 1 5 2 3 75. 04 （3）计算: 2 1 1 2 1 23 2 236 ）（ 【答案】 （1）3x（2）4 5（3） 9 3 2 2 归纳归纳 ：二次根式的运算顺序：二次根式的运算顺序： （1）在运算过程中，有理数）在运算过程中，有理数( (式式) )中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数( (式式) )中的乘法公式在中的乘法公式在 二次根式中仍然适用；二次根式中仍然适用； （2 2）二次
12、根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次最简二次 根式根式. . 1415 【习题 1】在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D 【答案】C 【习题 2】在下列各式中，二次根式的有理化因式（ ） ； +ab； C； D 【答案】C 【习题 3】计算的结果是（ ） (A) ； (B) 6； (C) 2 3； (D) 3 2 【答案】B 【习题 4】下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） （A） 9； （B） 7 ； （C） 20 ； （D） 1 3 【答案】B 【习
13、题 5】方程21 x的解为_. 【答案】5 【习题 6】已知n12是正整数，则实数n的最大值为（ ） A、12 B、11 C、8 D、3 【答案】B 【习题 7】计算12 3 1 的结果是（ ） A、3 3 7 B、23 3 3 C、3 D、3 3 5 【答案】D 【习题 8】若 2 )(11yxxx，则yx的值为（ ） a 2a 2 3a 3 a 4 a a b- A+a bBa b-ab- 23 5 A、1 B、1 C、2 D、3 【答案】C 【习题 9】函数 x x y 5 的定义域为 . 【答案】50xx且 【习题 10】不等式：的解集是_. 【答案】25x 【习题 11】xx33 2 ）（，则x的取值范围为_. 【答案】3x 【习题 12】已知yx、为实数，且499 22 xxy，则 yx_. 【答案】17或 【习题 13】若2 2 44 xx y，则 y yx）（ =_. 【答案】 1 4 【习题 14】实数a在数轴上的位置如图，化简aa 2 1 ）（=_. 【答案】1 【习题 15】已知32x，则代数式332347 2 xx的值为_. 【答案】23 152xx