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2020高考数学(文)专项复习《立体几何》含答案解析

1、立体几何立体几何 立体几何的知识是高中数学的主干内容之一, 它主要研究简单空间几何体的位置和数量 关系本专题内容分为三部分:一是点、直线、平面之间的位置关系,二是简单空间几何体 的结构,三是空间向量与立体几何在本专题中,我们将首先复习空间点、直线、平面之间 的位置关系,特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究;其后,我们复习空间几何体 的结构,主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算;最后,我们通过空间向量的工具证 明有关线、面位置关系的一些命题,并解决线线、线面、面面的夹角问题 7 71 1 点、直线、平面之间的位置点、直线、平面之间的位置关系关系 【知识【知识要点】要点】 1空间直线和平面

2、的位置关系: (1)空间两条直线: 有公共点:相交,记作:abA,其中特殊位置关系:两直线垂直相交 无公共点:平行或异面 平行,记作:ab 异面中特殊位置关系:异面垂直 (2)空间直线与平面: 有公共点:直线在平面内或直线与平面相交 直线在平面内,记作:a 直线与平面相交,记作:aA,其中特殊位置关系:直线与平面垂直相交 无公共点:直线与平面平行,记作:a (3)空间两个平面: 有公共点:相交,记作:l,其中特殊位置关系:两平面垂直相交 无公共点:平行,记作: 2空间作为推理依据的公理和定理: (1)四个公理与等角定理: 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都

3、在此平面内 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补 (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理: 判定定理: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直

4、 性质定理: 如果一条直线与一个平面平行, 那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平 面的两条直线平行 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理,得到下面的位置关系图: 【复习要求】【复习要求】 1了解四个公理与等角定理; 2理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理; 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是A

5、B,AA1的中点 求证:()E、C、D1、F四点共面;()CE、DA、D1F三线共点 【分析】【分析】对于()中证明“E、C、D1、F四点共面” ,可由这四点连接成两条直线,证明 它们平行或相交即可;对于()中证明“CE、DA、D1F三线共点” ,可证其中两条相交直线的 交点位于第三条直线上 证明:证明:()连接D1C、A1B、EF E,F分另是AB,AA1的中点, EFA1B,, 2 1 1B AEF 又A1D1BC,A1D1BC, A1D1CB是平行四边形 A1BD1C,EFD1C, E、C、D1、F四点共面 ()由()得EFCD1,, 2 1 1 CDEF 直线CE与直线D1F必相交,记

6、CE D1FP, PD1F 平面A1ADD1,PCE平面ABCD, 点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点 平面A1ADD1平面ABCDAD, PAD, CE、DA、D1F三线共点 【评述】【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据: (1)证明多点共面常用公理 2 及其推论; (2)证明多点共线常用公理 3,即证明点在两个平面内,从而点在这两个平面的交线上; (3)证明多线共面,首先由其中两直线确定平面,再证其余直线在此平面内 2、证明a,b,c三线交于一点的主要依据: (1)证明a与b相交,c与b相交,再证明两交点重合; (2)先证明a与b相交于点P,再证明Pc 例例

7、 2 2 在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求 证:MN平面PAD 【分析】【分析】要证明“线面平行” ,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中 出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明 证明:证明:方法一,取PD中点E,连接AE,NE 底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点, MACD,. 2 1 CDMA E是PD的中点, NECD,. 2 1 CDNE MANE,且MANE, AENM是平行四边形, MNAE 又AE平面PAD,MN 平面PAD, MN平面PAD 方法二取CD中点F,连接MF,NF MFA

8、D,NFPD, 平面MNF平面PAD, MN平面PAD 【评述】【评述】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线平行: ac,bc, a,a a,b b a,b ab ab ab ab (2)证明线面平行: a ab b,a a a a a (3)证明面面平行: a,b a,a , a,b,abA 例例 3 3 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1AC,ABAC,求证:A1CBC1 【分析】【分析】要证明“线线垂直” ,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A1C垂直 于经过BC1的平面即可 证明:证明:连接AC1 ABCA1B1C1是直三棱柱, AA1平面ABC, AB

9、AA1 又ABAC, AB平面A1ACC1, A1CAB 又AA1AC, 侧面A1ACC1是正方形, A1CAC1 由,得A1C平面ABC1, A1CBC1 【评述】【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本 题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化 例例 4 4 在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,ABBC,APPB,求证:平面PAC 平面PBC 【分析】【分析】要证明“面面垂直” ,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又 可 以通过“线线垂直”进行转化 证明:证明: 平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB

10、,且ABBC, BC平面PAB, APBC 又APPB, AP平面PBC, 又AP平面PAC, 平面PAC平面PBC 【评述】【评述】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线垂直: ac,bc, a b ab ab (1)证明线面垂直: am,an ab,b ,a ,l m,n,mnA a,al a a a a (1)证明面面垂直: a,a 例例 5 5 如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面A1ABB1是菱形, 且垂直于底面ABC,A1AB 60,E,F分别是AB1,BC的中点 ()求证:直线EF平面A1ACC1; ()在线段AB上确定一点G,使平面EFG平面ABC,并

11、给出证明 证明:证明:()连接A1C,A1E 侧面A1ABB1是菱形, E是AB1的中点, E也是A1B的中点, 又F是BC的中点,EFA1C A1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1, 直线EF平面A1ACC1 (2)解:当 3 1 GA BG 时,平面EFG平面ABC,证明如下: 连接EG,FG 侧面A1ABB1是菱形,且A1AB60,A1AB是等边三角形 E是A1B的中点, 3 1 GA BG ,EGAB 平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB, EG平面ABC 又EG平面EFG,平面EFG平面ABC 练习练习 7 71 1 一、选择题:一、选择题: 1已知m,

12、n是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) (A)若m,n,则mn (B)若m,n,则mn (C)若,则 (D)若m,m,则 2已知直线m,n和平面,且mn,m,则( ) (A)n (B)n,或n (C)n (D)n,或n 3设a,b是两条直线,、是两个平面,则ab的一个充分条件是( ) (A)a,b, (B)a,b, (C)a,b, (D)a,b, 4设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) (A)在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 (B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直 (C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行 (D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直 二

13、、填空题:二、填空题: 5在三棱锥PABC中,6 PBPA,平面PAB平面ABC,PAPB,ABBC,BAC 30,则PC_ 6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,当底面ABCD满足条件_时,有A1CB1D1(只要求写 出一种条件即可) 7设,是两个不同的平面,m,n是平面,之外的两条不同直线,给出四个论断: mn n m 以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出正确的一个命题_ 8已知平面平面,l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m ,m,给出下列四种位置:ABm;ACm;AB;AC, 上述四种位置关系中,不一定成立的结论的序号是_ 三、解答题:三、解答题: 9如图,三

14、棱锥PABC的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形,M,N分别为PA,BC的中 点 ()求MN的长; ()求证:PABC 10如图,在四面体ABCD中,CBCD,ADBD,且E、F分别是AB、BD的中点求证: ()直线EF平面ACD; ()平面EFC平面BCD 11 如图, 平面ABEF平面ABCD, 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形, BADFAB90, BCAD,AFBEAFBEADBC 2 1 ,/, 2 1 ,G,H分别为FA,FD的中点 ()证明:四边形BCHG是平行四边形; ()C,D,F,E四点是否共面?为什么? ()设ABBE,证明:平面ADE平面CDE 7 72 2 空间

15、几何体的结构空间几何体的结构 【知识要点】【知识要点】 1简单空间几何体的基本概念: (1) (2)特殊的四棱柱: (3)其他空间几何体的基本概念: 几何体 基本概念 正棱锥 底面是正多面形,并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面间的几何体是正棱台 圆柱 以矩形的一边所在的直线为轴,将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 圆锥 以直角三角形的一边所在的直线为轴,将直角三角形旋转一周形成的曲面 围成的几何体 圆台 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴,将直角梯形旋转一周形成 的曲面围成的几何体 球面 半圆以它的直径为轴旋转,旋转而成的曲面 球 球面所

16、围成的几何体 2简单空间几何体的基本性质: 几何体 性质 补充说明 棱柱 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角 面)是平行四边形 (1)直棱柱的侧棱长与高相等,侧 面及对角面都是矩形 (2)长方体一条对角线的平方等于 一个顶点上三条棱长的平方和 正棱锥 (1)侧棱都相等,侧面是全等的等腰三 角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的 射影组成一个直角三角形;棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一 个直角三角形 球 (1)球心和球的截面圆心的连线垂直于 截面 (2)球心到截面的距离d,球的半径R, 截面圆

17、的半径r满足 22 dRr (1)过球心的截面叫球的大圆,不 过球心的截面叫球的小圆 (2)在球面上,两点之间的最短距 离,就是经过这两点的大圆在这两 点间的一段劣弧的长度(两点的球 面距离) 3简单几何体的三视图与直观图: (1)平行投影: 概念:如图,已知图形F,直线l与平面相交,过F上任意一点M作直线MM1平行 于l,交平面于点M1,则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影如果图形F上 的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1, 则F1叫图形F在内关于直线l的 平行投影平面叫投射面,直线l叫投射线 平行投影的性质: 性质 1直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 性质 2平行直

18、线的平行投影是平行或重合的直线; 性质 3平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; 性质 4与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; 性质 5在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 (2)直观图:斜二侧画法画简单空间图形的直观图 (3)三视图: 正投影:在平行投影中,如果投射线与投射面垂直,这样的平行投影叫做正投影 三视图: 选取三个两两垂直的平面作为投射面 若投射面水平放置, 叫做水平投射面, 投射到这个平面内的图形叫做俯视图;若投射面放置在正前方,叫做直立投射面,投射到这 个平面内的图形叫做主视图;和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面

19、,投 射到这个平面内的图形叫做左视图 将空间图形向这三个平面做正投影, 然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面 内,这样构成的图形叫空间图形的三视图 画三视图的基本原则是“主左一样高,主俯一样长,俯左一样宽” 4简单几何体的表面积与体积: (1)柱体、锥体、台体和球的表面积: S直棱柱侧面积ch,其中c为底面多边形的周长,h为直棱柱的高 chS 2 1 正棱锥形面积 ,其中c为底面多边形的周长,h为正棱锥的斜高 hccS)( 2 1 正棱台侧面积 ,其中c ,c分别是棱台的上、下底面周长,h为正棱台 的斜高 S圆柱侧面积2Rh,其中R是圆柱的底面半径,h是圆柱的高 S圆锥侧面积Rl,其中

20、R是圆锥的底面半径,l是圆锥的母线长 S球4R 2,其中 R是球的半径 (2)柱体、锥体、台体和球的体积: V柱体Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高 ShV 3 1 锥体 ,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高 )( 3 1 SSSShV台体,其中S ,S分别是台体的上、下底面的面积,h为台体 的高 3 3 4 RV 球 ,其中R是球的半径 【复习要求】【复习要求】 1了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征; 2会画出简单几何体的三视图,会用斜二侧法画简单空间图形的直观图; 3理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 如图,正三棱锥PABC

21、的底面边长为a,侧棱长为b ()证明:PABC; ()求三棱锥PABC的表面积; ()求三棱锥PABC的体积 【分析】【分析】对于()只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可;对于()则要根据 正三棱锥的基本性质进行求解 证明:证明:()取BC中点D,连接AD,PD PABC是正三棱锥, ABC是正三角形,三个侧面PAB,PBC,PAC是全等的等腰三角形 D是BC的中点,BCAD,且BCPD, BC平面PAD,PABC ()解:在 RtPBD中,,4 2 1 2222 abBDPBPD .4 42 1 22 ab a PDBCS PBC 三个侧面PAB,PBC,PAC是全等的等腰三

22、角形, 三棱锥PABC的侧面积是.4 4 3 22 ab a ABC是边长为a的正三角形,三棱锥PABC的底面积是, 4 3 2 a 三棱锥PABC的表面积为)312( 4 3 4 4 3 4 3 2222 2 aba a ab aa ()解:过点P作PO平面ABC于点O,则点O是正ABC的中心, , 6 3 2 3 3 1 3 1aa ADOD 在 RtPOD中,,3 3 3 2222 abODPDPO 三棱锥PABC的体积为.3 12 3 3 3 4 3 3 1 22 2 22 2 ab a ab a 【评述】【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形,如本题中的 Rt

23、POD,其中含有棱锥的高PO;如 RtPBD,其中含有侧面三角形的高PD,即正棱锥的斜高; 如果连接OC,则在 RtPOC中含有侧棱熟练运用这几个直角三角形,对解决正棱锥的有 关问题很有帮助 2、正n(n3,4,6)边形中的相关数据: 正三角形 正方形 正六边形 边长 a a a 对角线长 a2 长:2a;短:a3 边心距 a 6 3 2 a a 2 3 面积 2 4 3 a a 2 2 2 33 a 外接圆半径 a 3 3 a 2 2 a 例例 2 2 如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,E是AC的中点 ()求证:平面BEC1平面ACC1A1;()求证:AB1平面BEC1 【分析】【分析】

24、本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图, 这种情况下对空间想象能力提出了 更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考 证明:证明:()ABCA1B1C1是正三棱柱,AA1平面ABC, BEAA1 ABC是正三角形,E是AC的中点, BEAC, BE平面ACC1A1, 又BE平面BEC1, 平面BEC1平面ACC1A1 ()证明:连接B1C,设BC1B1CD BCC1B1是矩形,D是B1C的中点, DEAB1 又DE平面BEC1,AB1平面BEC1, AB1平面BEC1 例例 3 3 在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已 知BD2AD8,

25、542 DCAB ()设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; ()求四棱锥PABCD的体积 【分析】【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从M是PC上的 动点分析知,MB,MD随点M的变动而运动,因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否 垂直平面PAD 证明:证明:()在ABD中, 由于AD4,BD8,54AB, 所以AD 2BD2AB2 故ADBD 又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BD平面ABCD, 所以BD平面PAD, 又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD ()解:过P作POAD交AD于O, 由于平面PAD平面ABCD,所以P

26、O平面ABCD 因此PO为四棱锥PABCD的高, 又PAD是边长为 4 的等边三角形因此. 324 2 3 PO 在底面四边形ABCD中,ABDC,AB2DC, 所以四边形ABCD是梯形,在 RtADB中,斜边AB边上的高为 5 58 54 84 ,即为梯形 ABCD的高, 所以四边形ABCD的面积为.24 5 58 2 5452 S故 . 3163224 3 1 ABCDP V 例例 4 4 如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的主 视图和左视图在下面画出(单位:cm) ()画出该多面体的俯视图; ()按照给出的尺寸,求该多面体的体积; ()在所给直观图中连结BC

27、 ,证明:BC平面EFG 【分析】【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高,主俯一样长,俯左一样宽” ,根据此原 则及相关数据可以画出三视图 证明:证明:()该几何体三视图如下图: ()所求多面体体积).cm( 3 284 2)22 2 1 ( 3 1 644 2 正三棱锥长方体 VVV ()证明:在长方体ABCDABCD中,连结AD,则ADBC 因为E,G分别为AA,AD中点, 所以ADEG, 从而EGBC 又BC平面EFG, 所以BC平面EFG 例例 5 5 有两个相同的直三棱柱,底面三角形的三边长分别是 3a,4a,5a,高为 a 2 ,其 中a0用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能

28、的情形中,表面积最小的一个是四 棱柱,求a的取值范围 解:解:直三棱柱ABCA1B1C1的三个侧面的面积分别是 6,8,10,底面积是 6a 2,因此每个 三棱柱的表面积均是 26a 2681012a224 情形:将两个直三棱柱的底面重合拼在一起,只能拼成三棱柱,其表面积为: 2(12a 224)26a212a248 情形:将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起,结果可能拼成三棱柱,也可能拼 成四棱柱,但表面积一定是:2(12a 224)2824a232 情形:将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起,结果可能拼成三棱柱,也可能拼 成四棱柱,但表面积一定是:2(12a 224)262

29、4a236 情形:将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起,只能拼成四棱柱,其表面积为: 2(12a 224)21024a228 在以上四种情形中,、的结果都比大,所以表面积最小的情形只能在、中产 生 依题意“表面积最小的一个是四棱柱” ,得 24a 22812a248,解得 , 3 5 2 a 所以a的取值范围是 ) 3 15 , 0( 例例 6 6 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求三棱锥F A1ED1的体积 【分析】【分析】计算三棱锥FA1ED1的体积时,需要确定锥体的高,即点F到平面A1ED1的距 离,直接求解比较困难利用等积的方法,调

30、换顶点与底面的方式,如 11 11 EFDAEDAF VV , 也不易计算,因此可以考虑使用等价转化的方法求解 解法解法 1 1:取AB中点G,连接FG,EG,A1G GFADA1D1,GF平面A1ED1, F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离 . 8 1 8 3 3 1 3 1 32 11 1111111 aaaDASVVV EGAEGADEDAGEDAF 解法解法 2 2:取CC1中点H,连接FA1,FD1,FH, FC1,D1H,并记FC1D1HK A1D1EH, A1D1EH,A1,D1,H,E四点共面 A1D1平面C1CDD1,FCA1D1 又由平面几何知识可得FC

31、1D1H,FC平面A1D1HE FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离 容易求得. 8 1 10 53 4 5 3 1 3 1 , 10 53 32 1111 a a aFKSVaFK EDAEDAF 练习练习 7 72 2 一、选择题:一、选择题: 1将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 2如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 3有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为 4 cm,高为 12 cm现要为 100 个这种相同规格

32、的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色,笔筒厚度忽略不计)如果所用涂料每 0.5 kg 可以涂 1 m 2,那么为这批笔筒涂色约需涂料( ) (A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为a和b的线段, 则ab的最 大值为( ) (A)22 (B)32 (C)4 (D)52 二、填空题:二、填空题: 5如图,正三棱柱ABCA1B1C1的每条棱长均为 2,E、F分别是BC、A1C1的中点,则EF的 长等于_ 6将边长为 1 的正方形A

33、BCD沿对角线AC折起,使得BD1,则三棱锥DABC的体积是 _ 7一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为3,底面周长为 3,则这个球的体积为_ 8平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件:_; 充要条件:_ (写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题:三、解答题: 9如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点 ()求证:BD1平面ACE; ()求证:平面ACE平面B1BDD1 10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,

34、正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形 ()求该几何体的体积V; ()求该几何体的侧面积S 11如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE FC11 ()求证:E,B,F,D1四点共面; ()若点G在BC上, 3 2 BG,点M在BB1上,GMBF,求证:EM面BCC1B1 习题习题 7 7 一、选择题:一、选择题: 1关于空间两条直线a、b和平面,下列命题正确的是( ) (A)若ab,b,则a (B)若a,b,则ab (C)若a,b,则ab (D)若

35、a,b,则ab 2正四棱锥的侧棱长为 23,底面边长为 2,则该棱锥的体积为( ) (A)8 (B) 3 8 (C)6 (D)2 3已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的 正弦值等于( ) (A) 4 6 (B) 4 10 (C) 2 2 (D) 2 3 4已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何 体的体积是( ) (A) 3 cm 3 4000 (B) 3 cm 3 8000 (C)2000cm 3 (D)4000cm 3 5若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60 的

36、菱形,则该棱柱的体积等于( ) (A)2 (B)22 (C)23 (D)24 二、填空题:二、填空题: 6已知正方体的内切球的体积是34,则这个正方体的体积是_ 7若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1,AB1与底面ABCD成 60角,则直线AB1和BC1 所成角的余弦值是_ 8若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_ 9连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两条弦AB、CD的长度分别等于 3472、,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为_ 10已知AABC是等腰直角三角形,ABACa,AD是斜边BC上的高,以AD为折痕使BD

37、C 成直角在折起后形成的三棱锥ABCD中,有如下三个结论: 直线AD平面BCD; 侧面ABC是等边三角形; 三棱锥ABCD的体积是. 24 2 3 a 其中正确结论的序号是_(写出全部正确结论的序号) 三、解答题:三、解答题: 11如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,D是BC的中点,ABAA1 ()求证:ADB1D; ()求证:A1C平面A1BD; ()求二面角BAB1D平面角的余弦值 12如图,三棱锥PABC中,PAAB,PAAC,ABAC,PAAC2,AB1,M为PC的中 点 ()求证:平面PCB平面MAB; ()求三棱锥PABC的表面积 13如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC9

38、0,ABBCAA12,M、N分别是A1C1、 BC1的中点 ()求证:BC1平面A1B1C; ()求证:MN平面A1ABB1; ()求三棱锥MBC1B1的体积 14在四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面ABCD,2AD,DCSD2点 M在侧棱SC上,ABM60 ()证明:M是侧棱SC的中点; ()求二面角SAMB的平面角的余弦值 参考答案参考答案 练习练习 7 7- -1 1 一、选择题:一、选择题: 1B 2D 3C 4B 二、填空题:二、填空题: 510 6ACBD(或能得出此结论的其他条件) 7、;或、 8 三、解答题:三、解答题: 9()解:连接MB,MC 三棱锥PABC的

39、三个侧面均为边长是 1 的等边三角形, 2 3 MCMB,且底面ABC也是边长为 1 的等边三角形 N为BC的中点,MNBC 在 RtMNB中, 2 2 22 BNMBMN ()证明:M是PA的中点, PAMB,同理PAMC MBMCM,PA平面MBC, 又BC平面MBC,PABC 10证明:()E、F分别是AB、BD的中点, EF是ABD的中位线,EFAD 又EF平面ACD,AD平面ACD,直线EF平面ACD ()EFAD,ADBD,EFBD CBCD,F是BD的中点,CFBD CFEFF,BD平面CEF BD平面BCD,平面EFC平面BCD 11()由题意知,FGGA,FHHD,GHAD,

40、, 2 1 ADGH 又BCAD,ADBC 2 1 ,GHBC,GHBC, 四边形BCHG是平行四边形 ()C,D,F,E四点共面理由如下: 由BEAF,AFBF 2 1 ,G是FA的中点, 得BEFG,且BEFGEFBG 由()知BGCH,EFCH,故EC,FH共面,又点D在直线FH上, 所以C,D,F,E四点共面 ()连结EG, 由ABBE,BEAG,BEAG及BAG90,知ABEG是正方形, 故BGEA 由题设知FA,AD,AB两两垂直,故AD平面FABE,BGAD BG平面EAD,BGED 又EDEAE,BG平面ADF 由()知CHBG,CH平面ADE 由()知F平面CDE,故CH平面

41、CDE,得平面ADE平面CDE 练习练习 7 7- -2 2 一、选择题:一、选择题: 1B 2D 3D 4C 二、填空题:二、填空题: 55 6 12 2 7 3 4 8答案不唯一,如“两组相对侧面分别平行” ; “一组相对侧面平行且全等” ; “对角线交于 一点” ; “底面是平行四边形”等 三、解答题:三、解答题: 9证明:()设ACBDO,连结OE E是DD1的中点,O是BD的中点,OEBD1 又OE平面ACE,BD1平面ACE,BD1平面ACE ()ABCDA1B1C1D1是正四棱柱,底面ABCD是正方形, ACBD 又D1D平面ABCD,ACD1D,AC平面B1BDD1, AC平面

42、ACE,平面ACE平面B1BDD1 10解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥PABCD ().644)68( 3 1 3 1 ShV ()该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为:h1 . 24) 2 8 (4 22 另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形, AB边上的高为, 5) 2 6 (4 22 2 h 因此. 22440)58 2 1 246 2 1 (2S 11()证明:在DD1上取一点N使得DN1, 连接CN,EN,显然四边形CFD1N是平行四边形,D1FCN 同理四边形DNEA是平行四边形,ENA

43、D,且ENAD 又BCAD,且BCAD,ENBC,且ENBC, 四边形CNEB是平行四边形,CNBE, D1FBE,E,B,F,D1四点共面 ()GMBF,BCFMBG,, CF BG BC MB 即, 2 3 2 3 MB MB1 AE1,四边形ABME是矩形,EMBB1 又平面ABB1A1平面BCC1B1,且EM平面ABB1A1,EM平面BCC1B1 习题习题 7 7 一、选择题:一、选择题: 1D 2B 3A 4B 5B 二、填空题:二、填空题: 6324 7 4 3 89 95 10、 三、解答题:三、解答题: 11()证明:ABCA1B1C1是正三棱柱,BB1平面ABC, 平面BB1C1C平面ABC 正ABC中,D是BC的中点,ADBC,AD平面BB1C1C, ADB1D ()解:连接A1B,设A1BAB1E,连接DE ABAA1, 四边形A1ABB1是正方形, E是A1B的中点,又D是BC的中点,DEA1C DE平面A1BD,A1C平面A1BD,A1C平面A1BD ()解:建立空间直角坐标系,设ABAA11, 则) 1 , 0 , 2 1 (),0 , 2 3 , 0(),0 ,