1、复数复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算引入虚数，这是中学阶段对数集 的最终扩充需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式 的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示由于向量已经单独学习， 因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式 【知识要点】【知识要点】 1复数的概念中，重要的是复数相等的概念明确利用“转化”的思想， 把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方 程(组)的方法加以实现 2复数的代数形式：zabi(a，bR R)应该注意到a，bR R 是与za bi为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a，bR R 在实数集
2、内解决实数问 题 3复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算 【复习要求】【复习要求】 1了解数系的扩充过程理解复数的基本概念与复数相等的充要条件 2了解复数的代数表示法及其几何意义 3能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几 何意义 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 m(mR R)取什么值时，复数z(m 23m4)(m25m6)i 是(1)实 数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决 解：解：(1)当m 25m60，即 m1 或m6 时，复数z为实数； (2)当 065 043 2 2 mm mm ，即
3、m4 时，复数z为纯虚数； (3)当 065 043 2 2 mm mm ，即m1 时，复数z为零 【评析】【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以 研究应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进 行实数运算这一点大家在后面的运算中更加能够体会到 例例 2 2 判断下列命题的对错： (1)复平面内y轴上所有点的集合与纯虚数集是一一对应的； (2)两个复数abicdi的充要条件是ac，bd； (3)任意两个确定的复数都不能比较大小； (4)若z1z2R R，则z1，z2为共轭复数 【分析】【分析】本题进一步考察数系的概念， 大家在解决此类问题时一定
4、要跳出实 数这个圈子，考虑全面一些 解：解：(1)错误复平面内y轴上的原点对应的是实数 0，不是纯虚数 (2)错误复数abi中并没有强调a，bR R 这一条件，因此a，b不一定是 复数的实部、虚部，例如：3i4i5i2i，此时，a3i，b4、c5i，d2， ac，bd不成立 (3)错误复数中的两个确定的实数是可以比较大小的 (4)错误z134i，z254i，z1z28R R，z1，z2不是共轭复数 【评析】【评析】(4)中需要注意不能从两个复数运算的结果来判定这两个复数的范 围；(3)中再次强调复数中对于实部和虚部必须加以明确；对于判断命题的正确 与否的问题，错误的要能举出反例(一个即可)，正
5、确的要能加以证明错误的命 题最好能够加以改正 例例 3 3 计算下列各式的值： (1); 2 3 3 4 ()2() 2 1 3 1 (iii (2)(12i)(34i)(2i)； (3)|(512i)(34i)| 【分析】【分析】 这是本专题的重点， 运算中要运用法则， 还要观察题目本身的特点 解：解：(1).1) 2 3 1 2 1 () 3 4 2 3 1 () 2 3 3 4 ()2() 2 1 3 1 (iiiii (2)(12i)(34i)(2i)(34i6i8)(2i)(112i)(2i)24 7i (3)|(512i)(34i)|(512i)|(34i)| .655134312
6、5 2222 【评析】【评析】(1)中的变号问题不容忽视；(2)中不妨再把后两个括号先算，对结 果加以验证；(3)中运用复数模的运算法则要比先运算再取模方便得多复数的 计算是高考中考察复数知识的重点，运算要准确，不要图快，最好从多个角度加 以验证 例例 4 4 已知复数z1i，z表示z的共轭复数，且az2bz(a2z) 2， 求实数a，b的值 【分析】【分析】 利用复数相等的充要条件列出实数的方程或方程组是解决此类问题 的一般方法 解：解：z1i，z1i， ,)2(2 2 zazbaz 22 442zazazbaz， (a2b)(a2b)i(a 24a)(4a8)i， 即：(a2b)(a2b)
7、i(a 24a)(4a8)i， 842 42 2 aba aaba 解得 1 2 b a 或 . 2 4 b a 【评析】【评析】应注意到a，b是实数这一条件在本题中的作用，如果没有这个条 件，那么a，b都要按照复数来求，问题就复杂多了 习题习题 1111 11ii 2i2008的值是( ) A0 B1 C1 Di 2复数z1(a 23)(4a3)i，z 2(a7)(a 2a)i，若 z1z22i， 则实数a的值为( ) A3 B2 C1 D不存在 3若复数)R( 21 2 b i bi 的实部和虚部互为相反数，则b( ) A2 B 3 2 C 3 2 D2 4复数 i 21 5 的共轭复数为
8、( ) A12i B12i Ci 3 10 3 5 Di 3 10 3 5 5若a是实数， i ia 1 是纯虚数，则a_ 6复数iz i i z32, 34 23 21 ，若 2 1 3 z z z ，则|z3|等于_ 7复平面内，复数zsin2icos2 对应的点所在的象限是_ 8虚数z(x2)yi(x，yR R)，若虚数的模z|1，则 x y 的取值范围是 _ 9已知复数)152( 3 158 2 2 mm m mm zi(mR R)，当z是(1)实数；(2)虚数； (3)纯虚数时，分别求m的值或取值范围 10已知复数(3x2y)5xi与复数 18(y2)i的共轭复数相等，求实数x，y
9、的值 11已知函数 1 32 )( 2 x xx xf，求f(1i)与f(1i)的值 参考答案参考答案 习题习题 1111 一、选择题：一、选择题： 1C 2D 3B 4A 提示： (1)解：1ii 2i2008 . 1 1 1 1 1 2009 i i i i (2)解：z1z2(a 23a7)(4a3a2a)i2i， 即： 41 23 133 24 2 2 aa aa aa aa 或 或 方程组无解 二、填空题二、填空题 51； 6 5 1 ； 7第四象限； 8). 3 3 , 0()0 , 3 3 ( 提示： (6)解：, 25 43 25 )34( 34)32)(34( )32( )3
10、2)(34( 23 2 1 3 iii i i ii ii ii i z z z 5 1 25 5 25 |43| | 25 43 | 3 ii z (8)解： 0 1)2( 22 y yx ，设, x y k 则k为过圆(x2) 2y21 上点及原点的直线斜率，作图如下， 3 3 3 3 k， 又y0，k0. 3 3 , 0()0 , 3 3 k 三、解答题：三、解答题： 9解：(1)当z是实数时，有. 5 03 0152 2 m m mm (2)当z是虚数时，有 03 0152 2 m mm 5m且3m (3)当z是纯虚数时，有 . 30 3 158 0152 2 2 m m mm mm 10解：x，yR R，,)2(1818)2(iyiy . 12 2 )2(5 1823 ,5)23(18)2( y x yx yx xiyxiy 11解：, 1 32 )( 2 x xx xf , 5 2 2 1 11 3)1 (2)1 ( )1 ( 2 i ii ii if 5 2 2 1 11 3)1 (2)1 ( )1 ( 2 i ii ii if