1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 四边形综合复习 知识模块：知识模块：多边形的分类多边形的分类 四边形综合复习 特殊 菱形 矩形 特殊 正方形 多 边 形 三角形 等腰三角形、直角三角形 四边形 特殊 梯形 特殊 等腰梯形 边数多于 4 的多边形 特殊 正多边形 平行四边形 特殊 知识模块知识模块：特殊的平行四边形特殊的平行四边形 1、平行四边形 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对 角线。 （2）性质： 平行四边形对边相等。 平行四边形对角相等, 邻角互补. 平行四边形的对角线互相平分。 若两条直线互相平
2、行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线 之间的距离。 （3）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 2、菱形： （1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （2）菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 （3）菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互
3、相垂直平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 （4）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即 S 菱形=L1.L2/2） 。 3、矩形： （1）定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 （2）矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。 （3）矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形； 对角线相等且平分的四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半； 在直角三角形中 30所对的直角边是斜边的一半。 4、正方形： （1）定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 （2）正方形的性质：正方形
4、具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角 线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 5、梯形： （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 （2）等腰梯形： 定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 判别方法：两腰相等的梯形是等腰梯形； 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识模块：重要
5、辅助线知识模块：重要辅助线 1、常连结四边形的对角线; 2、梯形中常“平移一腰” 、 “平移对角线” 、 “作高” 、 “连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为 三角形。 【例 1】如果一个凸多边形的每一个内角都等于 140，那么，这个多边形共有多少条对角线? 【答案】27 0 F B C A D E G 【例 2】已知：如图，在等边ABC 中，D、F 分别为 CB、BA 上的点，且 CDBF，以 AD 为边作等边 三角形 ADE求证： （1）ACDCBF； （2）四边形 CDEF 为平行四边形 【答案】(1)ABC 为等边三角形，ACCB，ACDCBF60 又CDBF，ACDCBF (2
6、)ACDCBF，ADCF，CADBCF AED 为等边三角形，ADE60，且 ADDEFCDE EDB60BDACADACDBCF60， EDBBCFEDFC 四边形 CDEF 为平行四边形. 【例 3】如图，在平行四边形ABCD中，BCAB，AB、的平分线交于点E，DC、的平分线 交于点 F，联结 EF求证：EFBCAB 【答案】延长 AE 交 BC 于点 G，延长 CF 交 AD 于点 H 平行四边形 ABCD，BAD=BCD，AD/BC AE 平分BAD，CF 平分BCD， AEB=CFD=90，BAG=DAG=AGB=BCH=DCH=DHC AB=BG，CD=DH，CG=AH，即四边形
7、 AGCH 是平行四边形 易知 E、F 分别是 AG、CH 的中点，AH=EF=CG=BC-BG，即 EF=BC-AB 【例 4】 如图所示： 点 G 在四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上， CE 平分BCD， CF 平分GCD， EF/BC 交 CD 于点 O.若点 O 为 CD 的中点.求证：四边形 DECF 是矩形. 【答案】根据对角线先证平行四边形，再根据角证矩形. F C A B D E G A B C D E F H N O M D A C B H F E C D A B N P Q M G 【例 5】 如图所示： 在四边形 ABCD 中， ABC=ADC=90， 点 M 事
8、 AC 的中点,BN/MD， 且 MNBD， 垂足为点 O.求证：四边形 BNDM 是菱形. 【答案】通过DOMBON，根据四边相等的四边形是菱形可证. 【例 6】如图所示：矩形 ABCD 的外角平分线围成四边形 EFGH.求证：四边形 EFGH 是正方形. 【答案】先证矩形再根据邻边相等的矩形为正方形. O FE CB A 【例 7】如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点， CEBF 于点 O 求证： （1）四边形 EBCF 是等腰梯形； （2） 222 2EFBCBE 【答案】（1）E、F 分别是 AB、AC 中点 EF/BC， 11 22 BEAB
9、ACCF， 又BE 与 CF 相交于点 A， 四边形 BEFC 是等腰梯形； （2）ECBF， 222 OEOBBE， 222 OFOCCF 22222 2OEOFOCOBBE 222 2EFBCBE 【例 8】已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=BC=6，B=60，点 P、Q 分别是 射线 BC、CD 上的一个动点，且PAQ =60，设 PB=x，PQ=y （1）求证：APQ 是等边三角形 （2）求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； （3）如果 PDAQ，求 BP 的值 D C B A P Q H 【答案】（1）在平行四边形 ABCD 中 AB=BC，四边形 ABCD 为菱形
10、在菱形 ABCD 中，B=60， ABC 是等边三角形 AB=AC=BC， AC=CD PAQ=60，CAP=DAQ ACPADQ， AP=AQ PAQ 是等边三角形； （2）作 AHBC 于 H ABH=60，AB=6， BH=3，HA=3 3 PB=x， HP=|x-3|， PQ=y，AP=y 故在 RtAHP 中，由勾股定理可得： 2 22 3(3 3)xy， 函数解析式 2 636 (0)yxxx； （3）当 P 在 BC 延长线时 APQ 是等边三角形，当 PDAQ 时，PD 平分ADQ AD/BC，ADQ=BCQ=120 DPC=60，DPA=30 APC=30，BP=2BA=12
11、； 当 P 在线段 BC 上时 易得 PQ 为菱形 ABCD 一条对角线，所以 B，P 重合， 此时 BP=0， 综上如果 PDAQ，BP 的值为 0 或 12 【例 9】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，CBOA，=4OC AB， 6BC ，45COA，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为OABC， 到达点C时停止，作直线CP （1）求梯形OABC的面积； （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式； （3）当OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标 A B C O x y P E F B C D A E H B C D A E
12、【答案】过点 C 作 CEOA 于 E， 过点 B 作 BFOA 于 F， CBOA， CEF=BFE=ECB=90， 四边形 CEFB 是矩形， EF=BC=6，BF=CE， COA=45，=4OC AB， CE=OE=2 2 四边形 OABC 是等腰梯形， BAO=COA=45， 同理可得：BF=AF=2 2， OA=OE+EF+AF=64 2 OABC 1 ()12 28 2 SBCOACE 梯形 ； （2）直线 CP 把梯形 OABC 的面积分成相等的两部分， OABC 1 6 24 2 OPC SS 梯形 ， 1 2 OPC SOP CE ， OP=62 2 P（62 2，0），C（
13、2 2，2 2） 利用待定系数法可得直线 CP 解析式是： 24 2 2 33 yx ； 【例 10】如图，在菱形 ABCD 中，ADC120 ，过点 C 作 CEAC，交 AB 的延长线于点 E （1）求证：四边形AECD是等腰梯形； （2）若AD4，求梯形AECD的面积 【答案】 （1）证明：四边形ABCD是菱形 DCAB，即：DCAE， 又AEABDC， 四边形AECD是梯形 DAE180 -ADC180 -120 60 ， 四边形ABCD是菱形， CAE 1 2 DAE30 ， 又ACCE， E60 ， DAEE， 四边形AECD是等腰梯形 （2）解：过点D作DHAE于H，在RtADH
14、中，ADH30 1 2 2 AHAD,2 3DH AECD 1 S(48) 2 312 3 2 梯形 【习题 1】若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，则这个多边形的边数是（ ） A9 B10 C11 D12 【答案】D 【习题 2】下列命题中是假命题的是 （ ） A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B对角线相等的四边形是矩形 A B C D C D A C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【习题 3】如图，正方形 ABCD 的边长为a，E 是 AD 的中点，BMEC 于点 M，则 BM 的 长为_ 【答案】 2 5 5 a 【习题 4】如图，菱形
15、ABCD 的边长为 4 cm，且ABC60，E 是 BC 的中点，P 点在 BD 上，则 PE+PC 的最小值为_ 【答案】2 3 【习题 5】如图，直角梯形 ABCD 中，ABBC，AD3，BC5，将腰 DC 绕点 D 逆时针 方向旋转 900至 DE，连接 AE，则ADE 的面积为_ 【答案】3 【习题 6】如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺 时针旋转 0 30，则这两个正方形重叠部分的面积是_ 【答案】 3 3 【习题 7】如图，已知 P 为矩形 ABCD 内一点，PA3，PD4，PC5，则 PB_ 【答案】3 2 A B C D E M A B C
16、 D E F H E E F 【习题 8】如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 在 AD 上，CE=AE，F 是 AE 的 中点，AD=8，DC=4（1）求线段 DE 的长； （2）求线段 OF 的长 【答案】（1）设 DE=x，则 AE=8-x EC=EA=8-x，在 RtCED 中， 222 CDDECE 即 22 16(8)xx，解得：x=3 DE=3； （2）F 是 AE 中点，O 是 AC 中点， OF 是AEC 中位线 在CDE 中，DE=3，CD=4 CE=5，OF=2.5 【习题 9】如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，B=C，ADBC，求证：四边形
17、ABCD 是等腰梯形 【答案】作 DE/AB 交 BC 于点 E B=DEC=C，DE=DC=AB 四边形 ABED 是平行四边形，AD/BE，ADBC， 四边形 ABCD 是梯形 AB=CD， 梯形 ABCD 是等腰梯形 【习题 10】如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且 1 , 2 ABAEBAEEAD，AE交 A B C D E F O A B C D E A D O M BD于M，试说明BEAM 【答案】AB=AE，AD/BC， ABE=AEB=EAD BAE= 1 2 EAD， EAD=2BAE 5BAE=180， BAE=36，ABE=AEB=EAD=72 菱形 ABCD，ABD=DBC=36=BAE 即ABD=BAE ， AM =BM BME 中，BME=BEM=72 BM=BE， AM=BE