1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 知识模块：知识模块：全等模型全等模型 把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称） 、旋转称为几何变换. 1、常见平移模型 全等三角形的判定（二） 2、常见轴对称模型 3、 常见旋转模型： 【例 1】如图（1）所示，把ABC 沿直线 BC 移动线段 BC 那样长的距离可以变到ECD 的位置； 如图（2）所示，以 BC 为轴把ABC 翻折 180，可以变到DBC 的位置； 如图（3）所示，以点 A 为中心，把ABC 旋转 180
2、，可以变到AED 的位置，像这样，只改变图形 的位置， 而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对 应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换， 问题：如图（4） ，ABCDEF，B 和 E、C 和 F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重 合，并指出它们相等的边和角 A B C D E （1） A B C D （2） A BC DE （3） A B C （4） D E F 【答案】先翻折变换再平移变换或先旋转变换再平移变换 【例 2】如图：A、E、F、C 四点在同一条直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 BEAC、 DFA
3、C，且 AB=CD，ABCD试说明：BD 平分 EF 【答案】ABCD，A=C A B C D E F G 在AGB 和CGD 中， AC AGBCGD ABCD AGBCGD(AAS)， BG=DG BEAC，DFAC， BEG=DFG=90 在BGE 和DGF 中， BGEDGF BEGDGF BGDG BGEDGF(A.A.S)， GE=GF， 即 BD 平分 EF 【例 3】在正 ABC 中，P 为 ABC 内一点，将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 600，使得 AB 与 AC 重 合.经过这样旋转变化，将图（11a）中的 PA、PB、PC 三条线段集中于（11b）中的一个 PC
4、P 中，此时 PAP 为 三角形 . 【例 5】在正方形 ABCD 中，P 为正方形 ABCD 内一点，将 ABP 绕 B 点按顺时针方向旋转 900，使得 BA 与 BC 重合.经过旋转变化，将图（21a）中的 PA、PB、PC 三条线段集中于图（21b）中的 CPP中，此时 BPP为 三角形. ? （3）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 ABC 中，C=90， P 为 ABC 内一点，将 APC 绕 C 点按逆时针方向旋转 900，使得 AC 与 BC 重合.经过这样旋转变化，在图（31b）中的一个 PCP 为 三 角形. 【答案】（1）等边（2）等腰直角（3）等腰直角 【例 4】如图
5、 1，ABD 和AEC 中，AB=AD=BD，AE=EC=AC，连接 BE、CD （1）请判断：线段 BE 与 CD 的大小关系是_； （2）观察图 2，当ABD 和AEC 分别绕点 A 旋转时，BE、CD 之间的大小关系是 否会改变； （3）观察图 3 和图 4，若四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，猜想类似的结论是_， 在图 4 中证明你的猜想； （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图 5，BB1与 EE1的关系 是_；它们分别在哪两个全等三角形_；请在图 6 中标出较小的 正六边形 AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三 角形? 【
6、答案】（1）BE CD ；（2）不变；（3）AE CG ； （4） 11 BBEE ， 11 ABBAEE和 ，连接 FF1，可证 11 ABBAFF 知识模块：知识模块：添加辅助线构造三角形全等添加辅助线构造三角形全等 1、 倍长中线法；构造全等 证明线段相等 证明线段不等 证明线段倍分 证明线段垂直 计算角度大小 A B C D E 图 1 A B C D E 图 2 A B C D E F G A B C D E F G 图 4 图 3 A B C D E B1 E1 A B C D E F 图 6 图 5 D C A B 3 1 2 F G DE C A B 2、 添加平行线构造全等三
7、角形； 3、 截长补短构造全等的三角形； 【例 6】已知：如图，ABC 中，AB=4,AC=6,AD 为 BC 边上的中线， 求 AD 的取值范围？ 【答案】延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE D 是 BC 的中点， BD = CD 在ADC 与EDB 中， ADDE ADCBDE BDCD ADCEDB， 6BEAC 在ABE 中，AB=4，6BE BEABAEBEAB， 210AE15AD 【例 7】在ABC 中，ABAC,E 为 BC 边中点，AD 为BAC 的角平分线，过 E 作 AD 的平行线,交 AB 于 F,交 CA 的延长线于 G，求证：BF=CG 【答案】延长 G
8、E 到 H，使 GE=EH，连接 BH E 是 BC 的中点， BE = CE D C A B C E A D B 在GEC 与HEB 中， GEEH GECBEH BECE GECHEB， GHCGBH， AD/GE, 32123G GH , 1H 在BHF 中， 1H BFBH CGBH, BFCG 【例 8】如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，求证：AB+AC2AD 【答案】延长 AD 到 E，使 AD=DE，连接 BE D 是 BC 的中点， BD= CD 在ADC 与EDB 中， ADDE ADCBDE ADDE ADCEDB， ACBE 在ABE 中， ABBEAE，
9、ABBCAE2ABBCAD 【例 9】如图，已知ABC 中，AD 是中线，AE 是ABD 的中线,BA=BD,求证：AC=2AE 【答案】延长 AE 到 F，使 AE=EF，连接 BE E 是 BD 的中点， BE = DE 在BEF 与DEA 中， BEDE AEDBEF AEEF B A E D C A E C D B BEFDEA， ,EBFADE ADBF BA=BD, BDABADADCBBAD ABFBEBF ADCABF 在ADC 与FBA 中， CDAB ADCABF ADBF ADCFBA ACAF2ACAE 【例 10】如图，梯形 ABCD，A=90，AD=1,BC=2,C
10、D=3, E 为 AB 中点，求证：DECE. 【答案】延长 DE 到 G，使 DE=EG，连接 BG E 是 AB 的中点， AE = BE 在ADE 与BEG 中， AEBE AEDBEG DEEG ADEBGE， 90AEBGBGAD ， AD=1,BC=2,CD=3, 3CDCG 在CDE 与CGE 中， CDCG DEEG CECE CDECEG， DECE 【例 11】如图所示，E 是 BC 边中点，AB=CD,求证：BAE=D 【答案】延长 DE 到 F，使 DE=EF，连接 BF E 是 BC 的中点， BE = CE 在ECD 与EBF 中， ECBE DECBEF DEAE
11、 ECDEBF， ,BFCDBFED AB=CD, ABBF 在ABF 中， ABBF BFEBAE 又BFED BAED 【例 12】ABC 中，AB=AC，E 为 AC 延长线交于一点，且 BD=CE，连接 DE 交底 BC 于 G试说明： GD=GE 【答案】/ /DDFACBCF过点作交于， DFGECGFDGEDFBACB 则， ABACBACBBDFBBDDF， BDCEDFCE， 在DGF 与EGC 中， DGFEGC DFEG GDFE DFGECG ASAGDGE， 【例 13】如图，在ABC中，ABAC，108BAC，BD平分ABC 试说明:BCABCD 【答案】 ABCE
12、CD在上截取，连接 DE 108ABACBAC ， (180)236CABCBAC (180)272CEDCDEC ， 108BEDBAD BDABCABDEBD 平分， E A B C D ABDEBD BDABDEBADBED BDBD 在和中， ， ( . . )BDABDE AASABBE ， 【习题 1】如图，已知 ABDC，ACDB，BECE，试说明：AEDE 【答案】在ABC 和DCB 中， ABDC ACDB BCCB ， ABCDCB（S.S.S） ， ABC=DCB 在ABE 和DCE 中， ABDC ABCDCB BECE ， ABEDCE（S.A.S） ， AE=DE（
13、全等三角形的对应边相等） 【习题 2】已知：AEED，BDAB，试说明：CACD 【答案】在ABE 与DBE 中， AEED ABBD BEBE ， ()ABEDBE SSS ， AEBDEB， AECDEC 在ACE 与DCE 中， A B E C D A B C D E F E D C B A D C B A AEED AECDEC CECE ， ()AECDEC SAS， CACD（全等三角形的对应边相等） 【习题 3】如图所示，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证：AC=BF 【答案】延长 AD 至 DG，使 AD=DG，联结 BG A
14、CDBGD AC=BG，ACBG BFG=BGF BF=BG AC=BF 【习题 4】已知如图，AD 为ABC 的中线，求证：AB+AC2AD 【答案】延长 AD 至 DE，使 DE=AD，联结 BE ACDEBD BE=AC 在ABE 中，AB+BE2AD AB+AC2AD 【习题 5】如图，在ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连 接 CD 和 CE，试说明：CD=2CE 【答案】延长 CE 到 H，使 EH=CE，连接 BH E 是 AB 的中点， AE = BE 在AEC 与BEH 中， AEBE AECBEH CEEH AECBEH， A
15、EBHBHACABBD ， 2 3 1 A B C D E F H G AB=AC， 13 13CBDACBHABH ， CBDCBH 在CBD 与CBH 中， BDBH CBDCBH CBCB CBDCBH， 2CDCE 【习题 6】已知：如图所示，ABC 中，D 为 BC 上一点，AB=AC， ED=DF， 试说明：BE=CF 【答案】/ /EEMACBCM过点 作交于点，则BMEACB ABACABCACB， ABCBMEBEEM， / /EMACEMDFCD， 在EMD 与FCD 中， EMDFCD EDDF EDMFDC ( . . )EDMFDC AASEMCFBECF ， 【习题 7】已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求 DC 的长 【答案】2FEGEFGEBG延长至，使，连接 EABAEBE是中点， AEBE AFEBGEAEFBEG FEGE 在和中， ( . . )AFEBGE S AS ， GBAFGAFGDFC， AFBDGBBD， DGAFGDFCCDCF， 752ACAFDCCFACAF，