1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 图形运动中函数关系的确立 知识模块：知识模块：动点求函数解析式动点求函数解析式 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的 一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程 中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围 【例1】已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和 图形运动中函数关系的确立 PC的中点，联结EF交PD于点Q （1）如图5，当点P与点B重合时，Q
2、PE的形状是 ； （2）如图6，当点P在AB的延长线上时，设BP=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当点Q在边BC上时，求BP的长 【答案】 （1）QPE 的形状是等腰直角三角形 （2）延长BA到点M，使得AM=BP， AE=BE， AE+AM=BE+BP，即EM=EP PF=CF，EF= 2 1 MC四边形ABCD是正方形，MBC90，AB=BC AB=2，BP=AM=x，BM=2+x 222 )2(4xBCBMMC EF=84 2 1 2 xxy=84 2 1 2 xx)0( x （3）当点Q在边BC上时，由（2）可知EF/MC， MQEB 在ADP 和BCM 中
3、， BMAP MBCPAD BCAD 0 90， ADPBCM MAPDQEB=APDQE=QP QBPE，BP=BE=1 【例 2】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，ABBC，2 3AB E 是边 AB 的中点，联结 DE、CE，且 DECE设 AD = x，BC = y B C A Q (P) F E D 图 5 P B C D A Q F E 图 6 B C D A 备用图 （1）如果BCD = 60 ，求 CD 的长； （2）求 y 关于x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）联结 BD如果BCD 是以边 CD 为腰的等腰三角形，求 x 的值 【答案】解
4、： （1）过点 D 作 DHBC，垂足为点 H AD / BC，ABBC，DHBC， 2 3DHAB 在 RtDHC 中， BCD = 60 ， CDH = 30 CD = 2CH 设 CH = x，则 CD = 2x利用勾股定理，得 222 CHDHCD 即得 222 (2 3)4xx解得 2x （负值舍去） CD = 4 （2）在边 CD 上截取一点 F，使 DF = CF E 为边 AB 的中点，DF = CF， 11 ()() 22 EFADBCxy DECE， DEC = 90 又 DF = CF， 2CDEFxy 由 ABBC，DHBC，得 B =DHC = 90 AB / DH
5、又 AB = DH， 四边形 ABHD 是平行四边形 BH = AD = x即得 CHyx 在 RtDHC 中，利用勾股定理，得 222 CHDHCD 即得 22 ()12()yxxy解得 3 y x 所求函数解析式为 3 y x 自变量 x 的取值范围是0x ，且3x （3）当BCD 是以边 CD 为腰的等腰三角形时，有两种可能情况： CD = BD 或 CD = BC （i）如果 CD = BD，由 DHBC，得 BH = CH 即得 y = 2x A B C D E （第26题图） A B C D E （备用图） 利用 3 y x ，得 3 2x x 解得 1 6 2 x ， 2 6 2
6、 x 经检验： 1 6 2 x ， 2 6 2 x ，且 2 6 2 x 不合题意，舍去 6 2 x （ii）如果 CD = BC，则 xyy 即得 x = 0（不合题意，舍去） 6 2 x 【例 3】已知正方形 ABCD 的边长为 5，等腰直角AEF 的直角顶点 E 在直线 BC 上（不与点 B，C 重 合） ，FMAD，交射线 AD 于点 M （1）当点 E 在边 CB 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图， 求证： BE+AM=AB； （2）当点 E 在边 BC 上，点 M 在边 AD 的延长线上时，如图，设 BE=x，AM=y，求 y 关于 x 的函数 关系式，并写出函数定义域；
7、 （3）当点 E 在边 BC 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图如果AFM=15，求 AM 的长 【答案】 （1）设 FM 交边 BC 于点 N 四边形 ABCD 是正方形ABC=90 ， ADBC ABE=90 ，BAE+AEB=90 AEF 是等腰直角三角形，AEF=90 ，AE=EF NEF+AEB=90 ，BAE=NEF FMAD，FMBC，ENF=90 ，ABE=ENF ABEENF AB=EN ABC=BNM=NMA=90 四边形 ABNM 是矩形AM=BN EN=BE+BN AB=BE+AM 图 A M E F D C B A F M D C E B 图 图 A B E
8、F C D M （第25题图） （2）延长 MF 交 BC 的延长线于点 N，同理可得 AB=EN=5 MAB=ABN=AMN=90 ，四边形 ABNM 是矩形 AM=BN=y BN=BE+EN，BE=x y=x+5（0x5） （3）设 FM 交边 BC 于点 N AEF 是等腰直角三角形，AFE=45 AFM=15 ，EFN=30 ，AEB=EFN=30 在 RtABE 中，AB=5，AEB =30 ，AE=10，BE=35 ABEENF AB=EN=5 BN=535 MAB=ABC=NMA=90 四边形 ABNM 是矩形，AM=BN AM=535 知识模块：图形运动中函数解析式知识模块：图
9、形运动中函数解析式 图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角 形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系 【例 4】已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，点 P 是边 AD 上一点，连接 CP，将四边形 ABCP 沿 CP 所在直线翻折，落在四边形 EFCP 的位置，点 A、B 的对应点分别为点 E，F，边 CF 与边 AD 的 交点为点 G （1）当 AP=2 时，求 PG 的值； （2）如果 AP=x，FG=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）连结 BP 并延长与线段 CF 交于点 M，当PGM 是以 MG
10、为腰的等腰三角形时，求 AP 的长 【答案】 （1）由题意得：四边形 ABCP 与四边形 EFCP 全等BCP=FCP 四边形 ABCD 是矩形，ADBC，BCP=DPC，DCP=FCP，PG=CG， 设 PG=a，则在 RTDGC 中，CG=a，DG=3a，CD=2，且 CD2+DG2=CG2， 22+（3a）2=a2，解得：a=13 6 ， 即 PG=13 6 （2）由题意得：CF=BC=5，CG=5y，PG=5y，DG=5（5y）x=yx， 在 RTDGC 中，CD2+DG2=CG2，（yx）2+22=（5y）2，y= 2 21 102 x x ， y 关于 x 的函数解析式为：y= 2
11、 21 102 x x ， （0x3） （3）PGM 是以 MG 为腰的等腰三角形，MG=MP 或 MG=PG， 如图 1 中， 当 MG=MP 时， MPG=MGC，APB=MPG，MGP=DGC，APB=DGC， 在APB 和DGC 中， AD APBDGC ABDC ， APBDGC，AP=DG，y=2x， 2 21 102 x x =2x，化简整理得：3x220x+21=0，解得：x=10 37 3 ， x=10 37 3 3 不符合题意舍去，x=10 37 3 当 MG=PG 时， MPG=PMG，MPG=MBC，MBC=PMC，CM=CB， （即点 M 与点 F 重合） 又BCP=
12、MCP，CPBP，ABP，DPC，BPC 均为直角三角形 AP2+AB2+DP2+CD2=BC2，即 x2+22+（5x）2+22=52， 化简整理得：x25x+4=0，解得：x=1 或 4 x=43 不符合题意舍弃，x=1 综上所述：当PGM 是以 MG 腰的等腰三角形时，AP=10 37 3 或 1 【例 5】如图，三角形纸片 ABC 中，C=90，A=30，AB=10将纸片折叠使 B 落 在 AC 边上的点 D 处，折痕与 BC、AB 分别交于点 E、F （1）设 BE=x，DC=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （2）当ADF 是等腰三角形时，求 BE
13、 的长 A D F 【答案】（1）在Rt ABC中，3010AAB ， 1 5 2 BCAB 由折叠可知：5DEBExCEx， 在Rt CDE中，由勾股定理得： 2 22 5xyx， 5 10255 2 yxx ； （2）当30DFADAFDA 时， 则 过点D作DHAF于H，23DFADDHAHDH， 531 22 32 3210 2 AFAHDHDHDHDH ， 252510255CDACDHxx ，； 当75ADAFADF时， 则 6045EDFBCDE ，CDE是等腰直角三角形， 2 5105 2xxx，解得：； 当DFAF时，不符合题意 综上所述，BE的长为5或105 2 【例 6】
14、已知ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，点 D 是 AB 边中点，将一块直角三角板 的直角顶点放在 D 点旋转，直角的两边分别与边 AC、BC 交于 E、F （1） 取运动过程中的某一瞬间，画出ADE 关于 D 点的中心对称图形，E 的对称点为 E，试判断 BC 与 B E的位置关系，并说明理由； （2） 设 AE=x，BF=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出定义域 【答案】（1）延长ED至E，联结BE 106890ABBCACC， D是AB中点，. .AEDBE D S AS A B C D E F E ， 9090ADBECACBA ， 90DBECBABEBC ，； （2）
15、联结EFE F、， 90EDFEDE D，FD垂直平分EE，EFE F 86AExBFyCEACxxCFy， 22 222 86EFCECBxy . .AEDBE D S ASAABEDEDE ， / /90BEACCBE， AEBEx， 22 22 86yxxy， 254 3 x y 当6y 时，解得： 7 4 x ；当0y 时，解得： 25 4 x ， 故定义域为： 725 44 x 【习题 1】如图，ACBC，直线 AM/CB，点 P 在线段 AB 上，点 D 为射线 AC 上一动点，联结 PD， 射线 PEPD 交直线 AM 于点 E. 已知 BP=2，AC=BC=4， 。 （1） 如
16、图 1，当点 D 在线段 AC 上时，求证：PD=PE； （2） 当 BA=BD 时，请在图 2 中画出相应的图形，并求线段 AE 的长； （3） 如果EPD 的平分线交射线 AC 于点 G，设 AD=x，GD=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定 义域。 A C B P D E M A C B M P A C B M P （备用图） （图1） （图2） 【答案】 （1）证明：作 PHAC 于 H，作 PFAM 于 F， ACBC，AM/CB，ACAM. AHP+HAF+AFP+FPH=360，HPF90. PEPD，即DPE90，HPDFPE. ACBC，AC=BC，CABCBA=4
17、5. AM/CB，MABCBA=45. CABBAM.PH=PF. PHDPFE. PD=PE. （2）作 PHAC 于 H，作 PFAM 于 F，同（1）得PHDPFE. DH=EF. BA=BD，ACBDCB=90，BC=BC，BACBDC.CD=CA=4. ACBC，AC=BC=4，AB=4 2. BP=2，AP=3 2. PHAC, CBA=45, HP=AH=3， DH=AD-AH=8-3=5.EF=5. 在四边形 AHPF 中，PHAC，PFAC，ACBC，AHPF 是矩形. AF=HP=3.AE=EF-AF=5-3=2. （3）作 PHAC 于 H，作 PFAM 于 F，由（2）
18、得 DH=EF. CAB45，HA=HP=3，HD=x-3.EF=x-3. AE=6-x. PG 平分EPD，EPGDPG. PD=PE，GP=GP，GDPGEP. GE=GD=y. 在 RtAGE 中, 222 GEAGAE,即 222 ()(6)yxyx, 18 =6y x x (3)x 【习题 2】如图，在 RtABC 中，C90，AC3 3，BC9，点 Q 是边 AC 上的动点 （点 Q 不与 A、C 重合） ，过点 Q 作 QR/AB，交边 BC 于 R，再把QCR 沿着动直线 QR 翻折得 到QPR，设 AQx （1）求PRQ 的大小； （2）当点 P 落在斜边 AB 上时，求 x
19、 的值； （3）当点 P 落在 RtABC 外部时，PR 与 AB 相交于点 E，如果 BEy，请直接写出 y 关于 x 的函 数关系式及定义域 【答案】（1）在 RtABC 中，C90，AC3 3，BC9， 6 3AB， 1 30 2 ACABB，/ /30QRABCRQB ， 由翻折可知：PRQCRQ，30PRQ； （2）当点 P 落在斜边 AB 上时，如图所示 / /QRABPRQBPR， 30CRQB，PRQCRQ ，30BPRBRPRBCR ， 93 9303 22 BCCRCRQCQ ， 3 3 33 2 ACAQ， 即x的值为 3 3 2 ； （3）由第（2）问可知：RERB 过
20、点R作RHAB，垂足为H， 11 22 BHBEy则 3 30 3 BBRy，3 3AQxCQx， 3093CRQCRx ， 3 939 3 CRBRCBxy ， 3 303 2 yxx 【习题 3】如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是 AB 延长线 上一点，联结 CE，AFCE，垂足为点 F，交 BD、BC 于点 H、G设 BEx，CGy （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的定义域； （2）当点 F 是 EC 的中点时，证明：CG2OH 【答案】（1）正方形ABCD，ABBC， AFCEEAFECB， A B C Q E F A B C R P P Q R H A B C D E F G H O P 易证Rt ABG. .Rt CBE AS A，BEBGx， 又11GCGBxy ， 101yxx ； （2）取CG中点P，联结OP 正方形ABCD，45OAOCBACACBACBD， / /CPPGOPAG， F是CE中点，且AFCE，AF垂直平分CE 22.567.5ACAEFACFABBHGAHO ， 67.5AGBGACACGBHGBGHBHBG ， / /GHOPBHGBOPBGHBPO， BOPBPO ，BOBP，2OHPGCGOH，