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著名机构讲义春季16-八年级培优版-图形运动中函数关系的确立-教师版

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 图形运动中函数关系的确立 知识模块:知识模块:动点求函数解析式动点求函数解析式 动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的 一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系,这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程 中探求两个变量之间的函数关系,并根据实际情况确定自变量的取值范围 【例1】已知:在正方形ABCD中,AB=2,点P是射线AB上的一点,联结PC、PD,点E、F分别是AB和 图形运动中函数关系的确立 PC的中点,联结EF交PD于点Q (1)如图5,当点P与点B重合时,Q

2、PE的形状是 ; (2)如图6,当点P在AB的延长线上时,设BP=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域; (3)当点Q在边BC上时,求BP的长 【答案】 (1)QPE 的形状是等腰直角三角形 (2)延长BA到点M,使得AM=BP, AE=BE, AE+AM=BE+BP,即EM=EP PF=CF,EF= 2 1 MC四边形ABCD是正方形,MBC90,AB=BC AB=2,BP=AM=x,BM=2+x 222 )2(4xBCBMMC EF=84 2 1 2 xxy=84 2 1 2 xx)0( x (3)当点Q在边BC上时,由(2)可知EF/MC, MQEB 在ADP 和BCM 中

3、, BMAP MBCPAD BCAD 0 90, ADPBCM MAPDQEB=APDQE=QP QBPE,BP=BE=1 【例 2】已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD / BC,ABBC,2 3AB E 是边 AB 的中点,联结 DE、CE,且 DECE设 AD = x,BC = y B C A Q (P) F E D 图 5 P B C D A Q F E 图 6 B C D A 备用图 (1)如果BCD = 60 ,求 CD 的长; (2)求 y 关于x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)联结 BD如果BCD 是以边 CD 为腰的等腰三角形,求 x 的值 【答案】解

4、: (1)过点 D 作 DHBC,垂足为点 H AD / BC,ABBC,DHBC, 2 3DHAB 在 RtDHC 中, BCD = 60 , CDH = 30 CD = 2CH 设 CH = x,则 CD = 2x利用勾股定理,得 222 CHDHCD 即得 222 (2 3)4xx解得 2x (负值舍去) CD = 4 (2)在边 CD 上截取一点 F,使 DF = CF E 为边 AB 的中点,DF = CF, 11 ()() 22 EFADBCxy DECE, DEC = 90 又 DF = CF, 2CDEFxy 由 ABBC,DHBC,得 B =DHC = 90 AB / DH

5、又 AB = DH, 四边形 ABHD 是平行四边形 BH = AD = x即得 CHyx 在 RtDHC 中,利用勾股定理,得 222 CHDHCD 即得 22 ()12()yxxy解得 3 y x 所求函数解析式为 3 y x 自变量 x 的取值范围是0x ,且3x (3)当BCD 是以边 CD 为腰的等腰三角形时,有两种可能情况: CD = BD 或 CD = BC (i)如果 CD = BD,由 DHBC,得 BH = CH 即得 y = 2x A B C D E (第26题图) A B C D E (备用图) 利用 3 y x ,得 3 2x x 解得 1 6 2 x , 2 6 2

6、 x 经检验: 1 6 2 x , 2 6 2 x ,且 2 6 2 x 不合题意,舍去 6 2 x (ii)如果 CD = BC,则 xyy 即得 x = 0(不合题意,舍去) 6 2 x 【例 3】已知正方形 ABCD 的边长为 5,等腰直角AEF 的直角顶点 E 在直线 BC 上(不与点 B,C 重 合) ,FMAD,交射线 AD 于点 M (1)当点 E 在边 CB 的延长线上,点 M 在边 AD 上时,如图, 求证: BE+AM=AB; (2)当点 E 在边 BC 上,点 M 在边 AD 的延长线上时,如图,设 BE=x,AM=y,求 y 关于 x 的函数 关系式,并写出函数定义域;

7、 (3)当点 E 在边 BC 的延长线上,点 M 在边 AD 上时,如图如果AFM=15,求 AM 的长 【答案】 (1)设 FM 交边 BC 于点 N 四边形 ABCD 是正方形ABC=90 , ADBC ABE=90 ,BAE+AEB=90 AEF 是等腰直角三角形,AEF=90 ,AE=EF NEF+AEB=90 ,BAE=NEF FMAD,FMBC,ENF=90 ,ABE=ENF ABEENF AB=EN ABC=BNM=NMA=90 四边形 ABNM 是矩形AM=BN EN=BE+BN AB=BE+AM 图 A M E F D C B A F M D C E B 图 图 A B E

8、F C D M (第25题图) (2)延长 MF 交 BC 的延长线于点 N,同理可得 AB=EN=5 MAB=ABN=AMN=90 ,四边形 ABNM 是矩形 AM=BN=y BN=BE+EN,BE=x y=x+5(0x5) (3)设 FM 交边 BC 于点 N AEF 是等腰直角三角形,AFE=45 AFM=15 ,EFN=30 ,AEB=EFN=30 在 RtABE 中,AB=5,AEB =30 ,AE=10,BE=35 ABEENF AB=EN=5 BN=535 MAB=ABC=NMA=90 四边形 ABNM 是矩形,AM=BN AM=535 知识模块:图形运动中函数解析式知识模块:图

9、形运动中函数解析式 图形的运动考查的是变化中的不变量,通过翻折或者旋转后的图形特点,结合全等三角 形性质及直角三角形中的勾股定理,求边或角的关系 【例 4】已知:如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=5,点 P 是边 AD 上一点,连接 CP,将四边形 ABCP 沿 CP 所在直线翻折,落在四边形 EFCP 的位置,点 A、B 的对应点分别为点 E,F,边 CF 与边 AD 的 交点为点 G (1)当 AP=2 时,求 PG 的值; (2)如果 AP=x,FG=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)连结 BP 并延长与线段 CF 交于点 M,当PGM 是以 MG

10、为腰的等腰三角形时,求 AP 的长 【答案】 (1)由题意得:四边形 ABCP 与四边形 EFCP 全等BCP=FCP 四边形 ABCD 是矩形,ADBC,BCP=DPC,DCP=FCP,PG=CG, 设 PG=a,则在 RTDGC 中,CG=a,DG=3a,CD=2,且 CD2+DG2=CG2, 22+(3a)2=a2,解得:a=13 6 , 即 PG=13 6 (2)由题意得:CF=BC=5,CG=5y,PG=5y,DG=5(5y)x=yx, 在 RTDGC 中,CD2+DG2=CG2,(yx)2+22=(5y)2,y= 2 21 102 x x , y 关于 x 的函数解析式为:y= 2

11、 21 102 x x , (0x3) (3)PGM 是以 MG 为腰的等腰三角形,MG=MP 或 MG=PG, 如图 1 中, 当 MG=MP 时, MPG=MGC,APB=MPG,MGP=DGC,APB=DGC, 在APB 和DGC 中, AD APBDGC ABDC , APBDGC,AP=DG,y=2x, 2 21 102 x x =2x,化简整理得:3x220x+21=0,解得:x=10 37 3 , x=10 37 3 3 不符合题意舍去,x=10 37 3 当 MG=PG 时, MPG=PMG,MPG=MBC,MBC=PMC,CM=CB, (即点 M 与点 F 重合) 又BCP=

12、MCP,CPBP,ABP,DPC,BPC 均为直角三角形 AP2+AB2+DP2+CD2=BC2,即 x2+22+(5x)2+22=52, 化简整理得:x25x+4=0,解得:x=1 或 4 x=43 不符合题意舍弃,x=1 综上所述:当PGM 是以 MG 腰的等腰三角形时,AP=10 37 3 或 1 【例 5】如图,三角形纸片 ABC 中,C=90,A=30,AB=10将纸片折叠使 B 落 在 AC 边上的点 D 处,折痕与 BC、AB 分别交于点 E、F (1)设 BE=x,DC=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并确定自变量 x 的取值范围; (2)当ADF 是等腰三角形时,求 BE

13、 的长 A D F 【答案】(1)在Rt ABC中,3010AAB , 1 5 2 BCAB 由折叠可知:5DEBExCEx, 在Rt CDE中,由勾股定理得: 2 22 5xyx, 5 10255 2 yxx ; (2)当30DFADAFDA 时, 则 过点D作DHAF于H,23DFADDHAHDH, 531 22 32 3210 2 AFAHDHDHDHDH , 252510255CDACDHxx ,; 当75ADAFADF时, 则 6045EDFBCDE ,CDE是等腰直角三角形, 2 5105 2xxx,解得:; 当DFAF时,不符合题意 综上所述,BE的长为5或105 2 【例 6】

14、已知ABC 中,AB=10,BC=6,AC=8,点 D 是 AB 边中点,将一块直角三角板 的直角顶点放在 D 点旋转,直角的两边分别与边 AC、BC 交于 E、F (1) 取运动过程中的某一瞬间,画出ADE 关于 D 点的中心对称图形,E 的对称点为 E,试判断 BC 与 B E的位置关系,并说明理由; (2) 设 AE=x,BF=y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出定义域 【答案】(1)延长ED至E,联结BE 106890ABBCACC, D是AB中点,. .AEDBE D S AS A B C D E F E , 9090ADBECACBA , 90DBECBABEBC ,; (2)

15、联结EFE F、, 90EDFEDE D,FD垂直平分EE,EFE F 86AExBFyCEACxxCFy, 22 222 86EFCECBxy . .AEDBE D S ASAABEDEDE , / /90BEACCBE, AEBEx, 22 22 86yxxy, 254 3 x y 当6y 时,解得: 7 4 x ;当0y 时,解得: 25 4 x , 故定义域为: 725 44 x 【习题 1】如图,ACBC,直线 AM/CB,点 P 在线段 AB 上,点 D 为射线 AC 上一动点,联结 PD, 射线 PEPD 交直线 AM 于点 E. 已知 BP=2,AC=BC=4, 。 (1) 如

16、图 1,当点 D 在线段 AC 上时,求证:PD=PE; (2) 当 BA=BD 时,请在图 2 中画出相应的图形,并求线段 AE 的长; (3) 如果EPD 的平分线交射线 AC 于点 G,设 AD=x,GD=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定 义域。 A C B P D E M A C B M P A C B M P (备用图) (图1) (图2) 【答案】 (1)证明:作 PHAC 于 H,作 PFAM 于 F, ACBC,AM/CB,ACAM. AHP+HAF+AFP+FPH=360,HPF90. PEPD,即DPE90,HPDFPE. ACBC,AC=BC,CABCBA=4

17、5. AM/CB,MABCBA=45. CABBAM.PH=PF. PHDPFE. PD=PE. (2)作 PHAC 于 H,作 PFAM 于 F,同(1)得PHDPFE. DH=EF. BA=BD,ACBDCB=90,BC=BC,BACBDC.CD=CA=4. ACBC,AC=BC=4,AB=4 2. BP=2,AP=3 2. PHAC, CBA=45, HP=AH=3, DH=AD-AH=8-3=5.EF=5. 在四边形 AHPF 中,PHAC,PFAC,ACBC,AHPF 是矩形. AF=HP=3.AE=EF-AF=5-3=2. (3)作 PHAC 于 H,作 PFAM 于 F,由(2)

18、得 DH=EF. CAB45,HA=HP=3,HD=x-3.EF=x-3. AE=6-x. PG 平分EPD,EPGDPG. PD=PE,GP=GP,GDPGEP. GE=GD=y. 在 RtAGE 中, 222 GEAGAE,即 222 ()(6)yxyx, 18 =6y x x (3)x 【习题 2】如图,在 RtABC 中,C90,AC3 3,BC9,点 Q 是边 AC 上的动点 (点 Q 不与 A、C 重合) ,过点 Q 作 QR/AB,交边 BC 于 R,再把QCR 沿着动直线 QR 翻折得 到QPR,设 AQx (1)求PRQ 的大小; (2)当点 P 落在斜边 AB 上时,求 x

19、 的值; (3)当点 P 落在 RtABC 外部时,PR 与 AB 相交于点 E,如果 BEy,请直接写出 y 关于 x 的函 数关系式及定义域 【答案】(1)在 RtABC 中,C90,AC3 3,BC9, 6 3AB, 1 30 2 ACABB,/ /30QRABCRQB , 由翻折可知:PRQCRQ,30PRQ; (2)当点 P 落在斜边 AB 上时,如图所示 / /QRABPRQBPR, 30CRQB,PRQCRQ ,30BPRBRPRBCR , 93 9303 22 BCCRCRQCQ , 3 3 33 2 ACAQ, 即x的值为 3 3 2 ; (3)由第(2)问可知:RERB 过

20、点R作RHAB,垂足为H, 11 22 BHBEy则 3 30 3 BBRy,3 3AQxCQx, 3093CRQCRx , 3 939 3 CRBRCBxy , 3 303 2 yxx 【习题 3】如图,在边长为 1 的正方形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是 AB 延长线 上一点,联结 CE,AFCE,垂足为点 F,交 BD、BC 于点 H、G设 BEx,CGy (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的定义域; (2)当点 F 是 EC 的中点时,证明:CG2OH 【答案】(1)正方形ABCD,ABBC, AFCEEAFECB, A B C Q E F A B C R P P Q R H A B C D E F G H O P 易证Rt ABG. .Rt CBE AS A,BEBGx, 又11GCGBxy , 101yxx ; (2)取CG中点P,联结OP 正方形ABCD,45OAOCBACACBACBD, / /CPPGOPAG, F是CE中点,且AFCE,AF垂直平分CE 22.567.5ACAEFACFABBHGAHO , 67.5AGBGACACGBHGBGHBHBG , / /GHOPBHGBOPBGHBPO, BOPBPO ,BOBP,2OHPGCGOH,