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著名机构数学讲义春季02-八年级基础版-一次函数的应用-教师版

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 一次函数的应用 知识模块:一次函数与方程(组)和不等式知识模块:一次函数与方程(组)和不等式 转为可化 从图象上看 确定直线 与轴交点的横坐标 一次函数 当时, 求的值 解一元一次方程 一次函数的应用 y2=x+2 y1=-x-1 O y x 转为可化 从图象上看 转为可化 从图象上看 转为可化 从图象上看 【例 1】 方程2200x的解为_,自变量_x 时,函数220yx的值为 0. 直线1yx和3yx的位置关系是 ,由此可知方程组 1 3 yx yx 解的情 况为_. 方程组 1 2 yx yx 的解为_,由此可知直线 1

2、 1yx 与 2 2yx的交点坐标为_. 在同一直角坐标系中画出中 1 y与 2 y的图象,通过观察图象,填空: 当x 时, 1 0y ,当x 时, 2 0y 当x 时, 12 yy,当x 时, 12 1yy 【答案】 10x ,10; 平行,无解; 3 2 1 2 x y , 31 22 ,; 图象如下: 当1x时, 1 0y ;当2x 时, 2 0y ; 当 3 2 x , 12 yy;当 3 0 2 x时, 12 1yy 【例 2】在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 以交点为界限, 直线 位于直线上方的那 部分图象 一次函数 与,求当 时取值范围 解一元一次不等式

3、当时,直线上的 点在轴上方 时,直线上的点 在轴下方 一次函数 求当或时 的取值范围 解一元一次不等式 或 两条直线 与的交点 求一次函数 与图象的 交点坐标 解二元一次方程组 Ox(h) y(cm) 30 25 20 10 32.521 cmy与燃烧时间 hx之间的关系如图(实线为甲,虚线为乙) ,请根据图上信息,回答下列问题: 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少?从点燃到燃尽所用的时间分别是多少? 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x的函数关系式; 燃烧多久后,甲、乙两根蜡烛的高度相等?在什么时间范围内,甲蜡烛比乙蜡烛高?什么时间范围 内,甲蜡烛比乙蜡烛低? 【答案】 甲乙的高度分别为25

4、cm30cm,;时间分别为2.5h2h,. 甲:1025(02.5)yxx 乙:1530(02)yxx 联立甲乙的解析式,求得方程组的解为 1 15 x y 燃烧 1 小时的时候,甲乙高度相等;1 小时之后,甲比乙高;1 小时之前,甲比乙 低. 【例 3】一家小型放影厅盈利额 y(元)同售票数 x 之间的关系如图所示,其中保险部门规定:超过 150 人时,要缴纳公安消防保险费 50 元试根据关系图回答下列问题: (1)当售票数 x 满足 0x150 时,盈利额 y(元)与 x 之间的函数关系式是_ (2) 当售票数 x 满足 150x250 时,盈利额 y(元)与 x 之间的函数关系式是_ (

5、3)当售票数 x 为_时,不赔不赚;当售票数 x 满足_时,放影厅要赔 本;若放影厅要获得最大利润 200 元,此时售票数 x 应为_ (4)当 x=_时,此时利润为 140 元 【答案】(1)2200yx; (2)3400yx; (3)100、0100x、200; (4)180 知识模块:一次函数的代数应用知识模块:一次函数的代数应用 一次函数实际应用题的命题形式多样,可以大致归为以下几类: 方案设计问题(物资调运、方案比较) ; 分段函数问题(分段价格、几何动点) ; x y 200 100 50 -200 0 200150 解读图象(单个函数图象、多个函数图象) 。 一次函数多种变量及其

6、最值问题。这些问题都渗透着函数的方法和思想,其中一次函数多种变量 及其最值是一个重难点,解决此问题的窍门是列表. 【例 4】某公司有 A 型产品 40 件,B 型产品 60 件,分配给下属甲乙两个商店销售,其中 70 件给甲店, 30 件给乙店,且都能卖完,两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表: A 型利润 B 型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 (1)分配给甲店 A 型产品 x 件,这家公司卖出这 100 件产品的总利润为 W(元) ,求 W 关于 x 的函 数关系式,并求出定义域的取值范围; (2)若公司要求利润不低于 17560 元,则有多少种不同的分配方案,并将方

7、案设计出来; (3)为了促销,公司决定仅对甲店 A 型产品让利销售,每件让利 a 元,但让利后 A 型产品的每件利 润仍高于甲店 B 型产品的每件利润,甲店的 B 型产品以及乙店的 A、B 型产品的每件利润不变,问 该公司如何设计分配方案,使总利润达到最大? 【答案】 (1)W=20x+16800(1040x) ; (2)x=38 时,甲店 A 型 38 件,B 型 32 件,乙店 A 型 2 件,B 型 28 件;x=39 时,甲店 A 型 39 件,B 型 31 件,乙店 A 型 1 件,B 型 29 件; x=40 时,甲店 A 型 40 件,B 型 30 件,乙店 A 型 0 件,B

8、型 30 件; (3)W=(20-a)x+16800 当 0a20 时,x=40,即甲店 A 型 40 件,B 型 30 件, 乙店 A 型 0 件,B 型 30 件,能使总利润达到最大;当 a=20 时,10x40,符合题意的 各种方案,使总利润都一样;当 20a30 时,x=10,即甲店 A 型 10 件,B 型 60 件, 乙店 A 型 30 件,B 型 0 件,能使总利润达到最大 【例 5】王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料,学校与图书馆的路程是 4 千米王 鹏骑自行车,李明步行当王鹏从原路回到学校时,李明刚好到达图书馆图中折线OABC和线 段OD分别表示两人离学校的路

9、程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象 回答下列问题: 王鹏在图书馆查阅资料的时间为 分钟,王鹏返回学校的速度为 千米/分钟; 请求出李明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式; 当王鹏与李明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米? 【答案】 15, 4 15 设线段 OD 所在直线为(0)skt k 点 D(45,4)在此直线上,则 4= 45k, 4 . 45 k 4 45 st 当045t 时, 4 45 st 设线段 BC 所在直线为 11 0sktb k 点 B(30,4)和点 C(45,0)在此直线上 则 1 1 430 045 k

10、b kb ,解得 1 4 15 12. k b 4 12. 15 st 当3045t 时, 4 12. 15 st 由知线段 OD 所在直线为 4 45 st, 由 4 45 4 12. 15 st st ,解得 135, 4 3. t s 直线 OD 与 BC 的交点坐标为 135 3 4 , 答:当王鹏与李明迎面相遇时,他们离学校的路程是 3 千米. 【例 6】气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程,开始时风暴平均每小时增加 2 千米/时,4 小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加 4 千米/时,一段时间,风暴保持不变,当 李明 王鹏 453015 4 2 (千米) (

11、分钟) D C B A O s t 沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减小 1 千米/时,最终停止结合风速与时间的图像,回 答下列问题: (1)在y轴括号内填入相应的数值; (2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少小时? (3)求出当x25 时,风速y(千米/时)与时间x(小时)之间的函数关系式 (4)若风速达到或超过 20 千米/时,称为强沙尘暴,则强沙尘暴持续多长时间? 【答案】(1)8,32;(2)57 小时;(3) 57yx ;(4)30 小时 【例 7】在某次抗震救灾中得知,甲、乙两个重灾区急需一种大型挖 掘机,甲地需要 25 台,乙地需要 23 台A、B两省获知情况后慷慨 相助,

12、分别捐赠该型号挖掘机 26 台和 22 台并将其全部调往灾区如 果从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资 0.4 万元,到乙地要耗资 0.3 万元;从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资 0.5 万元,到乙地要耗资 0.2 万元设从A省调往甲地x台挖掘机,A、B两省将捐赠的挖掘 机全部调往灾区共耗资y万元 请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围 若要使总耗资不超过 15 万元,有哪几种调运方案? 乙灾区 需23台 B省捐赠 22台 甲灾区 需25台 A省捐赠 26台 25104x(小时) y(千米/时) A B C ( ) ( ) 怎样设计调运方案能使总耗资最少?最少耗资多少万元? 【答案】

13、此类调运分配问题是一个难点,数量关系非常复杂,最简单的方法是列一个表格,把所有相关 的量填写清楚,这样所有问题都将一目了然 A 省 B 省 台数(台) 耗资(万元) 台数(台) 耗资(万元) 甲区 x 0.4x 25x 0.5 25x 乙区 26x 0.3 26x 2326x或 2225x 0.23x 由上表可知0.40.3 260.5 250.23yxxxx 化简得0.219.7yx 又260x ,250x ,30x 自变量x的取值范围为325x 0.219.715x,得23.5x x为整数且325x ,2425x , 调运方案有两种,如下列: 方案一: A B 甲 24 1 乙 2 21

14、方案二: A B 甲 25 0 乙 1 22 由0.219.7yx可知y随x的增大而减小 当25x 时, min 14.7y 问中的方案二可使总耗资最少为 14.7 万元 知识模块:一次函数的几何应用知识模块:一次函数的几何应用 (1)0ykxb k与 x 轴的交点为,0 b k ,与 y 轴交点为(0,b) ; (2)函数与函数的交点问题可以通过接二元一次方程组解决; (3)0ykxb k与两条坐标轴围成的三角形面积 1 2 b sb k . 【例 8】如图,已知由x轴、一次函数4(0)ykxk的图像及分别过点 C(1,0) 、D(4,0)两点作 平行于y轴的两条直线所围成的图形 ABDC

15、的面积为 7,试求这个一次函数的解析式 【答案】 2 4 3 yx 【例 9】直线 3 1 3 yx 与x轴、y轴分别交于点 A、点 B,以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt ABC,且90BAC,如果在第二象限内有一点P(a, 1 2 ) ,且ABP的面积与Rt ABC的面积 相等,求a的值 【答案】 3 4 2 a 【例 10】如图所示,直线 l1的解析表达式为 y=3x+3,且 l1与 x 轴交于点 D,直线 l2经过点 A、B,直 线 l1、l2交于点 C (1)求点 D 的坐标; (2)求直线 l2的解析表达式; (3)求ADC 的面积 (4)在直线 l2上存在异于点 C

16、的另一点 P,使得ADP 与ADC 的面积相等,请直接写出 点 P 的坐标 【答案】(1)(1,0);(2) 3 6 2 yx; (3) 9 2 ; (4)P(6,3) 【例 11】如图,一次函数yaxb与正比例函数ykx的图象交于第三象限内的点 A,与 y 轴交于 (04)B,且 OA=AB,OAB 的面积为 6 (1)求两函数的解析式; (2)若(20)M,直线 BM 与 AO 交于 P,求 P 点的坐标; (3)在 x 轴上是否存在一点 E,使 SABE=5,若存在,求 E 点的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】(1)正比例函数 2 3 yx,一次函数 2 4 3 yx ; (2)P(

17、3,2) ; (3)E(1,0)或(11,0) y x P M B A O F 离家时间(分钟) 离家的距离(米) 10 15 20 200 0 100 O 【习题 1】小智和同学骑车去郊外春游,下列说法中错误 的是( ) A修车时间为 15 分钟 B春游的地方离家的距离为 2000 米 C到达春游地点共用时间 20 分钟 D自行车发生故障时离家距离为 1000 米 【答案】A 【习题 2】如图,在矩形ABCD中,AB=2,1BC ,动点 P 从点 B 出发,沿路线BCD作匀速运 动,那么ABP的面积 S 与点 P 运动的路程x之间的函数图象大致是( ) D C P B A O y/km 90

18、 30 a 05 3 P 甲 乙 x/h 【答案】B 【习题 3】在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口,甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发,沿直线匀 速驶向 C 港,最终达到 C 港设甲、乙两船行驶 x(h)后,与 B 港的距离分别为 1 y、 2 y(km) , 1 y、 2 y与 x 的函数关系如图所示 (1)填空:A、C 两港口间的距离为_km,a _; (2)求图中点 P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义; (3)若两船的距离不超过 10km 时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围 【答案】(1)120,2;(2)P(1,30),表示两船出发 1 小时

19、后,甲船追上乙船,此时两船距 离 B 港 30 千米;(3) 24 33 x或 8 3 3 x 【习题 4】某工厂有甲、乙两条生产线先后投产,在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了 200t 成品; 从乙生产线投产开始,甲、乙两条生产线每天分别生产 20t 和 30t 成品 (1)分别求出甲、乙两条生产线投产后,总产量 y(t)与从乙开始投产以来所用时间 x(天)之间的函 数关系式,并求出第几天结束时,甲、乙两条生产线的总产量相同; (2)分别求出第 15 天和第 25 天结束时,甲、乙两条生产线的产量是多少,并比较哪条生产线的总 产量高 【答案】(1)y甲=20x+200,y乙=30x,20

20、天后甲、乙两条生产线的总产量相同 (2)第 15 天时,甲的生产量是 500t,乙的生产量是 450t,甲的总产量高;第 25 天时, 甲的生产量是 700t,乙的生产量是 750t,乙的总产量高 O 3 1 1 3 S x A O 1 1 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B C D 2 【习题 5】如图,线段AB,CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量 1 y(升) 、 2 y(升)关于行驶时间x(小时)的函数图像 (1)写出图中线段CD上点M的坐标及其表示的实际意义; (2)求出客车行驶前油箱内的油量; (3)求客车行驶 1 小时所消耗的油量相当于

21、轿车行驶几小时所消耗的油量 【答案】(1)M(1,60) ,客车行驶 1 小时后,邮箱内剩余 60 升油; (2)90 升; (3)2 小时 【习题 6】已知一次函数 y=2x+b 与两坐标轴围成的三角形面积为 24,求 b 的值 【答案】4 6 【习题 7】如右图:一次函数ykxb的图象经过 A、B 两点,则AOC 的面积为_ 【答案】4 【习题 8】 直线 PA 是一次函数的图像,直线 PB 是一次函数 (mn0)的图像 (1)用 m、n 表示 A、B、P 的坐标 yxn2yxm ( 第22题图 ) y y1 BD A M C 43 x(小时) y(升) 60 4 3 2 1 3 21-1 A B O x y C (2)四边形 PQOB 的面积是 ,AB=2,求点 P 的坐标 【答案】 (1)A(-n,0) B(m,0) P(,) (2)m=2,n=1,P(,) 5 6 2 1 3 nm 3 2nm 3 1 4 3