1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 动点产生的面积问题 知识模块：知识模块：面积的计算问题面积的计算问题 函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进 行求解 【例 1】如图，直线 4 4 3 yx 与 y 轴交于点 A，与直线 44 55 yx交于点 B，且直 动点产生的面积问题 x y B A OC 线 44 55 yx与 x 轴交于点 C，求ABC 的面积 【答案】直线 4 4 3 yx 与 y 轴交于点 A， A（0，4） ； 直线 4 4 3 yx 与 x 轴交于点 D， D（3，0） ； 令 5 4 5
2、4 4 3 4 xy xy ， 解得： 2 2 3 y x ， 则 3 2 2 B ，； 直线 44 55 yx与 x 轴交于点 C， C（1，0） ， 424 2 1 44 2 1 BCDACDABC SSS 【例 2】如图，矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，M 是 CD 的中点，点 P 在矩形的边上 沿ABCM运动，试写出APM 的面积y与点 P 经过的路程x之间的函数关系，写出定义 域，并画出函数图像 【答案】当 P 在 AB 上运动时，即10 x， y=xAPADS APM 2 1 ； 当 P 在 BC 上运动时，即31 x， PCMABPABCMAPM SSSS 梯形 ， y=
3、 4 5 44 3 2 1 2 3 xxx S APM ； 当 P 在 CM 上运动时，即 2 7 3 x， y=xxS APM 2 7 2 2 7 2 1 【例 3】如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，A(0，4)， C(5， 0)，点 D 是 y 轴正半轴上一点，将四边形 OABC 沿着过点 D 的直线翻折，使得点 O 落在线 A B C D M P 段 AB 上的点 E 处过点 E 作 y 轴的平行线与 x 轴交于点 N折痕与直线 EN 交于点 M，联结 DE、 OM. 设 ODt，MNs （1）试判断四边形 EDOM 的形状，并证明； （2）当点 D 在
4、线段 OA 上时，求 s 关于 t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积 【答案】（1）四边形 EDOM 是菱形 将四边形 OABC 沿着过点 D 的直线翻折，使得点 O 落在线段 AB 上的点 E 处， EDMODM，DEOD EMOD， DMEODM， DMEEDM，EMDE ，DEOD ，EMOD EMOD，四边形 EDOM 是平行四边形， EMDE ，平行四边形 EDOM 是菱形； （2）由（1）可得：ODEM = t， EN=OA=4， ts 4（24t ） ； （3）当点D 在线段OA 上时， tEMEDOMO
5、D，4EN，st 4 2 222 48162 24ONOMMNtttt 四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：2 24224OD ONtttt ； 当点D 在线段OA 延长上时（如图所示） ， 4ADtBDt ， 2222 (4)2 24AEBDADttt， 四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：2 2448 24AE OAtt， 综上所述，四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积为224tt 或8 24t 【例 4】已知：如图 1，梯形 ABCD 中，AD/BC，A90，C45， M A B C D E M N A B C O O x y x y E D N ABA
6、D4E 是直线 AD 上一点，联结 BE，过点 E 作 EFBE 交直线 CD 于点 F联结 BF （1）若点 E 是线段 AD 上一点（与点 A、D 不重合） ， （如图 1 所示） 求证：BEEF； 设 DEx，BEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出此函数的定义域； （2）直线 AD 上是否存在一点 E，使BEF 是ABE 面积的 3 倍，若存在，直接写出 DE 的长， 若不存在，请说明理由 【答案】（1）在 AB 上截取 AG=AE，连接 EG， A90，AG=AE， 45AEGAGE， 135BGE AD/BC，C45， 135D，DBGE AG=AE，ABAD，
7、 ED=BG A90，EFBE， DEFABE ED=BG，DBGE，DEFABE BGEEDF， BEEF； DEx，4AEx， A90， 2222 44xABAEBE， BEEF， 2 328 4444 2 1 2 1 2 2222 xx xxEFBEy（40 x） ； A B C D E F A B C D 图 1 备用图 备用图 A B C D G E F G （2）当点 E 在线段 AD 上时， 11 4482 22 ABE SABAExx ，又3 BEFABE SS， 2 328 283 2 xx x，解得：522x（负值舍去） ， 522DE； 当点 E 在线段 DA 延长线上时
8、，延长 BA 到 G，使得 BG=DE，连接 EG， 则AGE 是等腰直角三角形 同（1）可证BGEEDF， BEEF， 222222 11111 4(4)832 22222 BEF SBEEFBEABAExxx， 8244 2 1 xxS ABE ，又3 BEFABE SS， 2 328 823 2 xx x，解得：5210x， 5210DE； 当点 E 在线段 AD 延长线上时，延长 AB 到 G，使得 BG=DE，连接 EG， 则AGE 是等腰直角三角形 同（1）可证BGEEDF， BEEF， 222222 11111 4(4)832 22222 BEF SBEEFBEABAExxx，
9、1 4428 2 ABE Sxx ，又3 BEFABE SS， 2 832 328 2 xx x ，解得：22 5x （负值舍去） ， 22 5DE ； 综上所述，当BEF 是ABE 面积的 3 倍时，DE 的长为22 5 或102 5 或22 5 知识模块知识模块：动点产生的函数解析式动点产生的函数解析式 点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变 化的. 【例 5】如图，已知直线3yx的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，直线 l 经 x y O B A 过原点，与线段 AB 交于点 C，把AOB 的面积分为 2：1 两部分，求直线
10、 l 的解 析式 【答案】直线3yx的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， A（3，0） ，B（0，3） ， 2 9 33 2 1 OAB S 当 OBAOBC SS 3 2 时， 则 2 9 3 2 3 2 1 C y，则2 C y， C 点在直线 AB 上，C（1，2） ， 则直线 l 的解析式为：2yx ； 当 OBAOBC SS 3 1 时， 则 2 9 3 1 3 2 1 C y，则1 C y， C 点在直线 AB 上，C（2，1） ， 则直线 l 的解析式为：xy 2 1 综上直线 l 的解析式为2yx 或xy 2 1 【例 6】已知：在梯形 ABCD 中，AD/BC，B
11、90，ABBC4，点 E 在边 AB 上，CECD （1）如图 1，当BCD 为锐角时，设 ADx，CDE 的面积为 y，求 y 与 x 之间 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2） 当 CD5 时，求CDE 的面积 【答案】（1）过 C 作 CFAD 交 AD 延长线于 F AD/BC，B90，ABBC4， 四边形 ABCF 是正方形 CECD，BC=CF，BCEFCD，DF=BE ADx，xDF 4，xBE 4 A B C D E F ADEBECABCD ySSS 梯形 111 4444 222 xx xx 2 1 4 2 xx ， 定义域为：40 x； （2）当BCD 为锐角时，
12、CD5 时，CF=4， 由勾股定理可得：3DF，则1AD 代入解析式中可得： 2 7 y； 当BCD 为钝角时，易知3DFBE CDEBCEADEABCD SSSS 梯形 111 (47)4341 7 222 25 2 综上所述，CDE 的面积为 2 7 或 25 2 【例 7】如图 1，在菱形 ABCD 中，B45，AB4左右作平行移动的正方形 EFGH 的两个顶点 F、G 始终在边 BC 上当点 G 到边 BC 中点时，点 E 恰好在边 AB 上 （1）如图 1，求正方形 EFGH 的边长； （2） 设点 B 与点 F 的距离为 x， 在正方形 EFGH 作平行移动的过程中， 正方形 EF
13、GH 与菱形 ABCD 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结 FH、HC，当FHC 是等腰三角形时，求 BF 的长 【答案】（1）当点 G 到边 BC 中点时，BG=2， B45，正方形 EFGH 的两个顶点 F、G 始终在边 BC 上 BF=EF=FG BG=2，FG=1， 即正方形 EFGH 的边长为 1； A B C D E F H A B C D E F G x y Q P A O C B （2）当10 x时， 2 1 2 1 2 1 1 2 2 xx x y， 当31 x时，1y； （3）当 FH=HC 时，HGCF，FG=CG=1， 2
14、114FGGCBCBF； 当 FC=HC 时， CGCGFGFC1， 222 1GCGCGHHC 11 2 GCGC，解得：0GC， 3014FGGCBCBF； 当 FH=FC 时，则2FC，此时24FCBCBF， 综上所述，当FHC 是等腰三角形时，BF 的长为 2 或 3 或42 【例 8】如图，已知直线 PA：(0)yxn n与直线 PB：2()yxm mn 交于 点 P （1）用 m、n 表示出 A、B、P 点的坐标； （2）若点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，且四边形 PQOB 的面积 5 6 ，AB=2，试求 点 P 的坐标，并写出直线 PA 与 PB 的解析式 【答案】（1
15、）直线 PA：(0)yxn n交 x 轴与 A， A（n，0） ， 直线 PB：2()yxm mn 交 x 轴与 B， B（ 2 m ，0） ， 令 mxy nxy 2 ， 解得： 3 2 3 mn x mn y ， P（ 3 mn ， 3 2nm ） ； （2）点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点， Q（0，n） 四边形 PQOB 的面积 5 6 ， 6 5 32 1 22 1 nm nm m m SS CPQCOB AB=2， 2 3 n m ， 21mn， 直线 PA 的解析式为：1yx， 直线 PB 的解析式为：22yx 【习题 1】如图，已知，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC
16、=12，四边形 EFGH 的三个顶点 E、 F、H 分别在矩形 ABCD 边 AB、BC、DA 上，AE=2 （1）如图 1，当四边形 EFGH 为正方形时，求GFC 的面积； （2）如图 2，当四边形 EFGH 为菱形，且 BF=a时，求GFC 的面积 （用含a的代数式表示） A B C D E F 图 1 G H A B C D E F 图 2 G H M M 【答案】（1）过点 G 作 GMBC 于 M 四边形 EFGH 为正方形时，90BEFAEH 90AHEAEH，BEFAHE BEFAHE，BA，EFEH ， BEFAHE 同理可知：BEFMFG 2AEBFGM 10BFBCFC，
17、则10 GFC S； （2）过点 G 作 GMBC 于 M，连接 HF ADBC，MFHAHF EHFG，GFHEHF MFGAHE MFGAHE，GMFA，GFEH ， MFGAHE 2 AEGM aaGMFCS GFC 12212 2 1 2 1 【习题 2】如图 1，已知直角坐标平面内点 A(2, 0)，P 是函数 yx（x0）图像上一点， PQAP 交 y 轴正半轴于点 Q （1）试证明：APPQ； （2）设点 P 的横坐标为 a，点 Q 的纵坐标为 b，那么 b 关于 a 的函数关系式是_； （3）当 SAOQ 2 3 SAPQ时，求点 P 的坐标 【答案】（1）过 P 作 x 轴、
18、y 轴的垂线，垂足分别为 H、T， P 是函数 yx（x0）图像上一点 PH=PT，PHPT PQAP，QPTAPH QPTAPH，PH=PT，QTPAHP PHAPTQ APPQ； P Q A y O x （2）由（1）可得：TQaAH 2 OHOTTQOQ， aab 2， 即22 ab； （3）设()P a a， 22 2 1 aOQOAS AOQ ，22 2 1 22 aaAPS APQ ， 22 3 2 22 2 aaa， 解得： 2 55 a 2 55 2 55 ，P或 2 55 2 55 ，P 【习题 3】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上（点 E 与点 A、
19、B 不重合） ，过 点 E 作 FGDE，FG 与边 BC 相交于点 F，与边 DA 的延长线相交于点 G （1）当 E 是 AB 中点时，求证 AGBF； （2） 当 E 在边 AB 上移动时， 观察 BF、 AG、 AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论； （3）联结 DF，如果正方形的边长为 2，设 AEx，DFG 的面积为y，求y与x之间的函数解 析式，并写出函数的定义域 【答案】（1）当 E 是 AB 中点时，AE=BE AE=BE，AEGBEF，BEAG EAGEBF AGBF （2）AEAGBF 过点 F 作 FHDA，垂足为 H，则四边形 ABFH 是矩形 FH=A
20、B=AD DEFG，DEAADEG90 FH=AD，DEAG，GA A B C D E F G H FHGDAE， GH=AE，即AEAGHA BF=HA， AEAGBF； （3）由（2）可得：FG=DE 22 4xDEFG 2 2 1 44 2 1 22222 xxxy（20 x） 【习题 4】如图，已知：直角梯形 ABCD 中，ABCD，A=90，AB =6，AD=4，DC=3， 点 P 从点 A 出发，沿 ADCB 方向移动，动点 Q 从点 A 出发，在 AB 边上移动，设点 P 移动的路程 为 x，点 Q 移动的路程为 y，线段 PQ 平分梯形 ABCD 的周长 （1） 求 y 关于
21、x 的函数解析式，并写出 x 和 y 的取值范围； （2） 当 P 不在 BC 边上时，线段 PQ 能否平分 ABCD 的面积?若能，求出此时 x 的值；若不能，说明理由 【答案】（1）过 C 做 CEAB 于 E，则 CD=AE=3 CE=4， BC=5， 梯形的周长为 18 线段 PQ 平分梯形 ABCD 的周长， 9 yx 60 y， 93 x， xy9（93 x） ； （2）P 不在 BC 边上时，则73 x 当43 x时，点 P 在 AD 边上，则xyS APQ 2 1 A B C D P Q E 线段 PQ 能否平分 ABCD 的面积， 9 2 1 xy 由 1 9 2 9 xy xy ，解得： ， 3 6 x y 或 6 3 x y （舍去） ； 当74 x时，P 在 CD 边上，此时yxS ADPQ 44 2 1 四边形 线段 PQ 能否平分 ABCD 的面积， 944 2 1 yx 联立9 yx，方程组无解 故当 x=3 时，线段 PQ 平分 ABCD 的面积