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著名机构讲义春季14-八年级培优版-四边形综合复习-教师版

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 四边形综合复习 四边形综合复习 知识模块:多边形的分类知识模块:多边形的分类 1、n边形的内角和为(n2)180(n3) (1)内角和定理的应用:已知多边形的边数,求其内角和;已知多边形内角和求其边数; (2)正多边形的每个内角都相等,都等于 (2)180n n ; 2、多边形的外角和为 360n边形的外角和恒等于 360,它与边数的多少无关. 知识模块:平行四边形知识模块:平行四边形 1、定义:、定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2、性质:、性质: (1) 边的性质:平行四边形两组对边平行且相等; (2) 角的

2、性质:平行四边形邻角互补,对角相等; (3) 对角线性质:平行四边形的对角线互相平分; (4) 平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心. 3、判定:、判定: (1).两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2).两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3).一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (4).两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (5).对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4、平行线的性质、平行线的性质 (1)平行线间的距离都相等 (2)等底等高的平行四边形面积相等 知识模块:特殊的平行四边形知识模块:特殊的平行四边形 矩形、菱形、正方形的定义矩形、菱形、正方形

3、的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 矩形的性质:矩形的性质:1.矩形具有平行四边形的所有性质; 2.矩形的对角线相等; 3.矩形的四个角都是直角; 4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴. 矩形的判定:矩形的判定:1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 菱形的性质:菱形的性质:1.菱形的四条边都相等; 2.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; 3.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴.

4、菱形的判定:菱形的判定:1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 正方形的性质:正方形的性质:1.正方形四个角都是直角,四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形,有 4 条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称 中心. 正方形的判定:正方形的判定:1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 知识模块:梯形知识模块:梯形 1、定义:、定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形;有一个角是直 角的梯形叫直

5、角梯形;有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形. 2、等腰梯形性质:、等腰梯形性质: (1)两底平行,两腰相等; (2)同一底边上的两个角相等; (3)两条对角线相等; (4)轴对称图形(底的中垂线就是它的对称轴) 3、面积:、面积: 4、等腰梯形判定:、等腰梯形判定: (1)两腰相等的梯形是等腰梯形; (2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形; 2 高(上底下底) 梯形 S (3)对角线相等的梯形是等腰梯形 5、解决梯形问题的常用方法、解决梯形问题的常用方法(如下图所示) : (1) “作高” :使两腰在两个直角三角形中 (2) “移对角线” :使两条对角线在同一个三角形中 (3) “延长两腰”

6、 :构造具有公共角的两个三角形 (4)“等积变形” : 连接梯形上底一端点和另一腰中点, 并延长交下底的延长线于一点, 构成三角形 并 且这个三角形面积与原来的梯形面积相等. 综上,解决梯形问题的基本思路: 梯形问题三角形或平行四边形问题, 这种思路常通过 平移或旋转来实现 6、三角形、梯形的中位线、三角形、梯形的中位线 (1)联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. (2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. (3)联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. (4)梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半. 【例 1】若凸 n 边形

7、的 n 个内角与某一个外角之和为 1350,求 n 的值. 【答案】9 【例2】如图3,在ABC中,点D是BC边的中点,点E是AD的中点,过A点作AF/BC,且交CE的延长 线于点F,联结BF (1)求证:四边形AFBD是平行四边形; (2)当AB=AC时,求证:四边形AFBD是矩形 【答案】 (1)AF/BC,FCDAFC AE=DE,DECAEF 分割、拼接 转化 图 3 F E D C A B AEFDEC AF=DC BD=DC, AF=BD四边形AFBD是平行四边形 (2)AB=AC,BD=DC,ADBC即ADB90 四边形 AFBD 是平行四边形, 四边形 AFBD 是矩形 【例

8、3】已知:如图,在ABCD 中,E 为边 CD 的中点,联结 AE 并延长,交边 BC 的延长线于点 F (1)求证:四边形 ACFD 是平行四边形; (2)如果B +AFB = 90 ,求证:四边形 ACFD 是菱形 【答案】证明: (1)在ABCD 中,AD / BF ADC =FCD E 为 CD 的中点, DE = CE 在ADE 和FCE 中, , , , AEDFEC ADEFCE DECE ADEFCE AD = FC 又 AD / FC, 四边形 ACFD 是平行四边形 (2)在ABF 中, B +AFB = 90 , BAF = 90 又 四边形 ABCD 是平行四边形, A

9、D = BC AD = FC, BC = CF 即得 AC = CF 四边形 ACDF 是平行四边形, 四边形 ACDF 是菱形 【例 4】如图,已知矩形 ABCD 中,点 E 是 CD 边上的一点,连结 BE,过点 A 作 AFBE垂足为点 F, 且 AF=BE,过点 F 作 MNBC,与 AB、CD 边分别交于点 M、N,求证:四边形 AMND 为正方形 【答案】证明:四边形 ABCD 是矩形, ADBC,ABCD,BAD=C=ABC=90,BC=AD, MNBC,MNAD, 又ABCD,四边形 AMND 是平行四边形, 又BAD=90,四边形 AMND 是矩形,AMN=90, A B C

10、 D E F (第25题图) AFBE,AFB=90, AFB+ABF+BAF=180,ABF+BAF=90, 又ABC=ABF+EBC=90,BAF=EBC, 在AFM 和BEC 中, , AFMBEC(AAS) ,AM=BC, 又AD=BC,AM=AD, 又四边形 AMND 是矩形,四边形 AMND 是正方形 【例 5】已知:如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 CD 的延长线上,且 BE = DF (1)求AEF 的度数; (2)如果AEB = 75 ,AB = 2,求FEC 的面积 【答案】解: (1)由正方形 ABCD,得 AB = AD, B =ADF

11、 =BAD = 90 (1 分) 在ABE 和ADF 中, AB = AD,B =ADF = 90 ,BE = DF, ABEADF BAE =FAD,AE = AF A B C D E F (第23题图) BAD =BAE +EAD =FAD +EAD = 90 即得 EAF = 90 又 AE = AF, AEF =AFE = 45 (2) AEB = 75 ,AEF = 45 , BEF = 120 即得 FEC = 60 由正方形 ABCD,得 C = 90 EFC = 30 EF = 2EC 设 EC = x则 EF = 2x,2BEDFx,4CFx 在 RtCEF 中,由勾股定理,

12、得 222 CECFEF 即得 222 (4)4xxx 解得 1 2 32x , 2 2 32x (不合题意,舍去) 2 32EC ,62 3CF 11 (2 32)(62 3)8 312 22 CEF SEC CF FEC 的面积为8 312 【例 6】 如图 1, 在菱形 ABCD 中, A=60 点 E, F 分别是边 AB, AD 上的点, 且满足BCE=DCF, 连结 EF (1)若 AF=1,求 EF 的长; (2)取 CE 的中点 M,连结 BM,FM,BF求证:BMFM; (3)如图 2,若点 E,F 分别是边 AB,AD 延长线上的点,其它条件不变,结论 BMFM 是否仍然成

13、 立(不需证明) D C A B F E M N 25 题答图 1 【答案】 (1)解:四边形 ABCD 是菱形, AB = AD = BC= DC,DCBE 又DCFBCE,CBECDF BE=DF 又AB =AD,ABBE =ADDF,即 AE=AF 又A=60,AEF 是等边三角形 EF=AF AF=1,EF=1 (2)证明:延长 BM 交 DC 于点 N,连结 FN (如答图) 四边形 ABCD 是菱形, ABDC/, BEMNCM,EBMCNM 点 M 是 CE 的中点, CM=EM CMNEMB NM=MB,CN=BE 又AB = DCDCCN=ABBE, 即 DN=AE AEF是

14、等边三角形,60AEF,EF=AE 120BEF,EF=DN ABDC/,180DA 又A=60,120D,BEFD 又DN=EF,BE=DFFDNBEFFN=FB, 又NM=MB,MFBM (3)结论MFBM 仍然成立 【例 7】已知,如图在梯形 ABCD 中,ABCD,M 是腰 BC 的中点,MNAD,垂足为 点 N,求证:梯形 ABCD 的面积为MN AD 【答案】过点 M 作 AD 的平行线 EF,交 AB 于点 E, 交 DC 的延长线于点 F AB/CD,F=BEM,FCM=B M 是腰 BC 的中点,MC=MB BEMCFM,MCF 与BEM 的面积相等 梯形 ABCD 的面积与

15、平行四边形 AEFD 的面积相等 平行四边形 AEFD 的面积=ADMN 梯形 ABCD 的面积=MN AD 【例 8】如图所示,在直角梯形 COAB 中,CBOA,以 O 为原点建立直角坐标系,A、 C 的坐标分别为 A(10,0) 、C(0,8) ,CB=4,D 为 OA 的中点,动点 P 自 A 点出发沿 ABCO 的线路移动,速度为 1 个单位/秒,移动时间为x秒 (1)动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中,设APD 的面积为 S,试写出 S 与x的函数关系式,并求 S 的最大值 (2)几秒后线段 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1 : 3 的两部分?求出此时点 P 的坐标 【

16、答案】 F A B C D P O x y E H A B C D M N E F (1)作 BEOA 与 E,则 OE=BC=4, 在 RtABE 中,AE=OA-OE=6,BE=OC=8,AB=10 作 OFAB 于 F,DHAB 于 H, OABE=ABOF,OF= OA BE AB =8,DH= 1 2 OF=4, S= 1 2 APDH= 1 2 x4=2x(010)x,当 x=10 时,S 最大值为 20; (2)点 P 只能在 AB 或 OC 上才能满足题意, S梯形COAB= 1 2 (BC+OA)OC= 1 2 (4+10)8=56, ()当点 P 在 AB 上时,设点 P

17、的坐标为(x,y) , 由 SAPD= 1 4 S梯形COAB,得: 1 2 DAy= 1 4 56,解得:y= 28 5 , 由 SAPD= 1 2 APDH= 1 4 2 x=14,解得:x=7 可求出 AB 解析式是 440 33 yx ,代入 y 可得: 29 5 x , 即在 7 秒时有点 P1( 29 5 , 28 5 )满足题意; ()当点 P 在 OC 上时,设点 P 的坐标为(0,y) 由 SAPD= 1 4 S梯形COAB,得 1 2 ADy= 1 4 56,解得:y= 28 5 , 此时 t=10+4+(8- 28 5 )=16.4 即在 t=16.4 秒时,有点 P2(

18、0, 28 5 )满足题意; 综上,在 7 秒时有点 P1( 29 5 , 28 5 ) ,在 16.4 秒时有点 P2(0, 28 5 )使 PD 将梯形 COAB 的面积 分成 1:3 的两部分 【习题 1】下列条件中能判定一个四边形是矩形的条件是( ) A四边形的对角线互相平分 B四边形的对角线相等且垂直 C四边形的对角线相等且互相平分 D四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【习题 2】在正三角形、矩形、直角梯形、平行四边形中,不是轴对称图形,但是中心对 称图形的有( ) A0 B1 C 2 D3 【答案】B 【习题 3】如图,在矩形 ABCD 中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分

19、是平行四边形, 依据图中标注的数据,图中空白部分的面积是( ) A 2 bcabacc B 2 abbcacc C 2 aabbcac D 22 bbcaab 【答案】B 【习题 4】如图,梯形 ABCD 中,ADBC,F、E 分别是 AC、BD 的中点,AD=2,BC=10,则 EF 的长 为( ) A3 B4 C6 D12 【答案】B 【习题 5】如图所示,六边 ABCDEF 中,AB 平行且等于 ED,AF 平行且等于 CD,BC 平行且等于 FE, 对角线 FDBD已知 FD24cm,BD18cm则六边形 ABCDEF 的面积是_. 【答案】432 【习题 6】如图,在 RtABC 中

20、,ACB=90,E 为 AB 的中点,四边形 BCDE 是平行四 边形,求证:AC 与 DE 互相垂直平分 【答案】连接 AD 平行四边形 BCDE 中,CD/BE,CD=BE E 为 AB 中点,CD=AE,且 CD/AE 四边形 AECD 为平行四边形平行四边形 BCDE, DEC=ECB ACB=ACEECB=90,ACEDEC90 A B C D E F G A B C D E O F G C D A B E COE 为直角三角形, ACDE, 平行四边形 AECD 是菱形, AC 与 DE 互相垂直平分 【习题 7】已知:如图,在ABCD 中,AEBC,CFAD,垂足分别为 E、F,

21、AE、CF 分别与 BD 相 交于点 G、H,联结 AH、CG 求证:四边形 AGCH 是平行四边形 【答案】证明:方法一:在ABCD 中,ADBC,AB /CD, CFAD,CFBC, AEBC,AE/CF,即 AG/CH,AGH=CHG, AGB=180-AGH,DHC=180-CHG, AGB=DHC,ABCD,ABG=CDH,ABGCDH, AG=CH, 四边形 AGCH 是平行四边形 方法二:联结 AC,与 BD 相交于点 O, 在ABCD 中, AO=CO,BO=DO, ABE=CDF,AB /CD, ABG=CDH, CFAD,AEBC,AEB=CFD=90,BAG=DCH,AB

22、GCDH, BG=DH, DHDOBGBO,OG=OH, 四边形 AGCH 是平行四边形 【习题 8】如图所示;在等腰梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=DC.点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上, AE=GF=GC,FGC=2EFB. 求证:四边形 AEFG 是矩形. 【答案】利用一组对边平行且相等证平行四边形, 在用一内角 90证矩形. A G B E C D F H (第24题图) 【习题 9】如图,已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,CEAC 与 AD 边的延长线交于点 E. (1)求证:四边形 BCED 是平行四边形; (2)延长 DB 至点 F,联结 CF,若 CF=BD,求BCF 的大小. 【答案】 (1)ABCD 是正方形,ACDB,BCAD CEAC AOD=ACE=90BDCE BCED 是平行四边形 (2)联结 AF,ABCD 是正方形, BDAC,BD=AC=2OB=2OC,即 OB=OC OCB=45 RtOCF 中,CF=BD=2OC, OFC=30 BCF=15 第22题图 F O D E C A B