1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 四边形综合复习 四边形综合复习 知识模块：多边形的分类知识模块：多边形的分类 1、n边形的内角和为(n2)180(n3) (1)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于 (2)180n n ； 2、多边形的外角和为 360n边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关. 知识模块：平行四边形知识模块：平行四边形 1、定义：、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2、性质：、性质： （1） 边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； （2） 角的
2、性质：平行四边形邻角互补，对角相等； （3） 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； （4） 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 3、判定：、判定： （1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4、平行线的性质、平行线的性质 （1）平行线间的距离都相等 （2）等底等高的平行四边形面积相等 知识模块：特殊的平行四边形知识模块：特殊的平行四边形 矩形、菱形、正方形的定义矩形、菱形、正方形
3、的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 矩形的性质：矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 矩形的判定：矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 菱形的性质：菱形的性质：1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
4、菱形的判定：菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 正方形的性质：正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称 中心. 正方形的判定：正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 知识模块：梯形知识模块：梯形 1、定义：、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直 角的梯形叫直
5、角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形. 2、等腰梯形性质：、等腰梯形性质： （1）两底平行，两腰相等； （2）同一底边上的两个角相等； （3）两条对角线相等； （4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴） 3、面积：、面积： 4、等腰梯形判定：、等腰梯形判定： （1）两腰相等的梯形是等腰梯形； （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 2 高（上底下底） 梯形 S （3）对角线相等的梯形是等腰梯形 5、解决梯形问题的常用方法、解决梯形问题的常用方法（如下图所示） ： （1） “作高” ：使两腰在两个直角三角形中 （2） “移对角线” ：使两条对角线在同一个三角形中 （3） “延长两腰”
6、 ：构造具有公共角的两个三角形 （4）“等积变形” ： 连接梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长交下底的延长线于一点， 构成三角形 并 且这个三角形面积与原来的梯形面积相等. 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过 平移或旋转来实现 6、三角形、梯形的中位线、三角形、梯形的中位线 （1）联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. （3）联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. （4）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 【例 1】若凸 n 边形
7、的 n 个内角与某一个外角之和为 1350，求 n 的值. 【答案】9 【例2】如图3，在ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF/BC，且交CE的延长 线于点F，联结BF （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当AB=AC时，求证：四边形AFBD是矩形 【答案】 （1）AF/BC，FCDAFC AE=DE，DECAEF 分割、拼接 转化 图 3 F E D C A B AEFDEC AF=DC BD=DC， AF=BD四边形AFBD是平行四边形 （2）AB=AC，BD=DC，ADBC即ADB90 四边形 AFBD 是平行四边形, 四边形 AFBD 是矩形 【例
8、3】已知：如图，在ABCD 中，E 为边 CD 的中点，联结 AE 并延长，交边 BC 的延长线于点 F （1）求证：四边形 ACFD 是平行四边形； （2）如果B +AFB = 90 ，求证：四边形 ACFD 是菱形 【答案】证明： （1）在ABCD 中，AD / BF ADC =FCD E 为 CD 的中点， DE = CE 在ADE 和FCE 中， , , , AEDFEC ADEFCE DECE ADEFCE AD = FC 又 AD / FC， 四边形 ACFD 是平行四边形 （2）在ABF 中， B +AFB = 90 ， BAF = 90 又 四边形 ABCD 是平行四边形， A
9、D = BC AD = FC， BC = CF 即得 AC = CF 四边形 ACDF 是平行四边形， 四边形 ACDF 是菱形 【例 4】如图，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上的一点，连结 BE，过点 A 作 AFBE垂足为点 F， 且 AF=BE，过点 F 作 MNBC，与 AB、CD 边分别交于点 M、N，求证：四边形 AMND 为正方形 【答案】证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABCD，BAD=C=ABC=90，BC=AD， MNBC，MNAD， 又ABCD，四边形 AMND 是平行四边形， 又BAD=90，四边形 AMND 是矩形，AMN=90， A B C
10、 D E F （第25题图） AFBE，AFB=90， AFB+ABF+BAF=180，ABF+BAF=90， 又ABC=ABF+EBC=90，BAF=EBC， 在AFM 和BEC 中， ， AFMBEC（AAS） ，AM=BC， 又AD=BC，AM=AD， 又四边形 AMND 是矩形，四边形 AMND 是正方形 【例 5】已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 的延长线上，且 BE = DF （1）求AEF 的度数； （2）如果AEB = 75 ，AB = 2，求FEC 的面积 【答案】解： （1）由正方形 ABCD，得 AB = AD， B =ADF
11、 =BAD = 90 （1 分） 在ABE 和ADF 中， AB = AD，B =ADF = 90 ，BE = DF， ABEADF BAE =FAD，AE = AF A B C D E F （第23题图） BAD =BAE +EAD =FAD +EAD = 90 即得 EAF = 90 又 AE = AF， AEF =AFE = 45 （2） AEB = 75 ，AEF = 45 ， BEF = 120 即得 FEC = 60 由正方形 ABCD，得 C = 90 EFC = 30 EF = 2EC 设 EC = x则 EF = 2x，2BEDFx，4CFx 在 RtCEF 中，由勾股定理，
12、得 222 CECFEF 即得 222 (4)4xxx 解得 1 2 32x ， 2 2 32x （不合题意，舍去） 2 32EC ，62 3CF 11 (2 32)(62 3)8 312 22 CEF SEC CF FEC 的面积为8 312 【例 6】 如图 1， 在菱形 ABCD 中， A=60 点 E， F 分别是边 AB， AD 上的点， 且满足BCE=DCF， 连结 EF （1）若 AF=1，求 EF 的长； （2）取 CE 的中点 M，连结 BM，FM，BF求证：BMFM； （3）如图 2，若点 E，F 分别是边 AB，AD 延长线上的点，其它条件不变，结论 BMFM 是否仍然成
13、 立（不需证明） D C A B F E M N 25 题答图 1 【答案】 （1）解：四边形 ABCD 是菱形， AB = AD = BC= DC，DCBE 又DCFBCE，CBECDF BE=DF 又AB =AD，ABBE =ADDF，即 AE=AF 又A=60，AEF 是等边三角形 EF=AF AF=1，EF=1 （2）证明：延长 BM 交 DC 于点 N，连结 FN （如答图） 四边形 ABCD 是菱形， ABDC/， BEMNCM,EBMCNM 点 M 是 CE 的中点， CM=EM CMNEMB NM=MB，CN=BE 又AB = DCDCCN=ABBE， 即 DN=AE AEF是
14、等边三角形，60AEF，EF=AE 120BEF，EF=DN ABDC/，180DA 又A=60，120D，BEFD 又DN=EF，BE=DFFDNBEFFN=FB， 又NM=MB，MFBM （3）结论MFBM 仍然成立 【例 7】已知，如图在梯形 ABCD 中，ABCD，M 是腰 BC 的中点，MNAD，垂足为 点 N，求证：梯形 ABCD 的面积为MN AD 【答案】过点 M 作 AD 的平行线 EF，交 AB 于点 E， 交 DC 的延长线于点 F AB/CD，F=BEM，FCM=B M 是腰 BC 的中点，MC=MB BEMCFM，MCF 与BEM 的面积相等 梯形 ABCD 的面积与
15、平行四边形 AEFD 的面积相等 平行四边形 AEFD 的面积=ADMN 梯形 ABCD 的面积=MN AD 【例 8】如图所示，在直角梯形 COAB 中，CBOA，以 O 为原点建立直角坐标系，A、 C 的坐标分别为 A（10，0） 、C（0，8） ，CB=4，D 为 OA 的中点，动点 P 自 A 点出发沿 ABCO 的线路移动，速度为 1 个单位/秒，移动时间为x秒 （1）动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中，设APD 的面积为 S，试写出 S 与x的函数关系式，并求 S 的最大值 （2）几秒后线段 PD 将梯形 COAB 的面积分成 1 : 3 的两部分?求出此时点 P 的坐标 【
16、答案】 F A B C D P O x y E H A B C D M N E F （1）作 BEOA 与 E，则 OE=BC=4， 在 RtABE 中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，AB=10 作 OFAB 于 F，DHAB 于 H， OABE=ABOF，OF= OA BE AB =8，DH= 1 2 OF=4， S= 1 2 APDH= 1 2 x4=2x(010)x，当 x=10 时，S 最大值为 20； （2）点 P 只能在 AB 或 OC 上才能满足题意， S梯形COAB= 1 2 （BC+OA）OC= 1 2 （4+10）8=56， （）当点 P 在 AB 上时，设点 P
17、的坐标为（x，y） ， 由 SAPD= 1 4 S梯形COAB，得： 1 2 DAy= 1 4 56，解得：y= 28 5 ， 由 SAPD= 1 2 APDH= 1 4 2 x=14，解得：x=7 可求出 AB 解析式是 440 33 yx ，代入 y 可得： 29 5 x ， 即在 7 秒时有点 P1（ 29 5 ， 28 5 ）满足题意； （）当点 P 在 OC 上时，设点 P 的坐标为（0，y） 由 SAPD= 1 4 S梯形COAB，得 1 2 ADy= 1 4 56，解得：y= 28 5 ， 此时 t=10+4+（8- 28 5 ）=16.4 即在 t=16.4 秒时，有点 P2（
18、0， 28 5 ）满足题意； 综上，在 7 秒时有点 P1（ 29 5 ， 28 5 ） ，在 16.4 秒时有点 P2（0， 28 5 ）使 PD 将梯形 COAB 的面积 分成 1：3 的两部分 【习题 1】下列条件中能判定一个四边形是矩形的条件是（ ） A四边形的对角线互相平分 B四边形的对角线相等且垂直 C四边形的对角线相等且互相平分 D四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【习题 2】在正三角形、矩形、直角梯形、平行四边形中，不是轴对称图形，但是中心对 称图形的有（ ） A0 B1 C 2 D3 【答案】B 【习题 3】如图，在矩形 ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分
19、是平行四边形， 依据图中标注的数据，图中空白部分的面积是（ ） A 2 bcabacc B 2 abbcacc C 2 aabbcac D 22 bbcaab 【答案】B 【习题 4】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，F、E 分别是 AC、BD 的中点，AD=2，BC=10，则 EF 的长 为（ ） A3 B4 C6 D12 【答案】B 【习题 5】如图所示，六边 ABCDEF 中，AB 平行且等于 ED，AF 平行且等于 CD，BC 平行且等于 FE， 对角线 FDBD已知 FD24cm，BD18cm则六边形 ABCDEF 的面积是_. 【答案】432 【习题 6】如图，在 RtABC 中
20、，ACB=90，E 为 AB 的中点，四边形 BCDE 是平行四 边形，求证：AC 与 DE 互相垂直平分 【答案】连接 AD 平行四边形 BCDE 中，CD/BE，CD=BE E 为 AB 中点，CD=AE，且 CD/AE 四边形 AECD 为平行四边形平行四边形 BCDE， DEC=ECB ACB=ACEECB=90，ACEDEC90 A B C D E F G A B C D E O F G C D A B E COE 为直角三角形， ACDE， 平行四边形 AECD 是菱形， AC 与 DE 互相垂直平分 【习题 7】已知：如图，在ABCD 中，AEBC，CFAD，垂足分别为 E、F，
21、AE、CF 分别与 BD 相 交于点 G、H，联结 AH、CG 求证：四边形 AGCH 是平行四边形 【答案】证明：方法一：在ABCD 中，ADBC，AB /CD， CFAD，CFBC， AEBC，AE/CF，即 AG/CH，AGH=CHG， AGB=180-AGH，DHC=180-CHG， AGB=DHC，ABCD，ABG=CDH，ABGCDH， AG=CH， 四边形 AGCH 是平行四边形 方法二：联结 AC，与 BD 相交于点 O， 在ABCD 中， AO=CO，BO=DO， ABE=CDF，AB /CD， ABG=CDH， CFAD，AEBC，AEB=CFD=90，BAG=DCH，AB
22、GCDH， BG=DH， DHDOBGBO，OG=OH， 四边形 AGCH 是平行四边形 【习题 8】如图所示;在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC.点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上， AE=GF=GC,FGC=2EFB. 求证：四边形 AEFG 是矩形. 【答案】利用一组对边平行且相等证平行四边形， 在用一内角 90证矩形. A G B E C D F H （第24题图） 【习题 9】如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，CEAC 与 AD 边的延长线交于点 E. （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）延长 DB 至点 F，联结 CF，若 CF=BD，求BCF 的大小. 【答案】 （1）ABCD 是正方形，ACDB，BCAD CEAC AOD=ACE=90BDCE BCED 是平行四边形 （2）联结 AF，ABCD 是正方形， BDAC,BD=AC=2OB=2OC，即 OB=OC OCB=45 RtOCF 中，CF=BD=2OC, OFC=30 BCF=15 第22题图 F O D E C A B